数学八年级下册（2024）24.2 数据的离散程度第1课时教案

这是一份数学八年级下册（2024）24.2 数据的离散程度第1课时教案，共12页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教材分析
本节课是人教版八年级下册《数据的分析》单元的刻画数据特征的重要内容，承接前一节“集中趋势”(平均数、中位数、众数)，从“波动情况”维度完善数据分析的核心逻辑，是统计知识体系的关键一环.
教材以“甜玉米产量稳定性”的实际问题引入，先通过图表直观呈现数据波动，再通过“离差求和为零”的矛盾，引出离差平方和，进而推导方差的定义与计算公式，体现了从直观感知到抽象定义、从问题驱动到概念生成的教学逻辑.教材通过“思考”环节对比离差、离差平方和的局限性，突出方差的优势，再以射击运动员成绩的例题巩固方差计算与应用，最后设置练习强化离散程度的直观判断与定量计算的联系，层层递进，符合学生的认知规律.
方差作为刻画数据离散程度的核心统计量，不仅是后续统计推断、数据分析的基础，更能培养学生用数据说话、定量分析问题的能力，体现了统计学科的实用性与严谨性.

二、学情分析
已有基础：八年级学生已掌握平均数、中位数、众数等刻画数据集中趋势的统计量，能通过表格、折线图直观描述数据分布，具备基本的数据分析和运算能力，且对“稳定性”“波动大小”等生活概念有感性认知，为本节课从直观到抽象的过渡奠定了基础.
存在困难：学生首次接触方差的抽象定义，对“为什么要对离差平方”“离差平方和与方差的区别”理解存在障碍，易混淆方差与平均数的统计意义；在实际应用中，难以将“方差大小”与“数据稳定性”建立关联，定量分析离散程度的意识薄弱.
认知特点：八年级学生以具象思维为主，抽象逻辑思维正处于发展阶段，对纯公式推导兴趣不高，更易接受“问题驱动+实例探究”的学习方式，对贴近生活的实际问题(如产量、成绩稳定性)兴趣浓厚，适合通过情境探究突破难点.

三、教学目标
1.理解方差的定义与计算公式，掌握方差的计算方法，能利用方差比较两组数据的离散程度.
2.理解方差的统计意义，明确方差大小与数据离散程度、稳定性的关系，体会方差公式中 “离差平方” 的必要性.
3.经历从直观感知数据波动到抽象推导方差公式的过程，体会 “数形结合”“从特殊到一般” 的数学思想，提升数据分析与定量建模的能力.
4.通过解决生活中的实际问题，感受统计知识的实用性，培养用数据说话的严谨态度，增强对数学的应用意识与学习兴趣.

四、教学重难点
重点：理解方差的定义与计算公式，掌握方差的计算方法，能利用方差比较两组数据的离散程度.
难点：理解方差的统计意义，明确方差大小与数据离散程度、稳定性的关系，体会方差公式中 “离差平方” 的必要性.

