专题05 勾股定理的提升应用（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案

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考点02 动点问题中勾股定理的应用
考点03 几何体表面的最短路径问题
考点04 平面图形中的最短路径问题
考点05 对角线垂直的四边形
考点01 折叠问题中勾股定理的应用
1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8；D为BC上一点，连接AD，把△ABC沿AD折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．8B．9C．10D．12
2．如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上D位置．若AE＝6，且ED⊥BC．则BF的长为（ ）
A．33B．3+3C．5D．6−3
3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC按如图2所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若BD＝5，BC＝6，则CE的长是（ ）
A．267B．74C．74D．23
4．如图，将直角三角形ABC纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝6，BC＝8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．32B．92C．6D．9
5．如图，在纸片△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，沿过点A的直线将纸片折叠，使得点B落在BC上的点E处，再折叠纸片，使得点C与点E重合，若折痕交AC于点F，则CF的值为（ ）
A．53B．54C．65D．2
6．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，CE＝5，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与AC的交点为E，则的AE的长是 ．
7．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，AC＝4，AB＝5，则AD的长为 ．
8．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，∠C＝30°．若将△AEF沿EF折叠，点A与边BC的点D恰好重合，点H，G分别在BD，CD上．将△EBH沿EH折叠，点B与点D恰好重合．将△CFG沿FG折叠，点C与点D恰好重合，则HD的长为 ．
9．如图，在△ABC中，点H为AB边上的一点，AH＝15，CH＝8，AC＝17，BH＝6．
（1）求线段BC长；
（2）已知点E为线段AB上一点，当CE＝BE时，求线段HE的长度；
（3）点P是直线AB上任意一点，把△ACH沿着直线CP翻折，点H翻折后的对应点H′恰好落在直线AC上，求线段AP的长度．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为A（0，6），B（12，6），点D为对角线OB中点，点E在x轴上运动，连接DE，把△ODE沿DE翻折，点O的对应点为点F，连接BF．
（1）当点F在第四象限时（如图1），求证：DE∥BF．
（2）当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长．
考点02 动点问题中勾股定理的应用
11．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，⊙O的面积为12π，点M，N分别在⊙O、线段AB上运动，则MN长度的最小值等于（ ）
A．34B．32C．3D．23
12．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝14，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（ ）
A．15B．17C．20D．24
13．如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为 ．
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．t＝ 时△ABP为直角三角形．
15．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝20，AD为BC边上的高，AD＝8．若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着BC向终点C运动，当点P运动的时间为 秒时，使得△PAC是以PC为腰的等腰三角形．
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则∠AFD＝ ，线段BF的最小值为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？
18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP＝ ．
（2）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t＝ 时，能使DE＝CD．
19．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE．
（1）若点E为BC的中点，BC＝8，DE＝3，BD＝5，则△BDE是 三角形；（填“等腰”“等边”或“直角”）
（2）如图1，连接AE，若AE平分∠BAC，DE⊥AB，BD＝4，BC＝8，求BE的长；
（3）如图2，点P在边AC上运动，连接PD，PD始终保持与PA相等，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F．
①判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
②若AC＝4，BC＝6，PA＝1，求DE的长．
考点03 几何体表面的最短路径问题
21．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，34m和14m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）
A．3.5mB．4.5mC．5mD．5.5m
22．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（ ）cm．
A．20B．15C．10D．5
23．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A．8B．25C．210D．42
24．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管外表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A．5cmB．145cmC．95cmD．15cm
25．如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）cm．（杯壁厚度不计）
A．20B．25C．30D．40
26．如图所示的圆柱形杯子的内直径为6cm，内部高度为9cm，小颖把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
28．如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，茶杯的高度为 厘米．
29．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）．
（1）如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点C1处；
（2）如图②，长方体的长和宽都为5cm，高为6cm，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点C1处；
（3）如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm和3cm．一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处．
30．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为3πcm，那么最短的路线长是 cm；
（2）应用二：解决实际问题
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
考点04 平面图形中的最短路径问题
31．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，AC+CD＝5，BC+CE＝7，则AE+BD的最小值是 ．
32．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边AB的中点，点Q为AC边上不与端点重合的一动点，连接BQ，PQ．若AB＝6，∠A＝30°，则BQ+PQ的最小值为 ．
33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB=2516，BC=1516，点D，E分别是线段BC，AB上的动点（点D不与点C重合），且CD＝AE，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 ．
34．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 ．
35．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
36．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB=62，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ．
37．如图，在直角△ADC中，CD⊥AC，AD＝10，DC＝6，AC绕点A摆动到AB的位置，取AB的中点E，连接BD、CE，求AC绕点A摆动的过程中，
（1）AC＝ ；
（2）BD+CE的最小值为 ．
38．如图，直线l是一条河，A，B两地到l的距离AC和BD分别为5km，7km，且CD＝5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，求铺设最短的管道长．
39．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题．
（1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c，AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理．
（2）求代数式x2+32+(12−x)2+22的最小值．
分析：x2+32和(12−x)2+22是勾股定理的形式，x2+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，(12−x)2+22是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式x2+32+(12−x)2+22的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式x2+4+(5−x)2+12的最小值．
40．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．
考点05 对角线垂直的四边形
41．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（ ）
A．20B．16C．18D．25
42．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，则AD2+BC2＝ ．
43．阅读与思考
下面是小敏同学写的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应学习任务：
对角线互相垂直的四边形的性质探究
在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？
容易发现：对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等．
推理证明：
已知：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD．
求证：AB2+CD2＝AD2+BC2
证明：……
学习任务：
（1）请完成上述证明过程．
（2）要测量池塘两岸A，D两点的距离，小敏同学绘制了如图2所示的示意图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD．并测量得AB＝7米，BC＝4米，CD＝8米，请直接写出AD的长为 米．
44．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
45．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2；
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求BE的长；
（3）在（2）的条件下求AF的长．
几何模型在最短路径问题中的应用
素材一
提出问题：求代数式x2+32+(12−x)2+22的最小值．
素材二
建立模型：x2+32可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，(12−x)2+22是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？”
素材三
解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则
∵AH＝AC+CH＝3+2＝5，
HD＝CF＝12，
∴在Rt△ADH中，AD=52+122=13，
∴|AB+DB|min＝AD＝13，
∴x2+32+(12−x)2+22的最小值是13．
问题解决
任务一
根据以上学习：代数式x2+22+(5−x)2+1的最小值为 ．
任务二
知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 km．
任务三
思维拓展：已知正数x满足36−x2+64−x2=10，求x的值．