专题06 平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案

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考点02 矩形的判定与性质
考点03 菱形的判定与性质
考点04 正方形的判定与性质
考点01 平行四边形的判定与性质
1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形．下列结论中；①AB⊥AC；②∠DFE＝135°；③四边形AEFD是平行四边形；④四边形AEFD的面积为20．其中所有正确的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】B
【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，
故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
AB=DB∠ABC=∠DBFBC=BF，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝8，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS）
∴AB＝EF＝AD＝6，
∴四边形AEFD是平行四边形，
故③正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，
故②错误；
过A作AG⊥DF于G，
∴∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG=12AD＝3，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝8×3＝24，
故④错误．
∴正确的结论是①③，
故选：B．
2．如图，AC是▱ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分▱ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAB＝∠FCD，∠GAE＝∠FCH，
∵BG⊥AC，DH⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴△AEB≌△∠CFD（AAS），
∴BE＝DF，AE＝CE，故①正确；
∵∠GAE＝∠FCH，∠AEG＝∠CFH，
∴△GAE≌△∠FCH（ASA），
∴AG＝CH，
∴AD＝AG＝CB﹣CH，即GD＝BH，
∴四边形GBHD是平行四边形，故②正确；
∵∠GAC＝∠ACH，而∠ACH不一定等于∠DHC，
故③错误；
∵AG＝CH，GD＝HB，
∴AG+AB+BH＝GD+DC+CH，
故GH平分▱ABCD的周长，
故④正确；
如图，过点E作EM⊥AD，并延长ME交BC于点N，
∵AD∥BC，
∴MN⊥BC，
则S△ABE＝S△ABG﹣S△AEG=AG⋅MN2−AG⋅ME2=AG⋅NE2，
S△EHC=CH×NE2，
∵AG＝CH，
∴S△ABE＝S△EHC，
故⑤正确，故正确的有4个，
故选：C．
3．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF=32；④S△AEF=3．其中正确的有 ①②③ ．
【答案】①②③
【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CH=32，EF＝EC＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），
故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD•CH=32，
故③正确，
∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1，
∴CD＝2BD，AF＝2CF，
∵S△ABD=12×1×332=334，
∴S△AEF=23•S△AEC=23•S△ABD=32，
故④错误，
∴①②③都正确，
故答案为：①②③．
4．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，延长BF⊥CD于点F，DE，BF交于H，延长BF与AD的延长线交于点G，下面给出四个结论：①BD=2BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE；⑤线段BG与CD互相平分．其中正确的结论有 3 个．
【答案】3．
【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∴BD=BE2+DE2=2BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH＝∠DEC＝90°，
∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C，
∴∠C＝∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
∠HBE=∠EDCBE=DE∠HBE=∠DEC=90°，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝CD＝AB，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
若D点是AG的中点，
∵BG⊥CD，AB∥CD，
∴AB⊥BG，
则DB=12AG＝DG，
∴BF＝FG，
∵D点不一定是AG的中点，
则BF＝FG不一定成立
则线段BG与CD互相平分，不一定成立，
故⑤错误，
故答案为：3．
5．如图，等边△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，CD与BE交于点F，在BC上方作等边△BEG，连接AG，DG．
（1）求证：四边形CDGE为平行四边形；
（2）不添加任何辅助线，直接写出与∠AEG相等的角（不包括∠AEG）．
【答案】（1）见解答；
（2）∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
在△ADC和△CEB中，
AD=CE∠BAC=∠ACBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠CBE，
∵△BEG是等边三角形，
∴BE＝BG，∠EBG＝60°，
∴∠EBG＝∠ABC，CD＝GE，
∴∠EBG﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE，
∴∠GBD＝∠EBC．
在△AGB和△CEB中，
AB=CB∠GBA=∠EBCBG=BE，
