专题07 平行四边形及特殊平行四边形中的折叠问题（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案

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考点02 折叠问题中求角的度数
考点03 折叠问题中求周长与面积
考点04 折叠问题中点的坐标
考点01 折叠问题中求线段长度
1．如图，在长方形ABCD中，CD＝6，AD＝8．将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝90°，
在直角三角形ACD中，CD＝6，AD＝8，
由勾股定理得：AC=AD2+CD2=10，
∵将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，
∴CF＝CD＝6，EF＝DE，∠CFE＝∠D＝90°，
∴AF＝AC﹣CF＝4，∠AFE＝90°，
设EF＝DE＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴EF＝3，
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则EF的长为（ ）
A．2B．32C．5D．52
【答案】D
【解答】解：在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，如图，设CD与y轴交于点G，AB＝x，
∴∠AOG＝90°，
∴四边形OADG是矩形，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝OG＝x，
∵点B坐标为（1，0），
∴OA＝x﹣1，
∵将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），
∴DE＝EF，OF＝3，AF＝AD＝x，
在Rt△AOF中，AF2＝OA2+OF2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
9+1﹣2x＝0，
解得：x＝5，
∴DG＝OA＝x﹣1＝4，
设EG＝a，则DE＝EF＝4﹣a，FG＝OG﹣OF＝5﹣3＝2，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2＝EG2+GF2，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
解得：a=32，则EF=4−32=52．
故选：D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在矩形内的点F处，连接CF，若△CEF是直角三角形，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：若∠CEF＝90°，则∠BEF＝90°，
由翻折可知∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠AFE＝90°，∠AEB=∠AEF=12∠BEF=45°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠FAE＝45°，
∴∠BAF＝∠BAE+∠FAE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，此时点F在AD上，则不满足点B落在矩形内；
若∠ECF＝90°，则点F在CD上，
∵AF＝AB＝6＜8＝BC＝AD，
∴点F不可能在CD上，即此情况不存在；
∴只有当∠CFE＝90°时满足△CEF是直角三角形，
由翻折可知∠AFE＝90°，
∴此时A，F，C三点共线，
设BE长为x，则CE＝8﹣x，
由翻折可得EF＝BE＝x，AF＝AB＝6，
∴AC=62+82=10，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵∠CFE＝90°，
∴EF2+FC2＝EC2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BE＝3，
故选：A．
4．如图，平行四边形ABCD的面积为28，AE⊥BC于点E，AE＝4，将△ABE沿AE折叠到△AFE处，连接DF．若∠ABC＝45°，则DF的长为（ ）
A．5B．32C．6D．19
【答案】A
【解答】解：如图，平行四边形ABCD的面积为28，作FG⊥AD于点G，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AE＝4，
∴FG＝AE＝4，
由题意得：平行四边形ABCD的面积＝BC•AE＝28，
∴BC＝7，
∵将△ABE沿AE折叠到△AFE处，
∴∠AFE＝∠ABC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB＝45°，
∴△AFG为等腰直角三角形，
∴AG＝FG＝4，
∴DG＝AD﹣AG＝3，
在直角三角形DFG中，由勾股定理得：DF=FG2+DG2=5，
故选：A．
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则EF长为（ ）
A．43B．53C．74D．138
【答案】B
【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，将△ABE沿BE翻折，
∴CB＝3，BF＝DC＝AB＝5，AE＝EF，
