高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册正态分布教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册正态分布教学设计，共22页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.通过误差模型，知道服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，提高数学建模的核心素养；
2.通过具体实例等，能说出正态分布的特征，会用面积表示概率Pa≤X≤b，会简单计算正态分布的概率，体会数形结合和转化思想，提高直观想象、数学抽象及数据分析的核心素养题；
3.了解变量落在区间μ−σ，μ+σ，μ−2σ，μ+2σ，μ−3σ，μ+3σ内的概率大小，并用正态分布解决实际问题；
4.能识别正态分布的参数对密度曲线的影响，知道正态分布均值、方差及其含义，并能解决简单的实际问题，提高逻辑推理、数学运算的核心素养.

二、教学重难点
重点：正态分布密度曲线的特点，利用3σ原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题.
难点：描述正态分布随机变量的概率分布.

三、教学过程
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，学生回顾并回答.
思考1：我们已经学过哪几个分布模型？
答：两点分布、二项分布、超几何分布.
思考2：还记得它们的具体内容吗？
答：两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，
A表示“失败”，定义X=1,A发生，0,A发生.如果PA=p，则pA=1—p，那么X的分布列如表所示
我们称X服从两点分布或0－1分布.
二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
设计意图：通过具体实例，逐步分析、探索出正态分布的概念，让学生对正态分布的定义有一个初步了解和认识，为后面进一步研究正态分布奠定基础.
任务二 正态曲线的性质
思考1：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
师生活动：学生独立完成，教师点评.
f (x)
1σ2π
在此处键入公式。
在此处键入公式。
x
μ
a
x
b
O
答：
由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:
(1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
(2) 曲线在x=μ处达到峰值1σ2π；
(3) 当|x| 无限增大时，曲线无限接近x轴.
思考2：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征？
师生活动：教师提出问题，学生独立完成.
答：由于正态曲线关于x=μ对称，因此，当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，所以参数μ反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计,故有EX=μ.
当μ固定时，因为正态曲线的峰值1σ2π 与σ成反比，而且对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.
因此，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散.所以σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有DX=σ2.
设计意图：通过设立问题，引领学生进一步探索正态曲线的性质，深化学生对正态分布的理解，培养学生归纳推理的核心素养.
做一做：李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到: 坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4. 假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1) 估计X，Y的分布中的参数；
(2) 根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;
(3) 如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具? 如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具? 请说明理由.
师生活动：学生独立完成，教师根据学生的作答情况给予点评，并出示解答过程.
分析：对于第(1)问，正态分布由参数μ和σ完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计.
对于第(3)问，这是一个概率决策问题, 首先要明确决策的准则, 在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断．
解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.
用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，可以得到X~N(30, 62)，Y~N(34, 22).
(2) 由(1)得X~N(30, 62)，Y~N(34, 22)，作出X和Y的分布密度曲线如图所示.
（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知，
因为PX>38>PY>38，所以1−PX>3838,即PX≤38PY≤34，所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.
设计意图：通过练习的学习，帮助学生熟悉正态分布性质，掌握利用正态分布求概率的方法.
任务三 正态分布的应用
思考1：正态曲线与x轴所夹面积有什么特点？
师生活动：学生独立思考，尝试解答思路，然后再进行小组讨论交流，学生代表回答，教师引导点拨.
答：正态曲线与x轴所夹面积恒等于1.
思考2：对称区域面积有什么特点？
答：对称区域面积相等.
思考3：有上述特点可以得到有关于概率的什么结论？
答：正态曲线下对称区域的面积相等能得到对应的概率也相等.
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
做一做：若X～N(1, σ2)，且P(X1=
(2)PX>0=
(3)P0