华东师大版（2024）第13章 勾股定理13.1 勾股定理及其逆定理3. 反证法优秀ppt课件

这是一份华东师大版（2024）第13章 勾股定理13.1 勾股定理及其逆定理3. 反证法优秀ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了情境导入，路边苦李，王戎的推理方法是，假设李子不苦，反证法，知识要点，a＜0，b是0或负数，a不垂直于b，a不平行于b等内容，欢迎下载使用。
3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
思考 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
探究： (1) 假设它是直角三角形；(2) 根据勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾；(3) 因此假设不成立，即它不是直角三角形.
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的；(2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
像这样的证明方法叫“反证法”.
例1 写出下列各结论的反面： (1) a∥b； (2) a≥0； (3) b 是正数； (4) a⊥b.
例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
证明：假设　　　　　，则　　　　　(　　　　　 ).这与　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．∴　　　　　　　　．
小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C = 90°，那么 a2 + b2 = c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢? 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C≠90°，那么a2 + b2≠c2 ”是真命题吗?
假设在△ABC 中，∠C≠90° 时， a2 + b2 = c2 成立.
根据勾股定理的逆定理，当 a² + b² = c² 时，△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾.
所以假设不成立，即原命题“在△ABC 中，如果 AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么 a² + b²≠c² ”是真命题.
例3 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：如图，两条相交直线 a，b.求证：a 与 b 只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线 a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设 a 与 b 不止一个交点，不妨假设有两个交点 A 和 A'，因为两点确定一条直线，即经过点 A 和 A' 的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立. 所以两条直线相交只有一个交点.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，即　 　　　　　　　　　　　，于是　 　　　　　　　　　　　　　　，这与　 　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．所以　 　　　　　　　　　　　　　　　　．
△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°
三角形的内角和为180°
△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°
点拨：至少的反面是没有！
∠A +∠B +∠C＞60° + 60° + 60° = 180°
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.  
至多有（n - 1)个
至少有（n + 1)个
1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设(　　)A．没有一个角是钝角或直角B．至多有一个钝角或直角C．没有一个角是锐角D．没有一个角是钝角
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连结PA，PB，PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设(　　)A．AB≠ACB．PB＝PCC．∠APB＝∠APCD．∠PBC≠∠PCB
3．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与(　　)矛盾．A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条D．垂直的定义
4．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补．
【解】已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求证：∠1＋∠2＝180°.证明：假设∠1＋∠2≠180°.∵l1∥l2，∴∠1＝∠3.∵∠1＋∠2≠180°，∴∠3＋∠2≠180°，这和平角为180°矛盾，∴假设∠1＋∠2≠180°不成立，即∠1＋∠2＝180°.
5．已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；②因此假设不成立．∴∠B＜90°；③假设在△ABC中，∠B≥90°；④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是(　　)A．④③①② B．③④②①C．①②③④ D．③④①②
6．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设______________________．
7. 阅读下列内容，回答问题．题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.证明：假设AC＝BC.因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B.所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC.上面的证明过程有没有错误？若没有错误，指出证明的方法；若有错误，请改正．
【解】有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.又因为∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC.
8. 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法证明点M与点D不重合．
【证明】假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM＝MN，连结BN.∵AM是BC边上的中线，∴CM＝BM.又∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN，∴△AMC≌△NMB.∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC.∵AM(AD)是∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC，∴∠MNB＝∠BAM，∴BN＝AB，∴AC＝AB，这与AB＞AC相矛盾．∴点M与点D重合是错误的．∴点M与点D不重合．