∴△AGB≌△CEB（SAS），
∴AG＝CE．∠GAC＝∠BCE＝60°，
∵AD＝CE，
∴AG＝AD，
∴△ADG是等边三角形，
∴DG＝AD，
∴DG＝CE，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）解：与∠AEG相等的角有∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE；理由如下：
∵四边形CDGE是平行四边形，
∴GE∥CD，∠ACD＝∠DGE，
∴∠ACD＝∠AEG，∠DGE＝∠AEG，
∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠AEG，
∵△AGB≌△CEB，
∴∠ABG＝∠CBE，
∴∠ABG＝∠AEG，
∴与∠AEG相等的角有∠ACD，∠DGE，∠ABG，∠CBE．
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：∵AB＝2BO＝4，
∴BO＝2，
∵∠ABD＝90°，
∴AO=AB2+BO2=42+22=25，
∵点E为AO的中点，
∴BE=12AO=5．
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，连接DN，BN，BM，DM．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）求证：四边形BNDM是平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAM＝∠DCN，
∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM=12OA，CN=12OC，
∴AM＝CN，
在△ABM与△CDN中，
AB=CD∠BAM=∠DCNAM=CN，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△CDN，
∴BM＝DN，∠AMB＝∠CND，
∴180°﹣∠AMB＝180°﹣∠CND，
∴∠BMO＝∠DNO，
∴BM∥DN，
∵BM＝DN，
∴四边形BNDM是平行四边形．
8．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．若点E是BC中点，点F在直线CD上，连接AE，EF，且AE＝EF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）当点F在线段CD上时，求证：∠AEF＝2∠EFC；
（3）若AB＝4，AD＝5，DF＝1，求EF的长．
【答案】（1）（2）见解答．
（3）EF的值为732或1052．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA（两直线平行，内错角相等），
在△ABC和△CDA中，
∠BAC=∠DCAAC=AC∠BCA=∠DAC，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB＝CD．
（2）证明：延长AE交DC的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠GCE，∠BAE＝∠G，
∵E是BC中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴EG＝EA，
∵AE＝EF，
∴EG＝EA＝EF，
∴∠BAE＝∠G＝∠EFC，
∵∠AEF＝∠G+∠EFC，
∴∠AEF＝2∠EFC．
（3）解：连接AF，
①当点F在边DC上时，
由（2）知：EG＝EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，∠G＝∠EFG，
∵∠EAF+∠EFA+∠EFG+∠G＝180°，
∴∠EFG+∠EFA＝90°，
∴∠AFD＝∠AFG＝90°，
在Rt△AFD中，AD＝5，DF＝1，
∴AF2＝AD2﹣DF2＝52﹣12＝24，
在Rt△AFG中，AG2＝AF2+GF2，
∵△ABE≌△GCE，
∴CG＝AB＝4，
又∵AB＝CD＝4，DF＝1，
∴FG＝7，
∴AG2＝AF2+GF2＝24+49＝73，
∴AG=73，
∴EF=12AG=732；
∴EF的长为732；
②当点F在边CD的延长线上时，
同①可得，GF＝9，AG2＝AF2+GF2＝24+81＝105，
∴AG=105，
∴EF=1052，
综上所述，EF的长为732或1052．
9．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积；
（3）在（2）的条件下，平行线AD与EC间的距离为 245 ．
【答案】（1）见解析；
（2）24；
（3）245．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
∠EAO=∠DCOAO=CO∠AOE=∠COD，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线，BO⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO=12AC=4，
在Rt△COD中，CD＝5，
∴OD=CD2−CO2=52−42=3，
∴DE＝2OD＝6，
∴S菱形AECD=12DE⋅AC=12×6×8=24，
∴四边形AECD的面积为24；
（3）解：∵OD＝3，AO=12AC=4，∠AOD＝90°，
∴AD=AO2+DO2=5，
设平行线AD与EC间的距离为x，
则S菱形AECD=AD⋅x=24，
解得x=245，
故答案为：245．
10．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【答案】（1）证明见解析；（2）①42−2；②证明见解析．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
∠CBD=∠ADBBO=DO∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN=DC2−CN2=36−4=42，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝42，
∴BE＝BN﹣EN＝42−2，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
考点02 矩形的判定与性质
11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中：
①四边形ABCD是矩形；
②当CD＝4OF时，点E是AB的中点；
③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2；