∠C＝∠D＝90°，
在Rt△BCF中，CF=BF2−BC2=52−32=4，
∴DF＝DC﹣FC＝5﹣4＝1，
设AE＝EF＝x，DE＝3﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DF2+DE2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x=53，
∴EF=53，
故选：B．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA'的延长线恰好过点C，则AE的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，将长方形ABCD沿BE折叠，
∴AE＝A′E＝CD，∠A＝∠EA'B＝90°，
∴∠BA'C＝∠D＝90°，且∠DEC＝∠BCA'，AB＝CD，
∴△A′BC≌△DCE（AAS），
∴BC＝EC＝10，
∴ED=EC2−CD2=6，
∴AE＝AD﹣DE＝10﹣6＝4，
故选：D．
7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，使点A的对应点A′落在对角线AC上，则A′C的长度是（ ）
A．2−1B．2C．3−1D．3
【答案】D
【解答】解：连接BD，AC，BD相交于点O，设AA′与MN相交于点E，
∵△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，使点A的对应点A′落在对角线AC上，
∴AE=A′E=12AA′，AA′⊥MN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=12BD，AO=CO=12AC，AD=AB，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30°，
∵点M是AD边的中点，
∴AM=12AD=1，
∴ME=12AM=12，
∴AE=AM2−ME2=12−(12)2=32，
∴AA′=2AE=3，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝2，
∴BO=DO=12BD=1，
∴AO=AD2−DO2=22−12=3，
∴A′与O重合，
∴A′C=OC=AO=3，
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，点D是AB边上的中点，连接CD，将△CDB沿CD翻折得到同一平面内的△CDE，AC与DE交于点F，若S△CDF＝5，S△CEF＝8，CB=13，则点E到AB的距离为（ ）
A．6B．8135C．295D．4135
【答案】B
【解答】解：过点E作EG⊥AB，连接AE，BE，如图，
∵将△CDB沿CD翻折得到同一平面内的△CDE，
∴△CDB≌△CDE，
∴S△CDB＝S△CDE，DB＝DE，DC为BE的垂直平分线，
∵点D是AB边上的中点，
∴DA＝DB=12AB，
∵S△CDF＝5，S△CEF＝8，
∴S△CDE＝5+8＝13，S△CEFS△CDF=85=EFDF，
∴S△CDB＝13，
∴12DB⋅DC=12DB×13=13，
∴DB＝213，
∴AD＝DB＝213，
∵DA＝DB，
∴S△CDA＝S△CDB＝13，
∴S△ADF＝S△CDA﹣S△CEF＝8，
∵S△AEFS△ADF=EFDF=85，
∴S△AEF=85×8=645，
∴S△ADE＝S△AEF+S△ADF=1045，
∵S△ADF=12AD⋅EG，
∴12×213×EG=1045，
∴EG=8135．
∴点E到AB的距离为8135．
故选：B．
9．如图，在长方形ABCD中，BD＝5，CD＝3，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是（ ）
A．32B．258C．8932D．52
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，且CD＝3，
∴AB＝CD＝3，∠A＝90°，
∴△ABD是直角三角形，
在Rt△ABD中，BD＝5，
由勾股定理得：AD=BD2−AB2=52−32=4，
设AE＝a，则DE＝AD﹣AE＝4﹣a，
由折叠性质得：FE＝AE＝a，FB＝AB＝3，∠BFE＝∠A＝90°，
∵点A恰好落在对角线BD上的点F处，
∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝90°，DF＝BD﹣FB＝5﹣3＝2，
∴△EFD是直角三角形，
由勾股定理得：DE2＝EF2+DF2，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
解得：a=32，
∴DE＝4﹣a=52．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是CD边上一点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠得到△AD′E，连接DD'交AE于点F，连接CF，则线段CF的最小值为（ ）
A．210−2B．210+2C．25−2D．25+2
【答案】A
【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OF，OC．
∵△AD′E由△ADE折叠得到，
∴AE⊥DD′，
∴∠AFD＝90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，
