八年级上册（2024）13.2 勾股定理的应用教案

这是一份八年级上册（2024）13.2 勾股定理的应用教案，文件包含2026年高考物理一轮复习通用版专题17热学知识清单教师版docx、2026年高考物理一轮复习通用版专题17热学知识清单学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共60页， 欢迎下载使用。
一、教学内容分析
1.内容
“勾股定理的应用”选自华东师大版（2025版）《义务教育教科书 数学 》八年级上册（以下统称“教材”）第13章第2节第2课时.
2.内容解析
勾股定理是几何学中一条古老的著名定理，其形式优美、简单，揭示了直角三角形三边的关系，反映了自然界的和谐关系，是把“数”与“形”联系起来的重要定理.勾股定理不仅在数学和其他学科中有着广泛的应用，而且它的起源和证明还蕴含了丰富的数学思想方法和文化价值.在初中阶段，勾股定理及其逆定理的证明和应用是图形与几何部分的重要内容之一，也是后面学习锐角三角函数、解直角三角形的基础.勾股定理来源于实际生活，勾股定理在实际生活和解决数学问题中又有着广泛的应用.
二、学情分析
对于八年级的学生来说，尽管学生在学习勾股定理之前，已经掌握了基本的几何知识，如直角三角形的性质.学生需要将已有知识与新知识（勾股定理）进行整合，形成新的认知结构.学生在解决实际问题时，需要具备将实际问题转化为数学问题的能力，一定的逻辑思维能力和空间想象能力，以便更好地理解和应用勾股定理.
基于以上的分析，确定本节课的难点：准确熟练地将立体图形（如正方体、长方体、圆柱体等）展开为平面图形，理解展开过程中各部分的对应关系，同时能精准计算展开后平面图形的相关尺寸，进而顺利将立体几何中表面两点间的最短路径问题转化为平面几何问题.
三、核心素养分析
探索蚂蚁觅食路径最短问题，是初中数学中融合多方面核心素养的典型载体，该问题将“蚂蚁在立体表面爬行找最短路径”的实际场景，抽象为“立体图形展开为平面图形，再利用‘两点之间，线段最短’的基本事实确定路径，最后通过勾股定理计算长度”的数学问题.学生需感悟“蚂蚁、食物、立体模型”等具体情境，提炼出“起点、终点、立体表面、路径长度”等核心要素，建立“实际问题—数学模型—计算求解”的关联，这一过程直接培养了从具体到抽象的数学抽象能力.通过该过程，学生能逐步掌握“从实际问题中建立数学模型并解决问题”的核心方法，提升数学建模素养，为后续学习空间几何奠定基础.
四、教学目标
1.能从立体图形表面最短路径、平面内点到直线的最短距离问题，抽象出 “直角三角形边长关系” 的数学本质，将最小值问题转化为“求直角三角形斜边或直角边长度” 的数学问题，建立实际场景与数学模型的关联.​
2.在探究 “立体图形表面展开求最短路径” 时，能通过 “展开面→构造直角三角形→验证边长关系” 的推理过程，说明 “展开后两点连线为最短路径” 的合理性，提升论证能力.​
3.掌握 “实际最小值问题→抽象为直角三角形模型→运用勾股定理计算→回归实际问题验证” 的建模流程，能针对不同场景（如长方体表面爬行、圆柱侧面绕线等）构建对应的直角三角形模型，明确模型中直角边与实际问题中线段的对应关系.​
4.能准确运用勾股定理进行边长计算，包括已知两直角边求斜边、已知斜边和一直角边求另一直角边，能处理含根号的运算及实际问题中单位换算后的运算，保证计算结果的准确性.
五、教学过程
学习阶段
教师活动
学生活动
设计意图
课前准备
三角板 教案 操作课件 粉笔
铅笔，红笔，橡皮擦，直尺
正方体，长方体，圆柱体模型
课堂实施
（一）创设情境， 导入新课
生动地讲述蚂蚁家族比赛的故事：
为了挑选出一位文韬武略、才智双全的“最强蚂蚁”作为全体民众的楷模，蚂蚁家族每年都会举办一场全员参与、公平竞争的赛事.经过多轮激烈的比赛，蚂蚁豆豆、小黑两名实力相当的选手最终进入了今年的冠军争夺赛.
争夺赛是在一个正方体罐子上进行的.根据比赛的规则，豆豆、小黑需要沿正方体表面行进，从其中一个顶点出发，到达与之相对应的另一个顶点，并取得放置在那里的蜂蜜.谁能沿着正方体表面最快夺得蜂蜜，谁就可以被授予“英雄楷模”的称号.
提出问题：
“在立体图形上，怎么找两点间的最短路线呢？”
——引出本节课的课题
1.认真听完蚂蚁比赛的故事后，学生以小组为单位，猜想蚂蚁从正方体一个顶点到相对顶点的最短路径，各小组内部交流.
2.将正方体展开，画出从起点到终点的路径，小组内对比，交流.
1.通过有趣的蚂蚁比赛故事，激发学生的学习兴趣.
2.借助正方体模型展开图，让学生直观地感受立体图形与平面图形的转化，理解最短路径的确定方法.
3.小组讨论，动手操作，培养学生的合作交流能力、动手能力以及空间想象能力；同时也让学生感悟到数学在实际问题中的应用.
（二）动手操作， 探索新知
活动一：探索正方体表面蚂蚁爬行最短路径问题
如图，蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点 A 爬到顶点 B，则它走过的最短路径为多少?