④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形，
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：①∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意；
②当点E在AB上时，
由①可知，四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵点O，F分别是AC，CE的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴AE＝2OF，
∵CD＝4OF，
∴CD＝AB＝2AE，
∴点E是AB的中点；
当点E在AD上时就不成立；
故②不正确，不符合题意；
③当点E与点D重合时，OF的值最大，
∵AD＝BC＝4，
∴AE的最大值是4，
∴OF=12AE=2，
即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意；
④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，
∴∠FON＝60°，
∵∠BEN＞∠OAB，
∴∠OFN≠60°，
∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意；
综上所述，其中正确的有2个，
故选：B．
12．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF∥BE，故①正确；
∵AG∥DB且AG＝DB，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AD⊥BD，
∴四边形ADBG是矩形，故②正确；
连接DG，
∵四边形ADBG是矩形，
∴DG过点E，AB＝GD．
若FG＝AB，则FG＝GD，显然FG与GD不相等，故③不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵F为边CD的中点，
∴S△BFC＝S△BFD，
∴S△BFC=12S△BCD=14S▱ABCD，
∴4S△BFC＝S▱ABCD，故④正确．
综上可知，正确的有①②④，
故选：D．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG； ②CE=2BD；③CH＝EH；④FG=2EG．其中正确的有 ①②③④ （填正确的序号）．
【答案】①②③④．
【解答】解：连接DF、HF，如图所示：
∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
由旋转得：△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，∠ADE＝90°，∠DEA＝∠DAE＝45°，
∴∠ABD=∠ADB=180°−45°2=67.5°，∠BAE＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠GFB＝90°，EF＝AB＝AD＝ED，∠DEF＝90°﹣∠AED＝45°，
∴∠GBF＝90°﹣∠ABD＝22.5°，
∵∠EDC＝∠EFC＝90°，ED＝EF，EC＝EC，
∴△EDC≌△EFC（HL），
∴CD＝CF，
∴∠CFD=∠CDF=12∠ACB=22.5°=∠GBF，
∴∠GFD＝90°﹣∠CFD＝67.5°＝∠FGD，
∴BD＝FD＝GD，
∴点D是BG的中点，
即BD＝DG，故①正确；
∵∠GDC＝∠ADB＝67.5°，
∴∠EDG＝90°﹣∠GDC＝22.5°，
∵△EDC≌△EFC，
∴∠DEH=∠FEC=12∠DEF=22.5°=∠EDG，
∴DH＝EH，
∵∠HDC＝∠HCD＝67.5°，
∴DH＝CH，
∴CH＝EH＝DH，故③正确；
∵CH＝EH，∠EFC＝90°，
∴HD=HF=12CE，
∵∠HDF＝∠DBF+∠DFB＝45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴DF=2DH，
∵CE＝2DH，BD＝DF，
∴CE=2BD，故②正确；
设DF交CE于O，
∵△HDF是等腰直角三角形，∠DHC＝∠FHC＝45°，
∴△DOH和△FOH都是等腰直角三角形，
∴OD＝OH＝OF，
设OD＝OH＝OF＝a，
∴DG＝DF＝2a，DH=HF=EH=2a，
∴HG=DG−DH=2a−2a，EO=OH+HE=a+2a，
∴GF2=HG2+HF2=(2a−2a)2+(2a)2=(8−42)a2，
EF2=OE2+OF2=(a+2a)2+a2=(4+22)a2，
∴EF2GF2=(4+22)a2(8−42)a2=(2+22)2，
∴EFGF=1+22，
∴EF=(1+22)GF，
∴GE=EF−FG=22FG
即FG=2EG，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：①②③④．
14．如图，E是矩形ABCD的边AD上（端点除外）的动点，连接BE，CE，作▱BECF，连接AF，DF分别交BC于点G，H．下列五个结论：
①∠CED＝∠CBF；
②S▱BECF＝2S矩形ABCD；
③GH＝BG+CH；
④若▱BECF是矩形，则BC＝2AB；
⑤若点E是AD的中点，则▱BECF为菱形．
其中正确的结论是 ①③⑤ （填写序号）．
【答案】①③⑤．
【解答】解：①如图1所示：
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CED+∠1+∠2＝180°，
在平行四边形BECF中，CE∥BF，
∴∠CBF+∠2+∠1＝180°，
∴∠CED＝∠CBF；
故结论①正确：
②∵四边形BECF是平行四边形，
∴S△EBC＝S△FEC，
∴S▱BECF＝2S△EBC，
∵S矩形ABCD＝BC•AB，S△EBC=12BC•AB，
∴S矩形ABCD＝2S△EBC，
∴S▱BECF＝S矩形ABCD，
故结论②不正确；
③过点F作FP⊥BC于点P，如图2所示：
∴∠FPB＝∠FPC＝90°，
∵S△EBC=12BC•AB，S△FEC=12BC•FH，
又∴S△EBC＝S△FEC，
∴AB＝FH，
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠ABP＝∠DCP＝90°，
∴AB＝FP＝CD，∠ABP＝∠DCP＝∠FPB＝∠FPC＝90°，
在△ABG和△FPG中，
∠ABP＝∠FPB＝90°，∠AGB＝∠FGP，AB＝FP，
∴△ABG≌△FPG（AAS），
∴BG＝PG，
同理：△DCH≌△FPH（AAS），
∴CH＝PH，
∴GH＝PG+PH＝BG+CH，
故结论③正确；