∴当点O，C，F在一条直线上时，取AD中点O，CF的长度最小，
∴CF＝OC﹣CF，
∵OD=12AD＝2，CD＝AB＝6，∠ADC＝90°，
∴OC=OD2+CD2=22+62=210，
∵OF＝OD＝2（均是半径），
∴CF≥OC﹣OF＝210−2，
故选：A．
考点02 折叠问题中求角的度数
11．如图，将长方形纸片分别沿EB，CF折叠，使AB，CD在同一直线上．若∠CEB＝37°，则∠ACF的度数为（ ）
A．74°B．106°C．143°D．148°
【答案】C
【解答】解：如图，设长方形左下角顶点为G，
∵长方形纸片分别沿EB，CF折叠，CE∥GB，
∴∠MCF＝∠BCF＝∠CFB，∠CBE＝∠EBG＝∠CEB＝37°，
∴∠ECB＝106°，
∴∠CBF＝106°，
∴∠BCF＝∠CFB＝∠MCF＝37°，
∴∠ACF＝∠CFB+∠CBF＝143°．
故选：C．
12．如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠EFC＝2∠BEA'，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°B．65°C．72°D．75°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFC，
由折叠得：∠AEF＝∠A′EF，
∴∠AEF＝∠A′EF＝∠EFC，
∵∠EFC＝2∠BEA'，
∴∠AEF＝∠A′EF＝2∠BEA'，
∵∠AEF+∠A′EF+∠BEA'＝180°，
∴5∠BEA'＝180°，
解得：∠BEA'＝36°，
∴∠AEF＝2∠BEA'＝72°，
故选：C．
13．如图，将长方形ABCD翻折，使点A，B分别与点A′，B′重合，折痕为EF；再沿ED翻折，使点A′，B′分别与点A″，B″重合．若∠FEA″＝3∠AEA″，则∠CFE的度数为（ ）
A．145°B．150°C．155°D．160°
【答案】D
【解答】解：设∠AEA″＝x，则∠FEA″＝3∠AEA″＝3x，
∴∠AEF＝∠AEA″+∠FEA″＝4x，
∵将长方形ABCD翻折，使点A，B分别与点A′，B′重合，折痕为EF；再沿ED翻折，使点A′，B′分别与点A″，B″重合，
∴∠AEA′＝∠AEA″＝x，∠A′EF＝∠AEF＝4x，
∵∠AEA′+∠AEF+∠A′EF＝360°，
∴x+4x+4x＝360°，
解得：x＝40°，
∴∠AEF＝4x＝160°，
∵AD∥BC，
∴∠CFE＝∠AEF＝160°．
故选：D．
14．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F，再将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数为（ ）
A．15°B．18°C．20°D．24°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD
∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F，
∴∠E＝∠C＝90°，∠EBD＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠ADB，
∵∠EFD＝∠AFB，
∴∠EDF＝90°﹣∠EFD＝90°﹣∠AFB＝∠ABF，
∵将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，且DG平分∠ADB，
∴∠EDF＝∠GDF=12∠ADB，
∴∠EBD＝∠ADB＝2∠EDF，
∴∠ABD＝∠ABF+∠EBD＝∠EDF+2∠EDF＝3∠EDF，
∵∠ADB+∠ABD＝90°，
∴2∠EDF+3∠EDF＝90°，
∴∠EDF＝18°，
故选：B．
15．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ ）
A．66°B．104°C．114°D．124°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC=12∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
16．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】D
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵DC′是AB的垂直平分线，
∴P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：D．
17．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（ ）
A．10°B．12°C．14°D．15°
【答案】B
【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，
∴∠BEF＝69+45＝114°，
由折叠的性质可知：∠BEA=12∠BEF＝57°，
∴∠BAE＝90﹣57＝33°，
∴∠EAC＝45﹣33＝12°．
故选：B．
18．有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝ 40°或80° ．
【答案】40°或80°．
【解答】解：如图1，当∠BPE＜∠B′PC时，
∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，