教师布置学习任务并提出问题
问题1：正方体表面两点间最短路径的本质是什么？
教师引导学生回忆：“两点之间，线段最短”的基本事实，提示学生思考立体图形中如何应用这一平面几何的结论，板书“两点之间，线段最短”.
问题2：蚂蚁从A到B爬行有几种路径？能画出来吗？并计算出那条路径最短.
（教师根据学生画图展示点评）
反馈练习1：如果正方体棱长为 3 ，蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 B 的最短路程是多少？
问题3：若正方体变为长方体，长、宽、高分别为 6 cm,4 cm,3c m，蚂蚁从一个顶点A爬到对角顶点B的最短路径有几种展开方式？哪种方式路径最短？
教师巡视指导，在学生操作过程中，观察学生的展开方式和计算过程.对计算有困难的小组单独指导.针对学生展示内容进行点评，引导学生得出哪种展开方式路径最短.
结合已有知识，小组内交流讨论.
根据问题1提示
尝试阐述最短路径的本质是将立体图形展开为平面图形后，求两点间的线段长度.
学生根据问题2独立完成作图，小组讨论，个别展示



解：已知正方体的边长是1，所以有
所以最短路径是
发现：正方体中蚂蚁爬行的最短路径为：
学生完成反馈练习1
学生根据问题3独立完成作图，小组讨论，个别展示.
学生1：

路径1：
学生2：

路径2：
学生3：

路径3：
发现：长方体中蚂蚁爬行的最短路径为：
问题1：帮助学生抓住问题的核心，为后续将正方体表面展开为平面图形解决最短路径问题奠定理论基础.
问题2：通过具体的数值计算，让学生将抽象的方法应用到实际计算中，巩固新知，同时培养学生的运算能力和运用能力.
问题3：从正方体拓展到长方体，提升问题的难度和综合性，培养学生的类比迁移能力和分类讨论思想，同时锻炼学生的逻辑推理和分析比较能力.
活动2：探索圆柱体表面蚂蚁爬行最短路径问题
如图 13.2.1，一个圆柱体的底面周长为20cm, 高AB为4cm, BC 是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C .求这只蚂蚁爬行的最短路程.(精确到0.01cm)

问题1：圆柱侧面展开后是什么图形？展开图与圆柱的底面周长、高有什么关系？
教师引导学生回忆圆柱侧面展开的知识，可借助圆柱模型现场演示展开过程，然后引导学生观察展开图的长和宽与圆柱底面周长、高的对应关系.
问题2：为什么蚂蚁从A到C的最短路径可以通过展开圆柱侧面来求？依据是什么？画图展示并计算.
引导学生分析：蚂蚁实际上是在圆柱体的半个侧面内爬行，如果将这个侧面展开，得到长方形，根据“两点之间，线段最短”，所求爬行的最短路径就是这一展开图的中AC的长.
反馈练习2：在一个圆柱石凳上，蚂蚁从A处看到B处有食物，如果高为12cm,底面半径为3cm,π取3.请问蚂蚁吃到食物的最短路程是多少？
问题3：若圆柱底面周长为6 dm，圆柱高为6 dm.在圆柱的侧面上，P 是母线 BC 上一点,且 PC=23BC.一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的表面爬行到点 P 的最短路程是多少？