④连接EF交BC于点O，如图3所示：
∵▱BECF是矩形，
∴OE＝OF＝OB＝OC，
根据已知条件无法判定OE＝AB，
∴无法判定BC＝2AB，
故结论④不正确；
⑤若点E是AD的中点时，如图4所示：
∴AE＝DE，
在矩形ABCD中，∠BAE＝∠CDE＝90°，AB＝DC，
在△ABE和△DCE中，
AE=DE∠BAE=∠CDE=90°AB=DC，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE＝CE，
∴▱BECF为菱形，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①③⑤．
故答案为：①③⑤．
15．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，M是边AC的中点，连接DM并延长至点N，使得MN＝DM，连接AN，CN，CD，且∠ADC＝∠DCN．
（1）求证：四边形ADCN是矩形；
（2）若∠BAC＝60°，BD＝2AD＝8，求点A到边BC的距离．
【答案】（1）见解答．
（2）12217．
【解答】解：（1）证明：∵M是边AC的中点，
∴AM＝CM又∵MN＝DM（已知），
∴四边形ADCN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∴ADⅡCN（平行四边形的对边平行）．
∴∠ADC+∠DCN＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠ADC＝∠DCN（已知），
∴∠ADC＝∠DCN＝90°．
∵四边形ADCN是平行四边形，且∠ADC＝90°，
∴四边形ADCN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
（2）如图，过点A作AE⊥BC于点E，
由（1）可知，四边形ADCN是矩形，
∴MA＝MD＝MC＝MN，∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴△MDA是等边三角形，
∴MA＝MD＝AD，
∴AC＝2MA＝2AD，
∵BD＝2AD＝8，
∴AC＝2AD＝8，AD＝4，
∴AB＝AD+BD＝12，CD=AC2−AD2=82−42=43，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴BC=BD2+DC2=82+(43)2=47，
∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AE，
∴AE=AB⋅CDBC=12×4347=12217．
16．如题，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且DF＝BE，连接AF，BF．若CF＝3，BF＝4，DF＝5．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若∠DAB＝56°，求∠DFA的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）∠DFA＝28°．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，DF＝BE，
∴DC∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，
∴∠BFC＝90°．
在Rt△BFC中，CF＝3，BF＝4，
由勾股定理得：BC=CF2+BF2=5，
∴AD＝BC＝5．
∵DF＝5，
∴AD＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA．
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠FAB．
∵∠DAB＝56°，
∴∠DAF＝28°，
∴∠DFA＝28°．
17．如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．
【答案】（1）见详解；
（2）CD＝10．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
∴EF＝BC，
∴EF＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，
∵BF＝16，
∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，
∵在矩形AEFD中，∠F＝90°，
∵DF＝8，
∴在Rt△CFD中，CD=DF2+CF2=82+(16−CD)2，
解得：CD＝10．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG⊥AB．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝20，EF＝8，求OE和BG的长．
【答案】（1）见解答；
（2）OE＝10，BG＝4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG⊥AB，EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD，
∵点E为AD的中点，AD＝20，
∴OE=AE=12AD=10，
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝10，∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8，
∴AF=102−82=6，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝20﹣6﹣10＝4．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长．
【答案】（1）见解答．
（2）AH=2−2．
【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE∥CD，AE＝CD．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC．
∴AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形ADBE是平行四边形．
又∵∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBE是矩形．
（2）解：不妨设∠HEA＝α，那么∠HEB＝3∠HEA＝3α，
∴∠BEA＝∠HEA+∠HEB＝4α，
∵四边形ADBE是矩形，AB＝4，
∴∠BEA＝4α＝90°，EO=AO=12ED=12AB=2，