五、教学过程
情境导入
问题1：我们班两位同学的5次立定跳远测试成绩(单位：cm)：
同学甲：190，190，190，190，190
同学乙：170，180，190，200，210
大家快速计算一下，两位同学成绩的平均数分别是多少?
两人的平均数都是190cm，从集中趋势来看，他们的平均水平一样. 但仔细观察这两组数据，你能感受到它们的差异吗?
甲的成绩每次都很稳定，而乙的成绩忽高忽低，波动很大.
在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是我们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节课我们就来学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差.
师生活动：教师提问平均数计算，学生快速作答；再引导对比两组数据差异，学生交流发现甲稳定、乙波动大，引出离散程度的概念
设计意图：以学生熟悉的跳远成绩情境，通过平均数相同但波动不同的对比，引发认知冲突，自然引出方差的学习必要性，激发探究兴趣.
探究新知
活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义
问题2：某农业农科院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？
师生活动：教师以甜玉米选种问题引导，学生计算平均数，再通过图形观察波动；教师追问如何量化波动，引导学生探究离差、离差平方和、方差概念，最后计算方差解决选种问题.
思考1：计算出两组数的平均数，你有什么发现？
x甲=7.537，x乙=7.515.
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大．
由样本平均数估计总体平均数
思考2：如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
答：为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述.
比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好.
问题3：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
答：当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；
当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.
这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
离差： 一般地，有 n 个数据 x1，x2，···，xn，用 x 表示它们的平均数，我们把 xi－x (i = 1，2，···，n)叫作xi 关于平均数 x 的离差.
追问：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
答：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
(x1－x)＋(x2－x)＋ ··· ＋( xn－x)＝x1＋x2＋ ··· ＋xn－nx＝0
可知，一组数据的离差和总是 0，
因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
问题4：我们应该用什么方法刻画呢?
答：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.
我们把x1−x2+x2−x2+...+xn−x2 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“ d2”.
把离差的平方的平均数 x1−x2+x2−x2+...+xn−x2n 叫作这组数据的方差，记作“ s² ”.
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.
方差越大，数据的离散程度越大；（数据分布比较分散）
方差越小，数据的离散程度越小.（数据分布比较集中）
根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；
根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差.
问题5：请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．
解：两组数据的方差分别是：
s2甲=7.65−7.5372+7.50−7.5372+...+7.41−7.537210≈0.010.
s2乙=7.55−7.5152+7.56−7.5152+...+7.49−7.515210≈0.002.
由s2甲>s2乙，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.
问题6：专家应该选择哪种甜玉米种子呢?
答：正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.
因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定，综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
设计意图：以真实农业问题驱动，让学生经历“直观感知——矛盾发现——概念生成——应用解决”的过程，理解方差的统计意义，体会量化离散程度的必要性.
问题7：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
师生活动：教师提问离差平方和的不足，学生对比发现其受数据个数限制，理解方差的优势；教师演示计算器求方差的步骤，学生尝试操作，掌握快捷计算方法.
答：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.
在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
利用计算器求方差：
1.不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书.
2.通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；
然后依次输入数据x1，x2，…，xn ；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差
s2=x1−x2+x2−x2+...+xn−x2n 的值.
设计意图：通过对比凸显方差的普适性，完善学生对离散程度统计量的认知；借助计算器实操，提升计算效率，深化对方差概念的理解.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师出示射击成绩例题，引导学生分析“稳定性”与方差的关系；学生计算平均数、方差，对比得出结论，共同总结方差计算步骤，强调数据处理的严谨性.
例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10 次射击成绩（单位：环）如表所示.
哪名射击运动员的发挥更稳定?
分析：方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定；
方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定.
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
x甲=9+7+...+1010=8.7，x乙=9+10+...+910=8.6.
两名运动员射击成绩的方差分别为
S甲2=(9−8.7)2+(7−8.7)2+···+(10−8.7)210=2.41，
S乙2=(9−8.6)2+(10−8.6)2+···+(9−8.6)210=1.04.
由S甲2>S乙2可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
总结：求一组数据的方差的一般步骤：
（1）求这组数据的平均数；
（2）根据方差公式求这组数据的方差．
注意：一组数据中的任何一个数据的变化都可能影响方差的大小，因此计算一组数据的方差时，确保不要遗漏和重复任何一个数据.
设计意图：通过射击场景的应用例题，让学生掌握方差计算方法，深化“方差越小越稳定”的理解，形成规范的解题流程培养数据分析能力.
【经典例题】
师生活动：教师出示数据变换例题，引导学生推导平均数与方差的变化规律；再呈现射击游戏综合题，学生计算并结合实际场景分析选择，教师补充简便计算方法.
例2 若一组数据 x1，x2，x3，…，xn的平均数是͞x＝9，方差是s2＝6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2 的平均数是______，方差是_______.
分析：3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2的平均数为
3x1－2＋3x2－2＋3x3－2＋… ＋3xn－2n＝3(x1＋x2＋x3＋…＋xn)－2nn
＝3͞x－2
＝3×9－2
＝25；
3x1－2，3x2－2 ，3x3－2，…，3xn－2的方差为
1n[(3x1－2－3͞x＋2)2＋(3x2－2－3͞x＋2)2＋(3x3－2－3͞x＋2)2＋…＋(3xn－2－3͞x＋2)2]
＝1n×9×[(x1－͞x)2＋(x2－͞x)2＋(x3－͞x)2＋… ＋(xn－͞x)2]
＝9s2
＝9×6
＝54.
故答案为：25；54
总结：两组相关数据的平均数、方差的关系：
方法拓展：
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
①取一个适当的基准数 a
②将原数据都减去 a，得到一组新数据
③求新数据的方差
例3 在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩(单位：环)如下表所示．
(1)通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定；
(2)假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差 ，乙这6次成绩的方差 .(填“变大”“变小”或“不变”)
解：(1)x甲=6+8+8+10+85=405=8
s甲2=15×6−82+8−82+8−82+10−82+8−82=1.6
x乙=4+7+7+6+65=6
s乙2=15×4−62+7−62+7−62+6−62+6−62=1.2
∵1.6>1.2
∴乙的方差更小，成绩更稳定．
(2) x甲=6+8+8+10+8+86=486=8
s甲2=16×6−82+8−82+8−82+10−82+8−82+8−82=43
∵431.2，
∴乙这6次成绩的方差变大．
故答案为：变小；变大.
设计意图：通过规律探究深化方差本质理解，通过综合应用培养学生结合平均数、方差分析实际问题的能力，提升数据应用素养.
课堂练习
【教材练习】
1.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序. 先通过直观判断排序，再根据方差排序. 这两种排序的结果是否一致？
解：这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)