教师巡视学生的解题过程，对有困难的学生进行指导，提示学生先确定展开图中直角边的长度，再用勾股定理计算,再请同学分享展示后再作点评.
问题4：如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3c m的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是多少?.
教师提出问题4,组织学生分组讨论，巡视各组讨论情况，对有困难的小组进行点拨，如“圆柱侧面展开后是什么图形？”“如何利用轴对称来转化路径？”
请小组代表分享解题思路和过程，针对学生的展示进行点评，强调“化曲为直”“轴对称转化”“勾股定理应用”等关键步骤和数学思想.
学生独立思考，回答问题1：
自己动手画出圆柱体的侧面展开图，明确圆柱侧面展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高.
学生根据问题2：小组内交流讨论，结合“两点之间，线段最短”的基本事实，阐述将圆柱侧面展开后，A、C两点间的线段就是最短路径.
(cm)
学生仿照例题完成反馈练习2：
学生根据问题3：独立进行计算.先画出圆柱侧面展开图，确定直角边的长度（底面周长的一半和圆柱的高），然后运用勾股定理求出结果，之后与同桌交流计算方法和结果，再个别展示.
解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC'=3cm.
∵PC'=23BC',
∴PC'=23×6=4cm.
在 Rt△AC′P中，
AP=32+42=5cm.
学生根据问题4：独立思考后，参与小组讨论，积极发表自己的想法，尝试分析如何将圆柱上的路径转化为平面上的线段.在小组内交流时，分享自己对圆柱侧面展开、轴对称应用的理解，与小组成员共同探讨解题步骤,小组代表展示.

解：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A'.
连接A'B,则A'B即为最短距离.
∵A'D=5cm,BD=12−3+AE=12cm,
∴A'B=A'D2+BD2=52+122=13cm.
∴蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是 13 cm.
问题1：通过引导学生回忆、观察圆柱侧面展开过程，帮助学生巩固圆柱侧面展开图的形状，为后续解决圆柱表面最短路径问题奠定图形认知基础.
问题2：引导学生理解将立体图形表面路径问题转化为平面图形线段问题的核心思路，培养学生的空间观念和转化思想.
问题3：通过具体的数值计算，让学生所学知识应用到实际解题中，培养学生的运算能力、绘图能力等，使学生达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力和推理论证的能力.
问题4：让学生巩固圆柱侧面展开图、轴对称性质、勾股定理等知识，掌握立体图形中最短路径问题的求解方法，提升运用数学知识解决实际问题的能力，体会“化曲为直”“转化与化归”的数学思想，增强学生的数学应用意识和探索精神.
(三)课堂练习，巩固新知
布置学生练习任务.
要求学生独立完成，待学生完成解题后，邀请学生分享解题思路和过程，然后进行点评.
强调“化曲为平”的数学思想.
1.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
2. 如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处.若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为15 cm，则该圆柱的底面周长为( ).
A.9 cm B.10 cm
C.18 cm D.20cm
1.认真阅读题目，独立画出长方体侧面展开图，并画出从A到C（B）的最短路径，然后运用勾股定理计算路径长度.
2.积极参与课堂分享，向全班展示自己的解题过程，认真倾听其他同学的思路，对比自己的方法，进行反思.
1.培养学生“逆向思维”，从已知最短路径反推底面周长，提升分析和解决复杂几何问题的能力.
2.渗透方程思想，让学生体会代数与几何的融合，学会用方程工具解决几何度量问题.
（四）课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成.
将立体图形的表面展开成平面图形，把空间中两点间的最短路径问题，转化为平面图形中两点之间线段最短的问题的具体步骤：
1. 展开立体表面
2. 确定平面内线段的边长
3. 利用勾股定理计算
通过小结,让学生理清本节课的知识结构，感受探究过程中的乐趣，体验克服困难的过程，树立学习数学的信心.
（五）板书设计
勾股定理的应用
立体图形表面的最短路径问题
1.正（长）方体案例
2.圆柱体案例
3.方法总结
化立体为平面 → 确定直角边 → 勾股定理计算
（六）作业布置
1.独立完成课后基础性作业，总结“将立体图形表面展开为平面图形，利用两点之间线段最短求最短路径”的方法.
2.选做发展性作业
（七）教学后记
课后作业
基础性作业：
1.（参考教材习题13.2第137页B组第8题）
如图，在长30cm、宽50cm、高40cm的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A 处爬到相对的顶点 G处.试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短.
2.如图，已知圆柱底面的周长为8 cm，圆柱高为3 cm.在圆柱的侧面上，一只蚂蚁从点A处 沿圆柱体的表面爬行到点C处吃食，再爬回点A 处，则这这只蚂蚁爬行的最短路径是
发展性作业：
（参考教材习题13.2第137页的B组题第6题）
3.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.
（1）如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米?
（2）如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米?
（3）绕3圈呢?
（4）绕 n圈呢?(保留根号)

1.设置基础性作业， 让学生通过动手操作，直观地感受立体图形与平面图形之间的转化关系，加深对“展开图”这一概念的理解.在测量和计算过程中，巩固勾股定理等知识的应用，提高动手能力和计算能力.
2.设置发展性作业，培养学生的空间想象能力，从具体的模型操作中，逐步建立起立体图形与平面展开图之间的对应关系，为后续解决更复杂的空间问题奠定基础.