【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134°、106°、134°.则内角E是___________（用度数作答）.
2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系中，直线与圆：交于，，则__________．
3．（2021·全国·高三竞赛）在中，所对的旁切圆与边相切于点D，所对的旁切圆与边相切于点E．若，则面积的最大值为_______．
4．（2021·浙江·高三竞赛）在中，，在，为上两点，且，，点为的内心.若°，则______.
5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数成等差数列，且以为三边长可以构成一个三角形，则的最小可能值为________.
6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC中，AB=30，AC=20，S△ABC=210，D、E分别为边AB、AC的中点，∠BAC的平分线分别与DE、BC交于点F、G，则四边形BGFD的面积为________.
7．（2018·山东·高三竞赛）若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______．
8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC中，，，则△ABC的面积最大值为_____.
9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形中，，对角线、相交于O，，P、Q分别是腰、上的点，且，若，则_________．
10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC中，.在△ABC外部，到点B、C的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .
二、解答题
11．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，E、F分别为延长线上的点，且的外接圆与交于不同于E的点K．证明：点K在的角平分线上．
12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形中，､分别是边上的点，线段､交于点P，和的外接圆的第二个交点Q位于的内部.证明：.
13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O、H分别为的外心与垂心，M、N分别为、的中点．是的外接圆的一条直径，如果是一个圆的内接四边形，证明：．
14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角的外接圆为，过B、C分别作圆的切线交于点P，P在直线、、上的投影分别为D、E、F，的外接圆与交于点N（不同于点D），A在上的投影为M．求证：．
15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形中，，M为的中点．D为线段上一点，E、F分别为上的点，且四边形为平行四边形.交于点P，的延长线交的延长线于点Q，的外接圆交的外接圆于A、K两点．
求证：K、Q、P、O四点共圆．
16．（2021·全国·高三竞赛）如图，、为圆的两切线，为圆的一条割线，为切点连线，D为过C、B关于圆的切线的交点，证明：D、E、F共线．
17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，，G为重心，P为射线上一点，满足，Q为射线上一点，满足，证明：、的外接圆的另一个交点在上．
18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形的对角线与交于点P，并且与交于Q．若，且E是的中点．求证：．
19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，最短，D、E分别在上满足，设I是内心，O是外心，求证：.
20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角中，为边中点，内切圆与边切一点的内切圆与边切于点，若四边形为平行四边形，求证：在的平分线上.
21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O是的外接圆，切线交于点P，D是的中点，K、L分别在线段上，且满足，连结，求证：．
22．（2021·全国·高三竞赛）点P为椭圆外一点，过P作椭圆两条切线、，切点分别为A、B，连结，点M、N分别为、中点，连结并延长交椭圆于点C，连结交椭圆于另一点D，连结并延长交于Q，证明：Q为的中点．
23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角中，，D、E分别是、的中点，的外接圆与的外接圆交于点P（异于E），的外接圆与的外接圆交于点Q（异于D），证明：．
24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE、CF分别是锐角三角形△ABC的两条高，以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N，以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q四点共圆.
25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD的边长为1点M是边AD的中点以M为圆心AD为直径作圆，点E在线段AB上，且直线CE与圆相切.求△CBE的面积.
26．（2018·江西·高三竞赛）如图，的内心为，、、分别是边、、的中点，证明：直线平分的周长．
27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角中，、是边上的点，、、的外心分别为、、．证明：
（1）∽；
（2）若，则．
28．（2019·全国·高三竞赛）在中，设∠C=90°，，垂足为D，P、Q分别为、的内心，PQ与CD交于点K，记的面积为S.证明：.
29．（2018·全国·高三竞赛）如图，与的半径相等，交于X、Y两点. 内接于，且其垂心H在上，点Z使得四边形CXZY为平行四边形.证明：AB、XY、HZ三线共点.
30．（2021·全国·高三竞赛）如图，以为直径的圆上有C、D两点，、两点的中点为E、F，直线与直线、分别交于G、H，求证：以为直径的圆和以为直径的圆有一交点在上．
31．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰中，，设点D是边上一点，点E是线段的中点，延长与底边交于点F，证明：若，求证：.
