第3章 一次方程（组）【章末复习】（课件）-2026-2027学年湘教版数学七年级上册（新教材）

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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月28日 章末复习第3章 一次方程（组）湘教版七年级上册 第3章 一次方程（组） 全章总复习一、全章知识框架本章核心主线：一元一次方程 → 二元一次方程组 → 三元一次方程组 → 实际应用题核心思想：消元思想、方程建模思想，将复杂未知问题转化为可解的一元一次方程求解。二、3.1-3.4 一元一次方程 核心知识点1. 一元一次方程定义只含一个未知数，未知数次数为1，且是整式方程，一般形式：$$ax+b=0(a\neq0)$$。2. 等式的基本性质（解方程依据）性质1：等式两边同时加/减同一个数（式），等式仍成立；性质2：等式两边同时乘/除同一个不为0的数，等式仍成立。3. 解一元一次方程标准步骤去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1易错点：去分母不漏乘常数项、移项必变号、去括号注意符号。4. 一元一次方程实际问题——行程问题（3.4.3）核心公式：路程=速度×时间① 相遇问题（相向）：甲路程+乙路程=总路程；② 追及问题（同向）：快者路程-慢者路程=初始相距路程；③ 航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，往返路程相等。三、3.5 认识二元一次方程组1. 二元一次方程含两个未知数，未知项次数均为1的整式方程，形式：$$ax+by=c(a、b\neq0)$$，有无数组解。2. 二元一次方程组两个含相同双未知数的一次方程联立，一般有唯一一组解，解需同时满足两个方程，必须用大括号联立。3. 判定易错点含$$xy、x^2、\frac{1}{x}$$均不是二元一次方程。四、3.6 二元一次方程组的解法（两大核心方法）1. 代入消元法（3.6.1）适用场景：某未知数系数为±1，方便变形。步骤：变形方程→代入另一方程→消元得一元方程→求解→回代求第二个未知数→写解。禁忌：不可代入原变形方程，无法消元。2. 加减消元法（3.6.2）适用场景：未知数系数规整、无±1系数，适合扩倍消元。核心规则：系数相反相加消元，系数相同相减消元；系数不同先扩倍统一系数。易错点：扩倍不漏乘常数项、相减消元全项变号。五、3.7 二元一次方程组实际应用题1. 3.7.1 “x+y=”和定值问题题型特征：含总数、合计、一共等量，固定方程组结构：$$\begin{cases}x+y=总数量\\倍数/差值/总价关系方程\end{cases}$$常见场景：人数、物品数、总重量、总数量求和问题。2. 3.7.2 系数不都为1的实际问题题型特征：无简单和差倍数，双总价、双工程量、双行程问题，方程组无系数为1的未知数。解题首选：加减消元法，先扩倍统一系数，再消元求解。通用模型：$$\begin{cases}m_1x+n_1y=a\\m_2x+n_2y=b\end{cases}$$六、3.8 三元一次方程组1. 定义含三个未知数，未知项次数均为1的整式方程组，整体共三个未知数即可。2. 核心解题思想三元→二元→一元，全程消去同一个未知数，不可中途换元。3. 解题步骤观察最简未知数→两组方程消同一元→得二元方程组→求解二元→回代求第三个未知数→联立写解。4. 技巧优先消系数为0、1、-1的未知数，计算量最小。七、全章解题方法选择口诀（必考）1. 单一未知用一元，系数为1用代入；2. 系数规整用加减，和定总数找x+y；3. 三元消同不乱变，层层降元是关键；4. 应用题先建模，设列解验答齐全。八、全章高频易错汇总1. 解方程：去分母漏乘、移项不变号、去括号符号错误；2. 方程组求解：消元混乱、扩倍漏常数、只解部分未知数；3. 格式错误：方程组解不写大括号；4. 应用题：忽略实际意义（人数、物品数为正整数）、漏写答句。九、全章核心公式汇总1. 行程公式：$$s=vt、v=\frac{s}{t}、t=\frac{s}{v}$$2. 航行公式：顺水=静水+水流、逆水=静水-水流3. 消元核心：二元化一元、三元化二元一、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程．2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数(元)，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程．3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c.4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程．一1二、等式的性质 c3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性）4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性）bc ___ 解一元一次方程的一般步骤：(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.(2) 去括号：注意括号前的系数与符号．(3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边， 常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．(4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式．