∴α＝22.5°，
∴∠OEB＝∠OBE＝α＝22.5°，
∴∠EOH＝∠OEB+∠OBE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠OEH＝45°，
∴EH＝OH，
∵EH2+OH2＝OE2＝2OH2，
∴EH=OH=22OE=2，
∴AH=AO−OH=2−2．
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若BD＝8，AC＝4，
①求OE的长；
②求CE的长．
【答案】（1）见解答；
（2）①2；
②455．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+CE＝BE+CE，
∴EF＝BC＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=12AC．
在Rt△ACE中，AC＝4，
∴OE=12AC=2；
②∵四边形ABCD是菱形，且AC＝4，BD＝8，
∴AC⊥BD，CO=12AC=2，BO=12BD=4．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=BO2+CO2=25，
∴S△ABC=12AC⋅BO=12BC⋅AE，
∴4×4=25AE，
解得：AE=855．
在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AC2＝AE2+CE2，
∴42=(855)2+CE2，
解得：CE=455．
考点03 菱形的判定与性质
21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，
∵CD＝DE，
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，
∴AC⊥AE，
故①正确；
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AG＝DG，BG＝EG，
在△DEG和△ABG中，
DG=AGEG=BGDE=AB，
∴△DEG≌△ABG（SSS），
故②正确；
∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AG＝GD，
∴OD是△ABD中位线，
∴OG∥AB，
故③正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，AB＝DE，
∴BD＝AE＝AB＝DE，
∴四边形ABDE是菱形，
故④正确，
综上所述，正确的是①②③④，
故选：A．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO=34S菱形ABCD中，正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，BD＝2DO，
又∵BE＝CD，
∴AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
当BD＝AD时，四边形ADBE为菱形，故③不正确，
∴AE＝BD，
∴AE＝2DO，故①正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BD，AC⊥BD，
∴AE⊥AC，
即∠CAE＝90°，故②正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴S△ABE＝S△ABD=12S菱形ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABO=14S菱形ABCD，
∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO=34S菱形ABCD，故④正确；
正确的结论个数有3个，
故选：C．
23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝20，BD＝10，点E、F分别在边AB、CD上（点E不与A、B重合）．且DE∥BF，DE、BF分别交AC于点P、Q，连结BP、DQ．给出下面四个结论：①四边形DPBQ是菱形；②AC平分四边形DEBF的周长；③若AP＝8，则四边形DPBQ的面积是20；④当DE⊥AB时，DE=45．上述结论中，正确结论的序号是 ①②③④ ．
【答案】①②③④．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴DF∥BE，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC
∴∠DAP＝∠BCQ．
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴DF＝BE，DE＝BF，∠EDF＝∠EBF，
∴∠ADP＝CBQ，
∴△ADP≌△CBQ（ASA），
∴DP＝BQ，AP＝CQ，
∴四边形DPBF为平行四边形，
∵AC垂直平分BD，
∴PD＝PB，
∴DPBQ为菱形，故①正确；
∵DE＝BF，PD＝PB，
∴DE﹣DP＝BF﹣BQ，即EP＝QF，
∴DP+DF+QF＝BQ+BE+EP，即AC平分四边形DEBF的周长，故②正确；
∵AC＝20，AP＝8，AP＝CQ
∴PQ＝20﹣8﹣8＝4，
∴四边形DPBQ的面积是12BD⋅PQ=12×10×4=20，故③正确；
∵在菱形ABCD中，AC＝20，BD＝10，
∴AO＝10，BO＝5，
∴AB=102+52=55．
∵DE⊥AB，
∴AB⋅DE=12AC⋅BD，
∴55DE=12×20×10，
∴DE=45，故④正确．
故答案为：①②③④．
24．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，则下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④四边形BEFG是菱形；⑤EA平分∠GEF．其中错误的是 ④ （填序号）．
【答案】④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO=12BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF=12CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE=12AB＝AG＝BG，
∴EG＝EF＝AG＝BG，
故②正确，
∵BG＝EF，AB∥CD∥EF，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），
故③正确，
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，