32．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角中，已知点D､E､F分别是点A､B､C在边､､上的投影，､的内心分别为､，､的外心分别为､，证明：.
33．（2021·全国·高三竞赛）如图，是的一条弦，的垂直平分线交于两点，交于点．为内一点，外接圆交于点的外接圆交于点，且点在直线同侧．证明：．
34．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角的外接圆为，D是A在上的射影，假设，点M为中点，的角平分线与交于点N，上一点P满足．直线与交于点F，直线与圆再交于点Q．直线与的外接圆再交于点E．证明：．
35．（2021·浙江·高三竞赛）如图，是的外接圆，是弧（不含）上一点，为弧的中点.为线段上一点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，过作的平行线交弧于点.已知上的点满足被平分.证明：.
36．（2021·全国·高三竞赛）在锐角中，D为边上一定点，P为边上一动点，直线交于点Q，交于点X．、、的三个外接圆分别交于X外的另三点、、，过、、分别作垂线、、，证明：、、均过定点．
37．（2021·全国·高三竞赛）在中，点P、Q、R分别位于边、、上，、、分别是、、的外接圆，线段与、、分别相交于点X、Y、Z.证明：．
38．（2021·全国·高三竞赛）点是的外接圆圆心，含点的的中点为，点在不包含点的上.点在圆上且.点在线段上.过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点.点在圆上，使得是的角平分线.证明：.
39．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，，且为边上的高，为边上的中线，为的平分线，与分别交于两点，与交于点，令．求证：，且是最好的界（即可以无限接近于）．
40．（2021·全国·高三竞赛）设的内心为点，内切圆分别切于．直线与交于点．连结并延长，交于点．求证：是中点．
41．（2021·全国·高三竞赛）已知上依次四点A､B､C､D，射线交于点P.射线交于点Q，弦交于点R，点M为线段的中点.过点O作的垂线，分别于点U､V.过点U作的切线，与切于点K.
证明：（1）P､Q､V､O四点共圆；
（2）K､M､R三点共线.
42．（2020·全国·高三竞赛）如图，在等腰中，，I为内心，M为的中点，P为边上一点，满足，延长线上一点H满足，Q为的外接圆上劣弧的中点．证明：．
43．（2020·全国·高三竞赛）如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点点P在△ABC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP、△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明：若DE=MP，则BC=2BP.
44．（2019·江苏·高三竞赛）如图所示，D是△ABC中，边BC的中点，K为AC与△ABD的外接圆O的交点，EK平行于AB且与圆O交于E，若AD=DE，求证：.
45．（2019·广西·高三竞赛）如图所示，AD、AH分别是△ABC（其中AB>AC）的角平分线、高线，点M是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于点E.求证：∠AEB=90°.
46．（2019·福建·高三竞赛）如图，O､H分别为锐角△ABC的外心垂心，AD⊥BC于D，G为AH的中点点K在线段GH上，且满足GK=HD，连结KO并延长交AB于点E.
（1） 证明：；
（2） 证明：.
47．（2019·全国·高三竞赛）如图，点A､B､C､D､E在一条直线上顺次排列，满足BC=CD=，点P在该直线外，满足PB=PD.点K､L分别在线段PB､PD上，满足KC平分∠BKE，LC平分∠ALD.
证明：A､K､L､E四点共圆.
48．（2021·全国·高三竞赛）如图，给定两个相交的圆与，A、B为、的交点，一动直线经过B与交于点C，与交于点D，且B在线段内，过C的的切线与过D的的切线相交于点M，连结交于点E，过点E作的平行线交于点K，求点K的轨迹.
（2021·全国·高三竞赛）的外接圆与内切圆分别为、，为旁切圆．
49．证明：存在唯一圆，与内切、与外切，并且与内切于点A．
50．设圆与、的切点分别为P、Q．如果，求证：．