(5) 除以未知数的系数：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式.三、一元一次方程的解法 1. 二元一次方程的概念：含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程，叫作二元一次方程.2. 二元一次方程组的概念：只含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程组.3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解.四、二（三）元一次方程组的有关概念 两个11两个4. 三元一次方程组的概念：含有 未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作三元一次方程组. 1三个五、二元一次方程组的解法 ①代入消元法：②加减消元法：转化代入求解回代写解检验变形加减求解回代写解检验六、三元一次方程组的解法 消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程（组）．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案 (包括单位)．[注意] 审题是基础，找等量关系是关键.七、用一次方程与方程组解决实际问题2. 常见的几种方程类型及等量关系：(1) 行程问题中基本量之间的关系：① 路程＝速度×时间；②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；③追及问题：甲为快者， 被追路程＝甲走路程－乙走路程；④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．（2）等积变形问题中基本量之间的关系： ① 原料面积 = 成品面积； ② 原料体积 = 成品体积.（3）储蓄问题中基本量之间的关系： ① 本金×利率×年数 = 利息； ② 本金 + 利息 = 本息和.（4）销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价 - 进价(成本) = 利润； ② 利润÷进价×100% = 利润率； ③ 进价×(1 + 利润率) = 售价； 标价×折扣数÷10 = 进价.（5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系： ① 增长率 = 原有量×增长率； 现有量 = 原有量 + 增长量. ② 降低量 = 原有量×降低率； 现有量 = 原有量 - 降低量.（6）百分率问题中基本量之间的关系： ① 浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量； ② 增长率问题：原量×(1+增长率) = 增长后的量； 原量×(1 - 减少率) = 减少后的量. 解 ：(1) 5x-3=-x+3(2) 0.4x-7=0.6x-9 5x+x=3+36x=6 x=10.6x-0.4x=-7+90.2x=2 x=10【课本P141 复习题 第1题】 (3) 5(x-1)=3(x+1) 5x-5=3x+35x-3x=3+52x=8x=4  8x-9x=12-12+4-x=4x=-4【课本P141 复习题 第1题】2.一百馒头一百僧，大和三个更无争， 小和三人分一个，大小和尚得几丁. ——《算法统宗》 意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大 和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完. 试问大、小和尚各有多少人？解：设小和尚有x人，则大和尚有(100-x)人.由题意，得解得大和尚： 100-x =100-75=25 .答：大和尚有25人，小和尚有75人.【课本P141 复习题 第2题】3.某长方体的展开图如图所示，已知展开图的面积为310cm²，求x的值.解：由题意，得xx51052(10x+5x+10×5)=310解得x=7x的值为7.【课本P141 复习题 第3题】单位：cm4.小丽每天要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学. 一天，小丽以0.8m/s的速度出发，5 min后，小丽的爸爸发现她忘了带数学书. 于是，爸爸立即以1.2m/s的速度去追小丽，并且在途中追上了她. 爸爸追上小丽用了多长时间? 追上小丽时，距离学校还有多远?解：设爸爸追上小丽用了x秒. 由题意，得解得追上时爸爸走的路程：追上时距离学校：答：爸爸追上小丽用了600秒. 追上小丽时，距离学校280米.0.8(5×60+x)=1.2xx=6001.2×600=720 (米)1000-720=280 (米)【课本P141 复习题 第4题】5.已知二元一次方程：(1) x＋y=4；(2) 2x-y=2；(3) x-2y=1.请从这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解.解：①+②，得 解得把x用2代入①式，得所以 是原方程的解.(选择不唯一)3x=6x=2y=2【课本P141 复习题 第5题】6.解下列二元一次方程组：解：(1) ①+②，得 把x用3代入①式，得所以 是原方程的解. 9x=27，x=3.y=-2.【课本P141 复习题 第6题】6.解下列二元一次方程组：(3) ①×4+②×3，得 把x用-2代入①式，得所以 是原方程的解.(4) ①×2+②×5，得 把x用4代入①式，得 所以 是原方程的解.【课本P141 复习题 第6题】7.为建设宜居宜业和美乡村，满足人民日益增长的精神文化需求，某村委会决定扩建“村民活动中心”，分两次采购了同一型号的电脑和乐器(两次采购的单价不变)，具体如下表：求该型号电脑和该种乐器的单价.