故⑤正确，
若四边形BEFG是菱形，
∴BE＝BG=12AB，
∴∠BAC＝30°，
与题意不符合，
故④错误，
故答案为：④．
25．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接AD，AD平分∠BAC．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）连接EF交AD于点O，若∠BAC＝60°，AE＝5，求AD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）53．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴∠ADE＝∠FAD，四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）解：∵四边形AEDF是菱形，连接EF交AD于点O，∠BAC＝60°，AE＝5，
∴AD⊥EF，AO＝DO，EO＝FO，AE＝AF＝5，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF＝AE＝5，
∴EO=52，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO=AE2−EO2=523，
∴AD=2AO=53．
26．如图1，在平行四边形ABCD中，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且E，F分别在边AD，BC上，BE＝BF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）如图2，线段BD与线段EF交于点O，若DE＝10，BD＝16，求菱形BFDE的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）96．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠EBF=12∠ABC，∠ADF=12∠ADC，
∴∠AEB＝∠EBF＝∠ADF，
∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵BE＝BF，
∴四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵四边形BFDE是菱形，BD＝16，
∴BD⊥EF，OE=12EF，OD=12BD＝8，菱形BFDE的面积=12EF•BD，
在Rt△ODE中，DE＝10，
∴OE=DE2−OD2=102−82=6，
∴EF＝12，
∴菱形BFDE的面积＝96．
27．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴OA＝OC＝1，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=CD2−OC2=3，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD=3，∠OCE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=22+(3)2=7，
即AE的长为7．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求ED的长．
【答案】（1）见解答．
（2）6．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵BA＝BC，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴CE＝AD＝BC＝5，
∴BE＝BC+CE＝10，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
DE=BE2−BD2=6．
29．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由；
（3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形BEDF不能是菱形，理由见解答；
（3）平行四边形ABCD的面积为95．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD，且CB＝AD，
∴∠BCE＝∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
∠BCE=∠DAF∠CEB=∠AFDCB=AD，
∴△BCE≌△DAF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）解：四边形BEDF不能是菱形，
理由：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴点E与点F不能重合，
∵BE⊥AC于点E，
∴BE＜BF，
∴BE≠BF，
∴四边形BEDF不能是菱形．
（3）解：由（1）得△BCE≌△DAF，
∴CE＝AF＝7，BE＝DF，
∵DF＝EF，AB＝13，
∴BE＝EF，
∴AE＝7+EF＝7+BE，
∵∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴（7+BE）2+BE2＝132，
解得BE＝5或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），
∴BE＝DF＝EF＝5，
∴AC＝CE+AF+EF＝7+7+5＝19，
∴S△ABC＝S△CDA=12×19×5=952，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2×952=95，
∴平行四边形ABCD的面积为95．
30．课本再现
（1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
（2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求CE的长．
【答案】（1）（2）见解答；
②4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB，
∵BD⊥AC，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=12BD=3，OA=OC=12AC=4，
∵AD2＝52＝32+42＝OA2+OD2，
∴∠AOD＝90°，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠ACD＝∠E+∠COE，
∵∠E=12∠ACD，
∴∠ACD＝2∠E，
