【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题10 排列组合、二项式定理（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题10 排列组合、二项式定理（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共6页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2018·广东·高三竞赛）袋中装有m个红球和n个白球，m＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组（m，n）的个数为_______.
2．（2018·湖南·高三竞赛）已知，当时，与视为不同的对，则这样的对的个数有_____个.
3．（2018·湖南·高三竞赛）从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个.
4．（2018·湖南·高三竞赛）的展开式中常数项为_____.
5．（2018·四川·高三竞赛）设集合，若的非空子集满足，就称有序集合对为的“隔离集合对”，则集合的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答）
6．（2020·浙江·高三竞赛）已知十进制九位数，则所有满足，的九位数的个数为__________.
7．（2018·山东·高三竞赛）集合、满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为______．
8．（2020·辽宁锦州·高二期末）被除后的余数为_______.
9．（2021·江西·铅山县第一中学高二阶段练习（理））已知多项式，则___________.
10．（2021·全国·高三竞赛）若，则__________．
11．（2020·江苏·高三竞赛）用三个数字“3，1，4”构成一个四位密码，共有___________种不同结果．
12．（2020·江苏·高三竞赛）已知集合，则满足的函数：共有___________个．
13．（2018·河北·高三竞赛）欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.
14．（2018·河南·高三竞赛）若，则被3除的余数是______．
15．（2018·湖北·高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______.
16．（2019·河南·高二竞赛）称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为____________ .
17．（2019·贵州·高三竞赛）已知m∈{11，13，15，17，19}，n∈{2000，2001，…，2019}，则mn的个位数是1的概率为____________ .
18．（2020·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10中随机选出一个数在－1，－2，－3，…，－10中随机选出一个数b，则被整除的概率为______ .
19．（2021·全国·高三竞赛）把数字进行排列，使得2在3的左边，3在5的左边，5在7的左边的排法种数为_________．
20．（2021·全国·高三竞赛）若多项式可以表示成，这里，则___.
21．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______.
22．（2021·全国·高三竞赛）一次聚会有8个人参加，每个人都恰好和除他之外的两个人各握手一次．聚会结束后，将所有握手的情况记录下来，得到一张记录单．若记录单上的每条握手记录不计先后顺序（即对某两张记录单，可以分别对其各条记录进行重新排列后成为两张完全相同的，则这两张被认为是同一种），则所有可能的记录单种数为_______．
23．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________．
24．（2021·浙江·高二竞赛）对于正整数，若展开式经同类项合并，合并后至少有2021项，则的最小值为______.
25．（2021·浙江·高三竞赛）已知整数数列，，…，，满足，，且（，2，…，9），则这样的数列个数共有______个.
26．（2021·全国·高三竞赛）将2枚白棋和2枚黑棋放入一个的棋盘中，使得棋盘的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种数为_________．
27．（2021·全国·高三竞赛）用平行于各边的直线将一个边长为10的正三角形分成边长为1的正三角形表格，则三个顶点均为格点且各边平行于分割线或与分割线重合的正三角形的个数是___________.
28．（2021·全国·高三竞赛）设，其中为常数，则___________.
29．（2021·全国·高三竞赛）设是1，2，…，9的一个排列，如果它们满足，则称之为一个“波浪形排列”.则所有的“波浪形排列”的个数为___________.
30．（2021·全国·高三竞赛）从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点，则“这三个点能够组成等腰三角形”发生的概率为___________.
31．（2021·全国·高三竞赛）圆周上有20个等分点，从中任取4个点，是某个梯形4个顶点的概率是_______．
32．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，点集．从K中随机取出五个点，则其中有四点共线或四点共圆的概率为____________．
33．（2021·全国·高三竞赛）在0、1、2、3、4、5、6中取5个数字组成无重复数字的五位数，其中是27倍数的最小数是_______．
34．（2019·山东·高三竞赛）6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是______ .
35．（2019·贵州·高三竞赛）若(a+b)n的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数n=____________ .
36．（2019·广西·高三竞赛）从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________ .
37．（2019·浙江·高三竞赛）在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________.
38．（2019·新疆·高三竞赛）随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和相等的概率为____________ .
39．（2019·新疆·高三竞赛）记[x]为不超过实数x的最大整数.若，则A除以50的余数为____________ .
40．（2020·全国·高三竞赛）现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有i，j的卡片只能放在i号或j号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有________种．
41．（2021·浙江·高三竞赛）一条直线上有三个数字，，，数字位于，之间，称数值为该直线的邻差值.现将数字1~9填入的格子中，每个数字均出现，过横向三个格子､竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8条直线的邻差值之和的最小值为______，最大值为______.
42．（2021·全国·高三竞赛）刘老师为学生购买纪念品，商店中有四种不同类型纪念品各10件（每种类型纪念品完全相同），刘老师计划购买24件纪念品，且每种纪念品至少购买一件．则共有________种不同的购买方案．
43．（2021·全国·高三竞赛）从集合的非空子集中随机取出一个，其元素之和恰为奇数的概率为____________．
44．（2021·全国·高三竞赛）将圆周等分于点，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为__________．
二、解答题
45．（2021·全国·高二课时练习）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，N={6，7，8，9}，从M中选3个元素，N中选2个元素组成一个含5个元素的新集合C，则这样的集合C共有多少个？
46．（2018·广东·高三竞赛）已知正整数n都可以唯一表示为 ①的形式，其中m为非负整数，（，），.试求①中的数列严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和.
47．（2019·江苏·高三竞赛）平面直角坐标系中有16个格点(i，j)，其中0≤i≤3，0≤j≤3.若在这16个点中任取n个点，这n个点中总存在4个点，这4个点是一个正方形的顶点，求n的最小值.
48．（2019·上海·高三竞赛）设n为正整数，称n×n的方格表Tn的网格线的交点(共(n+1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n+1)2分配给Tn的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称Tn的一个1×1格子S为“好方格”，如果从2S的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T2的格点的一种方式，其中B、C是好方格，而A、D不是好方格)设Tn中好方格个数的最大值为f(n).
（1）求f(2)的值；
（2）求f(n)关于正整数n的表达式.
49．（2021·全国·高三竞赛）平面上有n个点，其中无三点共线，将这n个点两两相连，用红、黄、绿三种颜色染这些线段，且任意三点所成的三角形的三条边均恰好有两种颜色，证明：．
50．（2021·全国·高三竞赛）求方程的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.