∴∠B′PC﹣∠BPE＝60°，
即∠B′PC＝∠BPE+60°，
∵三角形BPE翻折得到三角形B′PE，
∴∠BPE＝∠B'PE，
∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，
∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE+60°）＝180°，
∴∠BPE＝40°；
如图2，当∠BPE＞∠B′PC时，
∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，
∴∠BPE﹣∠B′PC＝60°，
即∠B′PC＝∠BPE﹣60°，
∵∠BPE＝∠B'PE，
∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，
∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE﹣60°）＝180°，
∴∠BPE＝80°；
故答案为：40°或80°．
19．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD边上的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为点F，点G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG上时．
求证：
（1）∠ECG＝45°；
（2）AF∥CG．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）由折叠知，CD＝CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD＝CF，
在Rt△BCG和Rt△FCG中，
CB=CFCG=CG，
∴Rt△BCG≌Rt△FCG（HL），
∴∠BCG＝∠FCG，
又∵∠FCE＝∠DCE，
∴∠ECG＝∠FCG+∠FCE=12∠BCD＝45°，
即∠ECG＝45°；
（2）由（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG，
即GF＝BG＝AG，∠CGF＝∠CGB，
∴∠GAF＝∠GFA，
∵∠BGF＝∠CGF+∠CGB＝∠GAF+∠GFA，
∴∠CGF＝∠CGB＝∠GAF＝∠GFA，
∴AF∥CG．
20．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G．
（1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由；
（2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）小明说得对，理由见解析；
（2）65°．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵CG∥AF
∴四边形AGCF是平行四边形
∵AB∥CD，
∴∠FCA＝∠GAC，
由折叠得，∠GAC＝∠FAC，
∴∠FCA＝∠FAC，
∴FC＝FA，
∴四边形AFCG是菱形，
∴小明说得对，
（2）∵四边形AFCG是菱形，
∴∠FCA＝∠GCA，
由折叠得，∠ACB＝∠ACE，
∴∠GCB＝∠FCE＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCG＝50°，
∴∠ACG=12∠DCG=25°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠GCB＝25°+40°＝65°．
考点03 折叠问题中求周长与面积
21．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E．若▱ABCD的周长为12，则△ABE的周长是（ ）
A．3B．6C．8D．12
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB，
∵▱ABCD的周长为12，
∴AB+CB+CD+AD＝2AB+2AD＝12，
∴AB+AD＝6，
∵AD∥CB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E，
∴∠FBD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠FBD，
∴BE＝DE，
∴AE+BE＝AE+DE＝AD，
∴AB+AE+BE＝AB+AD＝6，
∴△ABE的周长是6，
故选：B．
22．如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
【答案】C
【解答】解：∵将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，
∴DE＝BE，
设AE＝xcm，则BE＝DE＝（9﹣x）cm，
由长方形的性质可得∠A＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AE＝4cm，
∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2），
故选：C．
23．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将长方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部的点A1，D1处．若AB＝8，BC＝4，则整个阴影部分图形的周长为（ ）