【课本P142 复习题 第7题】解：设电脑的单价为x元/台，乐器的单价为y元/件. 由题意，得解得答：电脑的单价为3500元/台，乐器的单价为600元/件. 8. 为在全社会弘扬劳动精神、奉献精神，小亮所在年级到某地参加志愿者活动. 车上准备了5箱矿泉水，每箱的瓶数相同.到达目的地后，先从车上搬下2箱，分发给每位志愿者1瓶矿泉水，有8位未领到；接着又从车上搬下3箱，继续分发，最后每位志愿者都有2瓶矿泉水，还剩下8瓶. 问：有多少人参加志愿者活动？每箱有多少瓶矿泉水？解：设有x人参加志愿活动，每箱有y瓶矿泉水. 由题意，得解得答：有56人参加志愿者活动，每箱有24瓶矿泉水. 【课本P142 复习题 第8题】9. *解下列三元一次方程组：解：(1) ②×3-③，得 ④-①×5，得把y用1代入①式，得把x用2，y用1代入②式，得所以 是原方程的解.④【课本P142 复习题 第9题】9. *解下列三元一次方程组：(2) ①×2-②，得 ①×3+③ ⑤-④×2，得把z用1代入④式，得把y用-2，z用1代入①式，得所以 是原方程的解 .④⑤【课本P142 复习题 第9题】10. 解下列一元一次方程：解：(1)去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 两边同时除以3，得 -4(3x+2)+15(x-1)=1-12x-8+15x-15=13x=24x=8【课本P142 复习题 第10题】10. 解下列一元一次方程：(2)去分母，得 去括号，得移项、合并同类项，得两边同时除以-4，得 6(x-3)+4(-x+6)-3(2x+1)=126x-18-4x+24-6x-3=12-4x=9 【课本P142 复习题 第10题】解：设需要加入含盐8%的盐水x g。由题意，得解得需加入水的质量：答：还需要加入含盐8%的盐水400克，加入水100克.700-400-200=100 (克)【课本P142 复习题 第11题】12. 解下列二元一次方程组：解：(1) 原方程组可化为 ①-②，得 两边同时除以2，得 把y用-2代入①式，得 所以 是原方程组的解. 【课本P143 复习题 第12题】12. 解下列二元一次方程组：(2) 原方程组可化为 ①+②，得 两边同时除以3，得 ②×2-①，得 两边同时除以9，得 所以 是原方程组的解. 【课本P143 复习题 第12题】13. 下列二元一次方程组有解吗？如有，有多少组解？解：(1) ①×(-2) ，得 ③式和②式矛盾， 故原方程组无解.③ (2) ②÷ (-2)，得 故原方程有无数组解. ③【课本P143 复习题 第13题】14.建一个长方形花圃，为了节约材料，以建好的墙或局部为长方形的长，其他三边用总长为70m的栅栏围成. 现在甲、乙两人各设计了一个方案：甲的方案是长比宽多10m，乙的方案是长比宽多4m. 已知墙长28m，问谁的方案比较符合实际？为什么？解：设甲的方案宽为x m，则长为 (10+x) m.由题意得， 2x+ (10+x)=70解得 x=20∵10+20＞28， ∴甲方案不符合实际.【课本P143 复习题 第14题】设乙的方案宽为y m，则长为(4+y)m.由题意得， 2y+(4+y)=70解得 y=22∵4+22＜28， ∴乙方案符合实际.答：乙的方案比较符合实际，它的长没有超过墙长.15.已知m，n满足的条件分别为：(a，b均不为0)，求mn的值.解：由题意，得 去分母，得 去括号，得 移项并合并同类项，得当a、b同号时，n=1+1=2 或 n=(-1)+(-1)=-2；当a、b异号时，n=0所以当m=-7，n=2时，mn=(-7)×2=-14； 当m=-7，n=-2时，mn=(-7)×(-2) =14； 当m=-7，n=0时，mn=0.综上所述，mn的值为-14或14或0.【课本P143 复习题 第15题】16. 足球的表面由白块和黑块组成. 已知黑块是五边形，白块是六边形，且每一白块的6条边中，有3边与黑块相接，另3边与白块相接，每一黑块的5边全与白块的边相接. 已知黑块总数是12，求白块数.解：设白块有x块，则白块一共有6x条边. 其中有3x条边与黑块相接. 由题意得，3x=12×5 解得 x=20答：白块有20块.【课本P143 复习题 第16题】17.甲、乙二人骑自行车同时从相距5km的两地相向而行，经过10 min相遇.(1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解.(2)请你适当增加题目中的条件，使问题(1)有唯一解，并解答你改编后的问题.解：(1) 甲、乙两人的速度和：满足条件的解：甲的速度为10km/h，乙的速度为20km/h；甲的速度为20km/h，乙的速度为10km/h.(2) 增加的条件：如果甲的速度是乙的两倍，问甲、乙两人的速度各是多少？ 甲的速度为20km/h，乙的速度为10km/h.【课本P143 复习题 第17题】考点1 方程及方程的解 CA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5 返回考点2 一元一次方程 AA. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 1 返回考点3 等式的性质5. 下列等式变形正确的是( )D  返回考点4 一元一次方程的解法6.解下列方程:     返回考点5 一元一次方程的应用7. 如图，在某年11月份的月历表上，用一个正方形可以圈出9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为( )DA. 69 B. 207 C. 84 D. 189   返回 675  返回     返回考点6 二元一次方程组的相关概念 0   返回考点7 二元一次方程组的解法    返回   返回