【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题12 复数（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题12 复数（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共6页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2021·全国·高三竞赛）已知z为复数，且关于x的方程有实数根，则的最小值为__________．
2．（2018·辽宁·高三竞赛）设、b均为实数，复数与的模长相等，且为纯虚数，则+b=_____.
3．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数满足，则的最大值为__________．
4．（2018·山东·高三竞赛）若复数满足，则的最小值为______．
5．（2019·甘肃·高三竞赛）在复平面内，复数对应的点分别为．若，，则的取值范围是______．
6．（2018·福建·高三竞赛）设复数满足，则的最大值为______．（为虚数单位，为复数的共轭复数）
7．（2018·全国·高三竞赛）已知定义在复数集上的函数（p、q为复数）.若与均为实数，则的最小值为__________．
8．（2021·全国·高三竞赛）设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为，则复数所对应的不同的点的个数是_______________．
9．（2021·全国·高三竞赛）设，其中为虚数单位，.设，则的实部为___________.
10．（2021·全国·高三竞赛）设复数､､满足，则___________.
11．（2021·浙江·高三竞赛）复数，满足，，则______.
12．（2021·浙江·高二竞赛）设复数的实虚部，所形成的点在椭圆上.若为实数，则复数______.
13．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的取值范围为___________．
14．（2021·全国·高三竞赛）已知复数（i虚数单位），则______________．
15．（2021·全国·高三竞赛）已知复数a、b、c满足则_________．
16．（2021·全国·高三竞赛）若复数满足条件，则______．
17．（2021·全国·高三竞赛）若复数满足，则的取值范围为________.
18．（2021·全国·高三竞赛）若非零复数x､y满足，则的值是________.
19．（2020·全国·高三竞赛）设z为复数．若为实数（i为虚数单位），则的最小值为______．
20．（2019·浙江·高三竞赛）设为复数，且满足(其中i为虚数单位)，则取值为____________.
21．（2019·贵州·高三竞赛）已知方程的五个根分别为，f(x)=x2+1，则____________ .
22．（2019·四川·高三竞赛）满足(a+bi)6=a－bi(其中a，b∈R，i2=－1)的有序数组(a，b)的组数是_____ .
23．（2019·福建·高三竞赛）已知复数满足，且，则____________ .
24．（2019·山东·高三竞赛）已知虚数z满足为实数，且，那么的最小值是______ .
25．（2019·重庆·高三竞赛）已知复数使得为纯虚数，，，则的最小值是_______ .
26．（2019·上海·高三竞赛）若复数z满足，则的最大值为________.
27．（2019·江苏·高三竞赛）在复平面中，复数3－i、2－2i、1+5i分别对应点A、B、C，则△ABC的面积是________ .
28．（2018·河南·高三竞赛）已知为虚数单位，则在的展开式中，所有奇数项的和是______．
29．（2018·全国·高三竞赛）设复数，.则的最小值为__________．
30．（2019·全国·高三竞赛）设方程的10个复根分别为.则______.
31．（2019·全国·高三竞赛）若为大于1的正整数，则______.
32．（2018·全国·高三竞赛）已知复数满足，.则的最大值是______.
33．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，复数对应的点在联结1和两点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上运动．则复数对应的点所在区域的面积为______．
34．（2018·广西·高三竞赛）设、为正整数，且.则=______.
35．（2019·全国·高三竞赛）化简______.
36．（2019·全国·高三竞赛）复数列满足，.若，则可以有_________种取值.
37．（2019·全国·高三竞赛）设复数.则的最小值是________.
38．（2021·全国·高三竞赛）若e为自然对数的底，则满足，且的复数z的个数为________．
39．（2019·上海·高三竞赛）设a是实数，关于z的方程(z2－2z+5)(z2+2az+1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是________.
二、解答题
40．（2021·全国·高三竞赛）设，复数.求所有的，使得､､依次成等比数列.
41．（2021·全国·高三竞赛）设点Z是单位圆上的动点，复数W是复数Z的函数：，试求点W的轨迹．
42．（2021·全国·高三竞赛）已知，存在唯一的，使得，求．
43．（2021·全国·高三竞赛）求证：存在非零复数c与实数d，使得对于一切模长为1的复数均有
44．（2021·全国·高三竞赛）若关于z的整系数方程的三个复数根在复平面内恰好成为一个等腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的最小值.
45．（2021·全国·高三竞赛）已知实数．若方程的三个复数根在复平面上构成边长为的正三角形，求的值．
46．（2019·全国·高三竞赛）为多项式的三个根，满足，且复平面上的三点恰构成一个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度.
47．（2019·全国·高三竞赛）设、、是正实数，.证明：
.
48．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．
49．（2019·全国·高三竞赛）设复数数列{zn}满足：，且对任意正整数n，均有.证明：对任意正整数m，均有.
50．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：
（1）；
（2）数列恒为常数．