【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题15 初等数论（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题15 初等数论（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共6页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2020·浙江·高三竞赛）将1~2020的数字按顺时针方向围成一个圆圈，然后从1开始，按顺时针依次隔一个数拿走，即拿走1，3，5，…，这个过程一直进行下去，直到剩下最后一个数字，则最后剩下的数字是___________.
2．（2021·全国·高三竞赛）关于x、y的方程的正整数解的个数为________．
3．（2021·全国·高三竞赛）为正整数列，满足为的最小素因子，，构成集合A，P为所有质数构成的集合，则集合的最小元素为___________．
4．（2021·全国·高三竞赛）质数p和正整数m满足，则___________.
5．（2021·浙江·高三竞赛）已知集合，为正整数.若对任意的，被4整除，但不被16整除，则的最大值为______.
6．（2021·浙江·高二竞赛）设数列，，2，…，7这里表示不超过的最大整数.若，则正整数有______种可能的取值情况.
7．（2021·全国·高三竞赛）所有能使为质数的正整数n的倒数和为_________．
8．（2021·全国·高三竞赛）若2020在p进制下的各位数字之和为，则质数p的所有可能值为___________.
9．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个．
10．（2020·浙江·高三竞赛）设，，为正整数，且，则所有的解中的最大值为___________.
11．（2020·江苏·高三竞赛）设正整数，，，满足，，且，则的值为___________．
12．（2020·江苏·高三竞赛）设，，若，则的值为___________．
13．（2021·浙江·高三竞赛）将顺序为1，2，…，2020的2020张卡片变成1011，1，1012，2，…，2020，1010的顺序，即原先的前1010张卡片移至第2，4，…，2020张，这称为一次操作.若从顺序1，2…，2020开始操作，则至少经过______次操作可以恢复到初始顺序.
14．（2019·广西·高三竞赛）满足的正整数对(x，y)有____________ 对.
15．（2019·四川·高三竞赛）若正整数n使得方程有正整数解(x，y，z)，称n为“好数”.则不超过2019的“好数”个数是_____ .
二、解答题
16．（2021·全国·高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．
17．（2021·全国·高三竞赛）使得为有理数的正整数n为_________．
18．（2021·全国·高三竞赛）设n是正整数，是n的全部正因数.定义，已知是2的幂次，求证：n没有1之外的平方因数.
19．（2021·全国·高三竞赛）用表示正整数n的各位数字之和，求所有这样的三位数n，使得满足：．
20．（2021·全国·高三竞赛）已知a、b、c、d是不同的正整数，且满足是整数，求证：不是质数．
21．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x的方程：（这里为不超过实数x的最大整数）
22．（2021·全国·高三竞赛）两两不等的实数x、y、z满足，求.
23．（2021·全国·高三竞赛）若关于z的整系数方程的三个复数根在复平面内恰好成为一个等腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的最小值.
24．（2021·全国·高三竞赛）证明：存在无穷多个奇数n，使得是合数．
25．（2019·山东·高三竞赛）已知是素数，求正整数n的所有可能值
26．（2021·全国·高三竞赛）求方程的所有正整数解．
27．（2021·全国·高三竞赛）求方程的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.
28．（2021·全国·高三竞赛）证明：对任意正整数，都存在正整数和个互不相同的正整数，使是完全平方数．
29．（2021·浙江·高三竞赛）已知素数，满足.证明：存在正整数使得的十进制表示的各位数字之和是2或3.
30．（2021·全国·高三竞赛）设m是一个给定的正整数，d是它的一个正因子．已知和是两个由正整数构成的等差数列，满足：存在正整数i、j、k、l，使得．证明：存在正整数t、s使得．
31．（2021·全国·高三竞赛）设多项式的系数为正整数．定义数列：．证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得，且．
32．（2021·全国·高三竞赛）一个大于1的整数m，如果对所有的正整数n，都存在正整数x、y、z，使得，则称m为上数，否则称为下数．试问：是否存在无数多的上数？是否存在无数多的下数？
33．（2021·全国·高三竞赛）如果正整数n满足存在正整数a、b、c使得，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．
注：对于正整数x，y，表示x，y的最大公因数．
34．（2021·全国·高三竞赛）设函数同时满足以下三个条件：
（1）对任意x、，有；
（2）对任意，有；
（3）．
求的最小值．
35．（2021·全国·高三竞赛）对每个正整数n，定义为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若且，则是合数.
36．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数，设为正整数满足，求所有的值．（表示不超过的最大整数）
37．（2021·全国·高三竞赛）证明：对任何正整数，存在无穷多组整数，使得
（1）互质；
（2）；
（3）．
38．（2021·全国·高三竞赛）正整数，且的素因子个数不超过2，对于任意整数，若，则有成立，求证：是质数.
39．（2021·全国·高三竞赛）设，为正奇数，定义数列如下：，，当时，为的最大奇因子.求证：当充分大时，为常数，并确定出这个常数.
40．（2020·全国·高三竞赛）设证明：对整数，，必有一个模4余1的素因子．
41．（2019·江苏·高三竞赛）设k、l、c均为正整数，证明：存在正整数a、b满足，且，其中(a，b)表示a、b的最大公因数，表示正整数m的所有不同正因子的个数.
42．（2019·江西·高三竞赛）试求所有由互异正奇数构成的三元集{a，b，c}，使其满足：.
43．（2019·吉林·高三竞赛）求所有的正整数n，使得方程有正整数解.
44．（2019·上海·高三竞赛）求证：不存在无穷多项的素数数列，使得.
45．（2021·全国·高三竞赛）已知是两个整数集合，且对于任意整数，存在唯一的使得.记.证明：对任意的，存在，使得.
46．（2021·全国·高三竞赛）设为一个质数，且也是一个质数，证明：的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
47．（2021·浙江·高三竞赛）给定素数.称1，2，…，的排列为“好排列”，如果对，2，…，均有，并且是的倍数.求“好排列”的个数除以的余数.
48．（2021·浙江·高三竞赛）给定正整数.记，，2，3，….证明：对任意素数，存在无穷多个非负整数对，满足，，…，这100个数都能被整除，并且都不能被整除.
49．（2020·全国·高三竞赛）设a，b为不超过12的正整数，满足：存在常数C，使得对任意正整数n成立．求所有满足条件的有序数对．
50．（2021·全国·高三竞赛）设为n个正整数，并且满足，令，并记.求证：对于任意，必存在正整数u、v，使得，等于A或.