高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布同步测试题

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目标素养
概念梳理
1．超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品。从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r。其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}。如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布。
2．超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，从包含M件次品的N件产品中不放回地随机抽取n件产品，令p＝eq \f(M,N)，则E(X)＝np。
【概念辨析】
1. 超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，N——总体中的个体总数， M——总体中的特殊个体总数(如次品总数)，n——样本量，k——样本中的特殊个体数(如次品数)。求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列。
2. 超几何分布与二项分布二者之间的区别：两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”，只要将概率模型中的“无放回”改为“有放回”，或将“有放回”改为“无放回”，就可以实现两种分布之间的转化。二者之间的转化条件：事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布。在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是：①产品件数无限多，否则无放回地抽取n件产品是不能看作n次独立重复试验的；②在产品件数N无限增加的过程中，次品数M应按相应的“比例”增加，否则上述事实也是不成立的。
正误辨析
判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
1. 超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成．( )
2. 二项分布的参数是N，n ，M，超几何分布中的参数是n，p.( )
3. 某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．( )
初试身手
1. 一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( )
A.eq \f(28,45) B.eq \f(16,45) C.eq \f(11,45) D.eq \f(17,45)
2. 已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的均值为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
3. 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为X，则P(X≤1)＝________。
4. 把X，Y两种遗传基因冷冻保存，若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率是________。
5. 某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查。生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占A小区总人数的比例如下表所示：
在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列与均值。
题型讲解
探究（一）超几何分布的概率
【典例1】现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为eq \f(1,7).
①求7名学生中甲班的学生数；
②设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．
【补充训练1】一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26))的是( )
A．P(0