∴∠COE＝∠E，
∴OC＝CE，
由①得OC＝4，
∴CE＝4．
考点04 正方形的判定与性质
31．如图，已知四边形ABCD为正方形．AB=22，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG=2AD；③CG＝AE；④CG平分∠DCF．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④B．①②④C．①②③D．①②③④
【答案】A
【解答】解：如图，过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，
∴∠EMC＝∠ENC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠MCN＝90°，
∴四边形EMCN是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECM＝∠ECN＝45°，
∴EM＝EN，
∴四边形EMCN是正方形，
∴∠MEN＝90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME=90°EN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG是正方形，故①正确；
∴DE＝DG，
∵∠MDG＝90°，
∴∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∠DAE＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，故③正确，
∵∠DCF＝90°，
∴∠GCF＝∠DCG＝45°，
∴CG平分∠DCF，故④正确；
∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴AC=2AD，
∴AC=AE+CE=CE+CG=2AD，故②错误；
综上所述：正确的序号有①③④．
故选：A．
32．如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD＝∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为22．其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，
∴∠C＝90°，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°，AD＝DC，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°，
∴DG=2GE，BG=2GF，
∵G为BD的中点，
∴DG＝BG，
∴GE＝GF，
∴四边形GFCE是正方形，
故①正确；
如图，四边形GFCE是矩形，连接GC，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG，
∵四边形CFGE是矩形，
∴CE＝FG，CG＝EF，
在△EFG和△GCE中，
FG=CEEF=GCEG=GE，
∴△EFG≌△GCE（SSS），
∴∠EFG＝∠ECG，
∴∠GAD＝∠GFE，
故②正确；
∵∠EGD＝∠EDG＝45°，
∴GE＝ED，
∵四边形GFCE是矩形，
∴GF＝CE，
∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝1，即GE+GF的值为定值1，
故③正确；
∵EF＝GC，
∴当CG最小时，EF最小，
∴当CG⊥BD时，CG最小，在Rt△BCD中，BD=2CD=2，
∵S△BCD=12BD⋅CG=12BC⋅CD，
∴12×2×CG=12×1×1，
∴CG=22，
∴线段EF的最小值为22，
故④正确；
∴正确的有①②③④，
故选：D．
33．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；⑤2OF2＝EF2；⑥若DF＝3，BE=15，则EF=26．其中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，CD＝BC，
∵∠EOF＝90°，
∴∠DOC＝∠EOF＝90°，
∴∠DOC﹣∠COF＝∠EOF﹣∠COF，即∠DOF＝∠COE，
∴△DOF≌△COE（ASA），故①正确；
∵△DOF≌△COE，
∴DF＝CE，OF＝OE，
∴CD﹣DF＝BC﹣CE，即CF＝BE，故②正确；
∵OF＝OE，∠EOF＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OFE＝45°，
∴若需证FO＝FG，则需证∠FOG=12×(180°−∠OFE)=67.5°，
而题目条件无法证明∠FOG＝67.5°，故③不正确；
∵△DOF≌△COE，
∴S△DOF＝S△COE，
∴S四边形CEOF＝S△COE+S△COF＝S△DOF+S△COF＝S△DOC，
∵正方形ABCD，
∴S△DOC=14S正方形ABCD，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14，故④正确；
∵∠EOF＝90°，
∴OF2+OE2＝EF2，
∴2OF2＝EF2，故⑤正确；
∵DF＝3，BE=15，
∴CE=DF=3，CF=BE=15，
∴S△CEF=12CE⋅CF=3215，BC=CE+BE=3+15，
∴S四边形CEOF=14S正方形ABCD=14×(3+15)2=6+3215，
∴S△OEF＝S四边形CEOF﹣S△CFE＝6，
∴12OE⋅OF=6，即OE2＝12，
∴EF=OE2+OF2=2OE2=24=26．故⑥正确．
∴综上所述，其中正确的有①②④⑤⑥，正确的个数是5．
故选：D．
34．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出4种情况：①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；②若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；③若DG：BG＝1：4，则S△ADG=12；④若过点G作正方形GCNM交AB边于M，则BN+BG=2AB．则其中正确的是 ①②④ ．
【答案】①②④．
【解答】解：连接AC，AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝DC，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝GC，
∴AG＝EF，故①正确；
若点G为BD的中点，则BG＝DG，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴GE∥BC，FG∥CD，
