高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布课时作业

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目标素养
概念梳理
1．正态分布
(1)正态密度函数f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e eq \s\up15(－eq \f(x－μ2,2σ2)) ，x∈R。其中μ∈R，σ>0为参数。
它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线。
(2)正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)。特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布。
(3)正态分布的概率。若X～N(μ，σ2)，则如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积。
2．正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(4)曲线与x轴之间的区域的面积为1；
(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示。

3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3。
【概念辨析】
1. 正态密度函数f(x)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E(X)去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差eq \r(DX)去估计。
2. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
正误辨析
判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
1. 正态密度函数解析式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.( )
2. 正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.( )
3. 正态曲线关于y轴对称.( )
初试身手
1. 设两个正态分布N(μ1，σeq \\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq \\al(2,2))(σ2>0)的概率密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1σ2
2. 正态分布N(0,1)在区间[－2，－1)和(1,2]上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )
A．P1＝P2 B．P1P2 D．不确定
3. 若随机变量X～N(10，σ2)，P(9≤X≤11)＝0.4，则P(X>11)＝________。
4. 抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分。已知P(400≤X≤450)＝0.3，则P(550≤X≤600)＝________。
5. 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1≤X≤3)；
(2)P(3μ时，曲线下降，当x2)＝0.15，则P(0≤X≤1)等于( )


2.已知随机变量X服从正态分布N(100，4)，若P(m≤X≤104)＝0.135 9，则m等于( )
A.100 B.101
C.102 D.103
3. 设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝eq \f(1,\r(8π))e－eq \f(（x－10）2,8)，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
4. 下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，错误的是( )
A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B.当x>μ时，曲线下降，当xP(X≤σ1)
C.对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D.对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)
跟踪测试
一、单选题
1. 已知随机变量X～N(6,1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7