高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布当堂达标检测题

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1．n重伯努利试验
（1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；
（2）定义：将一个伯努利实验独立地重复进行次所组成的随机试验称为n重伯努利实验；
（3）特征：（1）同一个伯努利实验重复做n次；（2）各次试验的结果 .
2．二项分布
（1）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 ，且有 ， .
注：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是与.
（2）确定一个二项分布模型的步骤
①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
②确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；
③设的次独立重复试验中事件发生的次数，则
3．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 ，，，，，. 其中n，N，，，，，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从 ..
4．超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 ，.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
5．服从超几何分布的随机变量的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品的次品数．令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则 ．
自检自纠：
1．相互独立 2．X～ 3． 超几何分布 4． 5．
二、分层小练：
A.基础训练
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．以下分布中是伯努利分布的是（ ）．
A．掷一枚硬币正面次数的分布
B．掷两枚硬币正面次数的分布
C．抛一颗骰子点数的分布
D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布
【答案】A
【详解】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布．则选项A符合，选项BCD不符合.故选：A.
2．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（ ）
A．n B． C． D．
【答案】C
【详解】设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布.∴抽到的次品数的均值.故选：C
3．设～，，，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意得，解得.故选：D.
4．已知随机变量，若，则，分别是（ ）
A．4和0.6B．4和2.4C．1和2.4D．1和0.6
【答案】D
【详解】，则，，由，则，，.故选：D
5．有6件产品，其中4件是次品，从中任取2件.若随机变量X表示取得正品的件数，则P(X>0)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.故选：A
6．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币恰有一枚正面向上的次数为X，则X的数学期望是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【详解】2枚硬币抛掷一次，恰好有一枚正面向上的概率为，则X服从二项分布，所以.故选：D
7．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为，罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次，故概率.故选：C
8．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（ ）
A．6 B． C． D．9
【答案】B
【详解】当抽取三张都是2元时，得奖金额是6元；当抽取两张2元一张5元时，得奖金额是9元；当取一张2元两张5元时，得奖金额是12元，故得奖金额为,对应的概率分别是，，故此人得奖金额的数学期望为，故选：B.
二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分）
9．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】从个产品中任意抽取个，基本事件总数为个；其中恰好有个二等品的基本事件有个，恰好有个二等品的概率；也可由对立事件计算可得.故选：AD.
10．一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的最小号码服从超几何分布
B．取出的白球个数服从超几何分布
C．取出2个黑球的概率为
D．若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为
【答案】BC
【详解】对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，
即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；
对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确；对于，取出2个黑球的概率为，故C正确；对于，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小，总得分最大的概率为，故不正确.故选：.
11．一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则（ ）
A．该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数的均值为15
B．该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数的方差为6
C．该学生在这次测验中的成绩的均值为60
D．该学生在这次测验中的成绩的方差为24
【答案】ABC
【详解】设答对个数为，则，所以，A对，，B对.设得分为，则，则，C对，，D错.故选：ABC
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．下列随机变量中，服从超几何分布的有 ．(填序号)
①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；
②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.
【答案】①②
【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．故答案为：①②.
13．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为 ．
【答案】
【详解】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜．
乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为．
所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为．
故答案为：．
14．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是 .
【答案】
【详解】超几何分布，他能及格的概率是： .
B.提升强化
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，故选：A．
2．若离散型随机变量，，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，得，所以.故选：C.
3．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（ ）
A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919
【答案】D
【详解】由题意得，，的取值为，∵.
∴.故选：D.
4．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为的是（ ）
A．都不是白球 B．恰有1个白球 C．至少有1个白球 D．至多有1个白球
【答案】D
【详解】P(都不是白球)＝＝，P(恰有1个白球)＝＝，P(至少有1个白球)＝＝，P(至多有1个白球)＝＝.故选：D.
5．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5B．
C．的概率最大D．服从超几何分布
【答案】C
【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误；对于B，，故B错误；对于D，由题意，随机变量，故D不正确；对于C，随机变量，，若取得最大值时，则: ，则，解得，则．故的概率最大，所以C正确；故选：C.
6．已知随机变量的分布列如下：
其中，2，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】由表中数据可知，∴，，又∵，
∴，，∴，.故选：B
7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X=12)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，任取一个球出现红球的概率是，因每次任取一个球记下颜色后放回，则每次取球出现红球的概率都是，P(X=12)表示共取球12次，第12次取出的是红球，前11次共取到9次红球，显然各次取球互不影响，所以.故选：D
8．如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID-19的概率统计表：
一次核酸检测的准确率为．某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID-19疫苗，感染COVID-19的概率都为0.01．这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的．他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测．以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID-19的概率为依据，这10次核酸检测中，有次结果为确诊，的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据条件，．一个人落实了表中三项防疫措施后，感染COVID-19的概率为，一次核酸检测的准确率为，这个人再进行一次核酸检测，可知此人被核酸检测确诊感染COVID-19的概率为．以这家人核酸检测确诊感染COVID-19的概率为依据，这家3人10次核酸检测中被确诊感染COVID-19的次数为，
∴．故选：B．
二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分）
9．袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，现从中有放回地随机取球3次，每次取一个球，每次取到白球得0分，黑球得5分，设3次取球总得分为X，则（ ）．
A．3次中恰有2次取得白球的概率为 B． C． D．
【答案】BC
【详解】设3次取球取到白球的个数为，每次取到白球的概率，由题意可得：，且，对于A：，故A错误；对于B：令，解得，故或，所以，故B正确；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为，所以，故D错误；故选：BC.
10．把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（ ）
A．服从超几何分布B．服从二项分布
C．D．若，则
【答案】BD
【详解】对于AB，根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为，所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，则随机变量服从二项分布，所以A错误，B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：BD
11．下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X
【答案】CD
【详解】AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意；CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则 .
【答案】3
【详解】∵一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，∴，∴.故答案为：3.
13．若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时， ．
【答案】3或4
【详解】依题意，依题意，
，，，所以、不是的最大项，当时，由，整理得，即，整理得，，所以当为3或4时，取得最大值.故答案为：3或4
14．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考

【答案】7
【详解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
设小球落入号格子的概率最大，显然，，则解得，又为整数，所以，所以小球落入号格子的概率最大．
故答案为：．
0
1
2
单独防疫措施
戴口罩
勤洗手
接种COVID-19疫苗
感染COVID-19的概率