A．14B．24C．28D．56
【答案】B
【解答】解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部的点A1，D1处，AB＝8，BC＝4，
∴A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，
∴阴影部分图形的周长＝A1D1+A1E+EB+D1F+FC+BC
＝AD+（AE+EB）+（DF+FC）+BC，
＝AD+AB+DC+BC，
＝2BC+2AB，
＝2（4+8），
＝24，
故选：B．
24．如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕EF．若∠1＝60°，EF＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．2B．32C．3D．23
【答案】C
【解答】解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：
∵AB∥CD，∠1＝60°，
∴∠AEP＝∠1＝60°，
∴∠BEP＝180°﹣∠AEP＝120°，
由折叠性质得：∠PEF＝∠BEF，
∵∠PEF+∠BEF＝∠BEP＝180°，
∴∠PEF＝∠BEF＝60°，
又∵∠EPF＝∠1＝60°，
∴∠EPF＝∠PEF＝60°，
∴△EPF为等边三角形，
∵EF＝2，
∴PF＝PE＝EF＝2，
在等边△EPF中，EH⊥CD于点H，
∴PH＝FH=12PF＝1，
在Rt△PEH中，由勾股定理得：EH=PE2−PH2=22−12=3，
∴S△PEF=12PF•EH=12×2×3=3，
∴阴影部分的面积为3．
故选：C．
25．如图，一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠，使得边AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB沿BE向右翻折，AE与边DC的交点为F，则△CEF的面积为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，BC∥AD，
如图2，由折叠得点B在AD上，且AB＝6，∠A=12×90°＝45°，∠ABE＝90°，
∴BD＝AD﹣AB＝8﹣6＝2，∠ABE＝∠D，
∵BE∥CD，EC⊥CD，BD⊥CD，
∴CE＝BD＝2，
如图3，由折叠得∠A＝45°，且AB经过点D，
∵EC∥BD，
∴∠CEF＝∠A＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴CF＝CE＝2，
∴S△CEF=12CE•CF=12×2×2＝2，
故答案为：2．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P是BC上一点，将△ABP沿着AP翻折到△AB′P，连接DB′，若P、B′、D恰好在一条直线上，则△AB′D的面积为 932 ．
【答案】932．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝3，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠B＝90°，
由翻折性质得：AB'＝AB＝3，∠AB'P＝∠B＝90°，
∵点P、B′、D恰好在一条直线上，
∴∠AB'D＝180°﹣∠AB'P＝90°，
∴△AB'D是直角三角形，
在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D=AD2−AB′2=62−32=33，
∴S△AB'D=12AB'•B'D=12×3×33=932，
∴△AB′D的面积为932．
故答案为：932．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，△CEF的面积是 10825 ．
【答案】10825．
【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，连接BF交AE于点H，作FG⊥BC于点G，
∴∠ABC＝90°，
∵BC＝6，E为BC的中点，
∴CE=BE=12BC=3，
在直角三角形ABE中，AB＝4，
由勾股定理得：AE=AB2+BE2=5，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，
∴BF⊥AE，EF＝BE＝3，S△ABE＝S△AFE，
∴EF＝EC＝BE＝3，
∵S四边形ABEF=12BF⋅AE，S四边形ABEF＝S△ABE+S△AFE＝2S△ABE，
∴12×BF×5=2×12×4×3，
解得：BF=245，
∵EF＝EC＝BE＝3，
∴∠EBF＝∠EFB，∠ECF＝∠EFC，
∵∠EBF+∠EFB+∠ECF+∠EFC＝180°，
∴2∠EFB+2∠EFC＝180°，
∴∠EFB+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在直角三角形BCF中，由勾股定理得：CF=BC2−BF2=185，
∵FG⊥BC，
∴S△BFC=12BF⋅CF=12BC⋅FG，
∴FG=BF⋅CFBC=245×1856=7225，
∴△CEF的面积=12CE⋅FG=12×3×7225=10825，
故答案为：10825．
