2026重庆永川中学高三下学期第三次调研检测试题数学含解析

这是一份2026重庆永川中学高三下学期第三次调研检测试题数学含解析，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. 或 B. 或
C. D.
3. 已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
4. 某晚会由 4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目
中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
5. 设随机事件 A，B 相互独立，已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 如图， 向一个高为 且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为 时停止注水 (不考虑容器厚度)
， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ）
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A. 2 B. C. D. 1
8. 函数 对应的图象如图，点 为图象与 轴的交点，点 为图象的最高
点，点 为图象的最低点， 若 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分
9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7 位评委给某班的评分分别为 82，90，65，68，80，92，80，
依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余 5 个评分为有效数据，则（ ）
A. 有效数据的极差是 10 B. 有效数据的平均数是 80
C. 有效数据的第 80 百分位数是 86 D. 有效数据的方差是 50
10. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上异于左、右顶点的一
点， 下列说法正确的有（ ）
A. 的周长为
B. 若 ，则 的最小值为
C. 满足 是直角三角形的点 有 8 个
D. 的最大值为
11. 已知 是定义在 上的函数，对任意 ，满足 ，
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，若 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. ，
C. D. 在区间 上， 有 2027 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，其中 14 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分
12. 已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中的常数
项为________.（用数字作答）
13. 已知等比数列 ，且 ， 则 的值为
_____.
14. 在平面直角坐标系 中，点 为圆 上的动点，点 的坐标为 ，其中
为常数且 ．
（1）若 ，则 =_____，
（2）若 的最大值为 ，此时 的最小值为_____．
四、解答题：
15. 已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
16. 已知三棱柱 的棱长均为 2， ，平面 平面
（1）求该棱柱的体积；
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（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
17. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 5 件．该产品按箱售卖，每箱 30 元．用户在使用某箱该产品时，若
出现 1 件不合格品，则工厂赔偿 10 元；若出现 2 件不合格品，则工厂赔偿 20 元；若出现 3～5 件不合格品，
则工厂赔偿 30 元．设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记每箱产品中恰有 1 件不合格品的概率为 ，求 的极大值点 ．
（2）工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产
品中随机抽 1 件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽 2 件检验，
如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为 2 元，以（1）中确定的 作为 p 的值，
以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？
18. 已知函数 ．
（1）设 ．
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求 在 上的最小值．
（2）若 在 上单调递减，求 的取值范围．
19. 已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 1，点 在双曲线
上；
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设点 是双曲线 上的动点， 是圆 上的动点，且直线 与圆 相切，求
的最小值；
（3）如图， 是双曲线 上两点，直线 与 轴分别交于点 ，点 在直线 上；若
关于原点对称，且 ，是否存在点 ，使得 为定值；若存在，求出该定点 的坐标；
若不存在，请说明理由；
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