2026普通中学高三下学期第四次调研测试数学含解析

这是一份2026普通中学高三下学期第四次调研测试数学含解析，共9页。
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．已知角的终边过点，则
A．B．C．D．
3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为
A．B．C．D．
4．已知圆：，则过点的圆的最短弦所在直线的方程为
A．B．C．D．
5．已知等比数列的前项和为，若，，则
A．B．C．或D．或
6．已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则
A．B．C．或D．或
7． 已知函数的定义域为，满足，，且，
则
A．B．C．D．
8．已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线，直线，则
A．当时， B．当时，
C．当时，D．当时，
10．已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，先从甲箱中随机抽取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机抽取出个球．分别用表示由甲箱中取出的是红球和黑球，用表示从乙箱中抽出的是红球，则
A．事件与事件互斥B．
C．D．事件与事件相互独立
11．已知正方体的棱长为，点在内运动（包括边界），点到的距离分别为，且，则
A．点到平面的距离为B．
C．点的运动轨迹是圆 D．点的运动路径的长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分。
12．已知函数 则 ．
13．已知抛物线上一点到直线与直线的距离分别为，，
则的最小值为 ．
14．已知平面向量，，，满足，且，则 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知是锐角三个内角的对边，且的面积为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的外接圆的半径为，求的周长.
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，，
平面，点满足．
（Ⅰ）若点为中点，证明：平面；
（Ⅱ）当时，若，求点到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
已知椭圆：，双曲线：，，分别为，的离心率，且．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若双曲线的上顶点为，经过上焦点的直线与的上支相交于，两点，直线，分别与轴相交于，两点，求的最小值．
18．（本小题满分17分）
高三（1）班的联欢会设计了一项抽奖活动：参加抽奖活动的同学从含有张有奖的张卡片中任取张，如果抽到张或者张以上有奖的卡片，就可以获得一件精美小礼品，每名同学是否参与抽奖活动相互独立，且最多参加一次抽奖活动.
（Ⅰ）甲同学准备试一试，记甲同学抽到有奖的卡片数为.
（ⅰ）求的分布列和数学期望；
（ⅱ）求甲同学获得一件精美小礼品的概率；
（Ⅱ）参与抽奖活动的同学，若获得一件精美小礼品可得积分，未获得一件精美小礼品可得积分.抽奖活动结束后，从参与抽奖活动的同学中随机抽取个人（），记这个人积分总和为的概率为，求数列的前项和.
19．（本小题满分17分）
已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ） 已知，函数，对任意，存在，使，求实数的取值范围；
（Ⅲ）已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由.
命题、校对：高三数学核心组