28．如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝5，BC＝10，则△ACF的面积为 1258 ．
【答案】1258．
【解答】解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，
∴FG是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
设AF＝FC＝x，
在Rt△ABF中，有勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
52+（10﹣x）2＝x2，
解得：x=254，
即CF＝5，
∴△ACF的面积为12×254×5=1258，
故答案为：1258．
29．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是AD的中点，F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处．在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，则△CGA′周长的最小值为 7+73 ．
【答案】7+73．
【解答】解：C△CGA′＝GA′+GC+CA′．
由折叠性质知，EF是AA′的垂直平分线，
故GA′＝GA，
∴C△CGA′＝GA+GC+CA′，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
根据勾股定理，AC=AD2+CD2=62+82=36+64=100=10，
当G在AC与EF的交点时，GA+GC取得最小值AC，
即GA+GC的最小值为10，
∵点E是AD中点，
∴AE=DE=12AD=3，
由折叠性质，EA′＝EA＝3，
在Rt△DEC中，DE＝3，CD＝8，
∴CE=DE2+CD2=32+82=9+64=73，
根据三角形三边关系，CA′≥CE﹣EA′，
∴CA′的最小值为73−3，
∴△CGA′周长的最小值为10+(73−3)=7+73，
故答案为：7+73．
30．2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节，在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究．
【初步感知】
（1）如图①，沿过点B的直线折叠正方形纸片，使得点C的对应点点E落在正方形的对角线BD上，且折痕与边DC交于点F，则DE＝ 82−8 ；（结果保留根号）
【迁移运用】
（2）如图②，点G，F分别在AB，CD边上，沿直线GF折叠正方形纸片，点B的对应点为点I，点C的对应点点E落在线段AD上（不与A，D重合），EI交AB于点H；
①当点E为AD中点时，求△DEF的面积；
②当点E为AD上任意一点时（如图③）探究△AEH的周长是否发生变化，若不变，请求出△AEH的周长；若改变，请说明理由．
【答案】（1）82−8；
（2）①6；
②△AEH的周长不发生变化，始终等于16，理由如下见解答：．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为8，
∴BC＝DC＝8，∠C＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=BC2+DC2=82+82=82，
由折叠性质得：BE＝BC＝8，
∴DE＝BD﹣BE=82−8，
故答案为：82−8；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，且边长为8，
∴AD＝DC＝8，∠D＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴DE=12AD＝4，
设DF＝a，
∴CF＝DC﹣DF＝8﹣a，
由折叠性质得：EF＝CF＝8﹣a，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2＝DE2+DF2，
∴（8﹣a）2＝42+a2，
解得：a＝3，
∵DF＝a＝3，
∴△DEF的面积为：12DE•DF=12×4×3＝6；
②△AEH的周长不发生变化，始终等于16，理由如下：
连接CE，CH，过点C作CM⊥EH于点M，如图3所示：
∴∠CME＝∠CMH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为8，
∴AB＝CB＝CD＝AD＝9，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠A＝90°，
∴∠CME＝∠D＝90°，∠CME＝∠B＝90°，
由折叠性质得：EF＝CF，∠FEH＝∠BCD＝90°，
∴∠CMH＝∠FEH＝90°，∠FHC＝∠DCE，
∴CM∥EF，
∴∠MCE＝∠FHC＝∠DCE，
在△CME和△CDE中，
∠CME=∠D=90°∠MCE=∠DCECE=CE，
∴△CME≌△CDE（AAS），
∴ME＝DE，CM＝CD＝CB，
∴ME+AE＝DE+AE＝AD＝8，
∵∠CME＝∠B＝90°，
∴△CMH和△CBH都是直角三角形，
在Rt△CMH和Rt△CBH中，
CM=CBCH=CH，
∴Rt△CMH≌Rt△CBH（HL），
∴MH＝BH，
∴AH+MH＝AH+BH＝AB＝8，
∴△AEH的周长为：AB+HE+AE＝AB+MH+ME+AE＝16．
考点04 折叠问题中点的坐标
31．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为（ ）
