初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）13.2 勾股定理的应用完整版复习课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）13.2 勾股定理的应用完整版复习课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了a2＋b2＝c2，勾股定理的验证，平方和，复习题，或25等内容，欢迎下载使用。
3.熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点）
1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 　 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　.
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a、b (且 a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝_________；当 a 是斜边时，第三边 c＝_________.
注意事项 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．
据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：
3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形．
利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1) 确定最大边；(2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ；(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是　 　三角形．
4．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个　 　数 a、b、c，称为勾股数．[注意] 勾股数都是正整数．
5．勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1) 已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2) 说明线段的平方关系问题；(3) 在　 上作表示 等数的点的问题；(4) 解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理．
1.求下列各图形着色部分的面积：(1)如图①，着色部分是正方形；(2)如图②，着色部分是长方形；
S=132-122=25(cm2).
(3)如图③，着色部分是半圆（保留π）.
2.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系.
解：以a、b为斜边的两个等腰直角三角形的面积等于以c为斜边的等腰直角三角形的面积．
3.试判断由下列三边围成的三角形是否是直角三角形：(1)三边长分别为m2+n2、mn、m2−n2(m>n>0)；
解：(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，(mn)2+(m2−n2)2=m2n2+m4−2m2n2+n4=m4−m2n2+n4，故(m2+n2)2≠(mn)2+(m2−n2)2，∴该三角形不是直角三角形.
(2)三边长之比为1∶1∶ .
4.一架2.5m长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙0.7m，如果梯子的顶部滑下0.4m，梯子的底部向外滑出多远？
解：如图，AB=DE=2.5m，BC=0.7m，AD=0.4m.∴在Rt△ABC中，AC= ==2.4(m).∵AD=0.4m，∴CD=AC−AD=2m.∴在Rt△CDE中，CE= ==1.5(m)，故BE=CE−BC=1.5−0.7=0.8(m).答：梯子的底部向外滑出0.8m.
5.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm.求正方形A、B、C、D的面积和.
解：SA+SB+SC+SD =SE+SF =SG=72=49(cm2).
6.在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2.求BD的长.
7.已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm. 求这个三角形的面积.
8.如图，有一块四边形地ABCD，∠B=∠90°. AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m. 求该四边形地的面积.
AC2+CD2=52+122=132=AD2，
由勾股定理的逆定理得∠ACD=90°，
所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC
答：这块四边形地的面积是36m2.
9.我们已经知道，3、4、5，6、8、10 等都是一些勾股数.请你再写出其他5组勾股数.
解：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，12，15；12，16，20(答案不唯一).
10.试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角.
证明：假设一个五边形中存在4个内角为锐角，则这4个内角的和小于360°.而五边形的内角和等于540°，那么剩余的第5个角的度数必然大于180°，这与五边形的每一个内角都小于180°相矛盾，故假设不成立.即一个五边形不可能有4个内角为锐角.
11.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°.求∠DAB的大小.
解：连接AC，∵AB=BC=2，∠B=90°，
在△ACD中，AD2+AC2=9=CD2，
∴△ACD中是直角三角形，∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.
1. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝(　　)A．8 B．10 C．12 D．13
2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋AC＝9，BC＝3，则AC的长为________．
3. 如图，甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图乙所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长(图乙中的实线)是________．
4. 如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(　　)A．5 B．4 C．6 D．16
【点拨】易知△ABC≌△BDE，∴AC＝BE.∵DE2＋BE2＝BD2，∴DE2＋AC2＝BD2，即S2＋S1＝1.同理．可证S2＋S3＝2，S3＋S4＝3.∴S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6.
5. 一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度AB＝1.3米，如图，与小狗的距离AC＝2.4米，小狗的高CD＝0.3米．(绳子一直是直的)(1)此时牵狗绳BD的长是多少？
(2)小方将手上的小球扔至3米远的M处，若她站着不动，牵狗绳最长放至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．(假设小狗碰到球就能将球捡回来)
6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝________．
7．如图，这是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝24 cm，CB＝18 cm，两轮中心的距离AB＝30 cm，则点C到AB的距离为________cm.
8. 如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与公路AB上两点A，B的距离分别为200 m和150 m，AB＝250 m，环卫车周围130 m以内(不包括130 m)为受噪声影响区域．(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
【解】学校C会受噪声影响．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵AC＝200 m，BC＝150 m，AB＝250 m，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间为2 min，求环卫车的行驶速度为多少．
9. 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13，7，24，25；….这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1.还有一类勾股数，其特点是勾为偶数，弦与股相差为2，例如6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为12，则其弦是________．
【点拨】设弦是x，则股为x－2，则122＋(x－2)2＝x2，解得x＝37.
10. 勾股定理中a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，……分析上面的勾股数组可以发现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，……则第5个勾股数组为____________________．
(11，60，61)
【点拨】由勾股数组(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，……中4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，……可得第4个勾股数组中间的数为4×(9＋1)＝40，即第4个勾股数组为(9，40，41)；第5个勾股数组中间的数为5×(11＋1)＝60，即第5个勾股数组为(11，60，61)．
11．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1＝∠A＋∠B.
【证明】假设∠1≠∠A＋∠B，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＝180°－∠2.∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－∠2.∴∠1＝∠A＋∠B，与假设相矛盾．∴假设不成立．∴∠1＝∠A＋∠B.
12．如图，四边形ABCD是一块长方形土地，AB＝20 cm，AD＝10 cm，中间竖有一堵高2 cm的长方体砖墙(MN＝2 cm)，一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬________cm.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝________．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连结CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连结CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为________．
15. 在△ABC中，AB＝15，BC＝20，BD为AC边上的高，且BD＝12，则AC＝__________．
16. 如图，C为直线l上的一个动点，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，点E在点D的右侧，并且点A，B在直线l的同侧，AD＝DE＝8，BE＝2，连结AC，BC，AB，当CD的长为多少时，△ABC为直角三角形？
【解】第一种情况：如图①，当∠BAC＝90°时，过点B作BF⊥AD于点F.∵BE⊥l，AD⊥l，∴四边形DEBF为长方形．∴BF＝DE＝8，DF＝BE＝2.∴AF＝AD－DF＝6.由勾股定理，得AB2＝AF2＋BF2＝100，AC2＝AD2＋CD2＝64＋CD2，BC2＝(CD＋8)2＋22＝CD2＋16CD＋68，AB2＋AC2＝BC2，∴100＋64＋CD2＝CD2＋16CD＋68，解得CD＝6；