∴GE和FG为△BCD的中位线，
∴GE=12BC，FG=12CD，
∵BC＝CD，
∴GE＝FG，
由①可知四边形CEGF是矩形，
∴四边形CEGF是正方形，故②正确；
若DG：BG＝14，则S△ADG=15S△ABD，
∴S△ABD=12S正方形ABCD=12×2×2=2，
∴S△ADG=15S△ABD=15×2=25，故③错误；
若四边形GCNM为正方形，则CN＝CG，∠GCN＝∠BCD＝90°，
∴∠BCN+∠BCG＝∠DCG+∠BCG，
∴∠BCN＝∠DCG，
又∵CB＝CD，
∴△BCN≌△DCG（SAS），
∴BN＝DG，
∴BD＝DG+BG＝BN+BG，
∵BD=2AB，
∴BN+BG=2AB，故④正确；
综上，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
35．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上的位置如图所示，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CE，CF，AF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若AB=26，OB=32，求AE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECF是菱形，
又∵AC＝EF，
∴菱形AECF是正方形；
（2）解：∵AC⊥BD，
∴△OAB是直角三角形，
在Rt△OAB中，AB=26，OB=32，
由勾股定理得：OA=AB2−OB2=(26)2−(32)2=22，
由（1）可知：四边形AECF是正方形，
∴OE＝OA=22，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE=OA2+OE2=(22)2+(22)2=4．
36．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且AH＝DG＝CF＝BE．
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若正方形EFGH的面积为4，连接FH，求FH的长．
【答案】（1）见解答．
（2）FH的长为22．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
又∵AH＝DG＝CF＝BE，
∴AB﹣BE＝BC﹣CF＝CD﹣DG＝DA﹣AH，
∴AE＝BF＝CG＝DH，
∴△HAE≌△EBF≌△FCG≌△GDH，
∴HE＝EF＝FG＝GH，∠HEA＝∠EFB，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠B＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）解：∵正方形EFGH的面积为4，
∴EH=EF=4=2，∠HEF＝90°，
∴FH=22+22=22，
∴FH的长为22．
37．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝32，求正方形DEFG的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME=90°EN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC=2AB＝92．
∵CG＝32，
∴CE＝62，
连接EG，
∴EG=CE2+CG2=72+18=310，
∴DE=22EG＝35．
∴正方形DEFG的边长为35．
38．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ 45 °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
【答案】（1）45；
（2）①见解答；②2．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE=12∠DFE，∠AEF=12∠BEF，
∴∠AEF+∠AFE=12（∠DFE+∠BEF）=12×270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
AB=AGAE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝6，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2．
39．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝22，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
∠QEF=∠PEDEQ=EP∠EQF=∠EPD，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC=2AB＝42，
∵CE＝22，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝22；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
40．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF．
观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为 16 ；
（2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为 16 ；
（3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为m2 ；
探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？
【答案】（1）16；
（2）16；
（3）m2；
（4）相等．
【解答】解：（1）四边形ABFD的面积＝42+12（4+1）×1−12×（4+1）×1＝16；
故答案为：16；
（2）四边形ABFD的面积=42+12(4+2)×2−12(4+2)×2=16；
故答案为：16；
（3）四边形ABFD的面积=m2+12(m+n)⋅n−12(m+n)⋅n=m2；
故答案为：m2；
（4）∵正方形ABCD的面积＝a2；四边形ABFD的面积=a2+12(a+b)⋅b−12(a+b)⋅b=a2；
故四边形ABFD的面积等于正方形ABCD的面积．
思考：
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．