A．（2，8）B．（3，10）C．（4，6）D．（3，8）
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴，
由折叠得FB＝CB，FE＝CE，
设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m，
∵A（﹣2，0），F（0，6），
∴OA＝GD＝2，OF＝6，
∴OB＝m﹣2，
∵∠BOF＝∠EGF＝90°，
∴OB2+OF2＝BF2，
∴（m﹣2）2+62＝m2，
解得m＝10，
∴AD＝OG＝CD＝10，
∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE，
∵GE2+FG2＝FE2，
∴GE2+42＝（8﹣GE）2，
解得GE＝3，
∴E（3，10），
故选：B．
32．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，3），将长方形沿对角线AC折叠，点B落在点D处，CD与x轴交于点E，则点E的坐标为（ ）
A．(78，0)B．（3，0）C．（2，0）D．(52，0)
【答案】A
【解答】解：∵长方形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，3），
∴OC＝AB＝3，OA＝4，
由折叠得，∠BCA＝∠DCA，
∵BC∥OA，
∴∠BCA＝∠OAC，
∴∠DCA＝∠OAC，
∴CE＝AE，
∴设OE＝x，则CE＝AE＝OA﹣OE＝4﹣x，
∵∠COA＝90°，
∴OC2+OE2＝CE2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，
∴x=78，
∴OE=78，
∴点E的坐标为(78，0)．
故选：A．
33．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（8，6），点P为边BC上一个动点，将△OPC沿OP折叠得到△OPQ，点C的对应点为点Q，连接BQ，当线段BQ有最小值时，点P的坐标为（ ）
A．（2，6）B．（3，6）C．（4，6）D．（5，6）
【答案】B
【解答】解：连接OB，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（8，6），
∵点B的坐标为（8，6），由题意可知：CB＝8，OC＝6，∠BCO＝90°，
∴OB=OC2+BC2=10，
∵OQ＝OC＝6，CP＝PQ，OQ+QB≥OB，即BQ≥OB﹣OQ＝10﹣6＝4，
∴当Q在OB上时，线段BQ长的最小值为4，
如图：
将△OCP沿OP折叠，使点C恰好落在对角线OB上Q处，
设CP＝x，则PQ＝x，BP＝8﹣x，
BP2＝PQ2+BQ2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴P点的坐标为（3，6），
故选：B．
34．如图，将AB＝10，AD＝6的矩形纸片ABCD放在以BC所在直线为x轴，BC边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连接OD将纸片ABCD沿OD折叠，使点C落在AB边上的点C′处，则C点的坐标为（ ）
A．（25，0）B．（103，0）C．（3，0）D．（13，0）
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
∵折叠
∴C'D＝CD＝10，CO＝C'O
在Rt△AC'D中，AC'=C′D2−AD2=8
∴C'B＝AB﹣AC'＝2
在Rt△BOC'中，C'O2＝BO2+C'B2，
∴CO2＝（6﹣CO）2+4
∴CO=103
∴点C坐标（103，0）
故选：B．
35．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A的坐标为(0，22)，E是线段BC上一点，且∠AEB＝67.5°，沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为 (−2，22−2) ．
【答案】(−2，22−2)．
【解答】解：在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A的坐标为(0，22)，则：
过点F作FG⊥y轴于点G，作FD⊥x轴于点D，
由题意可得：∠B=90°，OA=22，
∴AB=OA=22，
∵∠AEB＝67.5°，
∴∠BAE＝22.5°，
由折叠的性质可知，∠BAF＝2∠BAE＝45°，AF=AB=22
∴∠FAG＝45°，
∵FG⊥y轴，
∴∠AFG＝45°，
∴AG＝FG，
∵AG2+FG2＝AF2，
即AG2+FG2=(22)2
∴AG＝FG＝2，
∴OG=OA−AG=22−2，
∵∠FGO＝∠FDO＝∠DOG＝90°，
∴FD=OG=22−2，
∴点F的坐标为(−2，22−2)；
36．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点坐标分别为点O（0，0），点A（4，0），点B（4，3），点C（0，3），点P是AB上的点，将△POA沿OP所在的直线折叠，若点A的对应点A′刚好落在OB上，则点P的坐标为 (4，43) ．
【答案】(4，43)．
【解答】解：因为A（4，0），B（4，3），
所以OA＝4，AB＝3，
在Rt△OAB中，OB=OA2+AB2=42+32=5，
因为A′点恰好落在OB上，所以OA′＝OA＝4，
所以A′B＝OB﹣OA′＝5﹣4＝1，
设PA′＝PA＝x，则PB＝AB﹣AP＝3﹣x，
在Rt△PA′B中，PB2＝A′P2+A′B2，
所以（3﹣x）2＝x2+12，
9+x2﹣6x＝ x2+1，
解得x=43，
所以点P的坐标为(4，43)．
故答案为：(4，43)．
37．如图，矩形ABCD中，点A（﹣2，0），B（4，0），C（4，5），点P为x轴上一个动点，以CP为对称轴将△CPB折叠得到△CPQ，点B的对应点为点Q，当点Q落在y轴上时，点P的坐标为 （﹣6，0）或(32，0) ．
【答案】（﹣6，0）或(32，0)．
【解答】解：∵以CP为对称轴将△CPB折叠得到△CPQ，点B的对应点为点Q，B（4，0），C（4，5），
∴CQ＝CB＝5，PQ＝PB，
设P（p，0），Q（0，q），
∴42+(5−q)2=5，
解得：q＝2或q＝8，
∴Q（0，2）或Q（0，8），
当Q（0，2）时，由PQ＝PB得，
p2+22＝（p﹣4）2，
解得：p=32，
当Q（0，8）时，由PQ＝PB得，
p2+82＝（p﹣4）2，
解得：p＝﹣6，
综上，点P的坐标为（﹣6，0）或(32，0)，
故答案为：（﹣6，0）或(32，0)．
38．如图，长方形AOCD在平面直角坐标系中的位置如图：A（0，a）、C（b，0）满足a−3+|b﹣5|＝0，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．则点F的坐标为 （4，0） ．
【答案】（4，0）．
【解答】解：A（0，a）、C（b，0）满足a−3+|b﹣5|＝0，
依题意得：a﹣3＝0，b﹣5＝0，
解得：a＝3，b＝5，
∴A（0，3）、C（5，0），
∵四边形AOCD是长方形，
∴AD＝OC＝5，AO＝DC＝3，
由翻折的性质可知：AF＝AD＝5，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=AF2−OA2=52−32=4．
∴点F的坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．
39．如图，将一张长方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，AB＝4，AD＝3，P为边CD上一动点，连接BP，将△BCP沿BP折叠，点C落在点C′处．
（1）如图1，连接BD，当点C在线段BD上时，线段DC′的长度是 2 ；
（2）如图2，若点P使得点C′到矩形的两条较长边的距离之比为1：2，则点C′的坐标为 (4−5，2)或(4−22，1) ．
【答案】（1）2；
（2）(4−5，2)或(4−22，1)．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BC＝AD＝3，
∴由勾股定理得，
BD=AD2+AB2=32+42=5，
∴BC′＝BC＝3，
∴DC′＝BD﹣BC′＝5﹣3＝2，
故答案为：2；
（2）如图所示，过点C′作EF⊥CD交CD于点E，交AB于点F，
∴∠CEF＝90°，
∵∠C＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCEF为矩形，
∴EF＝BC＝3，
当C′E：C′F＝1：2时，
C′E＝1，C′F＝2，
∴BC′＝BC＝3，
由勾股定理得，
BF=BC′2−C′F2=32−22=5，
∴OF=OB−BF=4−5，
∴点C′的坐标为(4−5，2)；
当C′E：C′F＝2：1时，C′E＝2，C′F＝1，
由折叠得：BC′＝BC＝3，
由勾股定理，得
BF=BC′2−C′F2=32−12=22，
∴OF=OB−BF=4−22，
∴点C′的坐标为(4−22，1)；
∴点C′的坐标为(4−5，2)或(4−22，1)．
故答案为：(4−5，2)或(4−22，1)．
40．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），边CD与y轴交于点G，点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），求点E的坐标．
【答案】(−32，5)．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝AOG＝90°，AD＝AB＝CD＝BC，AB∥CD，
∴DA⊥AO，GO⊥AO，
∴AD＝OG，同理可得DG＝OA，
设AB＝x，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝OG＝x，
∵点B的坐标为（1，0），
∴OA＝x﹣1，
∵将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．点F的坐标为（0，3），
∴OF＝3，AF＝AD＝x，DE＝EF，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：AF2＝OA2+OF2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，
∴DG＝OA＝5﹣1＝4，
设EG＝a，则DE＝EF＝4﹣a，FG＝OG﹣OF＝5﹣3＝2，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2＝EG2+GF2，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
解得：a=32，
∴点E的坐标为(−32，5)．