重庆市永川中学校2026届高三上学期第十九周周测数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2 若复数满足，则（）
A. 5 B. 2 C. D. 1
3. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为，常数项为，则的值为
A B. C. D.
4. 已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（）
A. B. C. 2 D. 4
5. 有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目 A 需 1 人，项目 B 和 C 各
需要 2 人.分配方案数为，甲和乙被分配到同一项目的概率为，则的值分别为（）
A. B. C. D.
6. 若，，，则、、大小关系为（）
A. B.
C. D.
7. 已知函数在处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最
小整数解是（）
A. 2 B. 8 C. 10 D. 14
8. 双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分
别交于两点，且直线倾斜角为若，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
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二、多选题
9. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，
其中支出在元的学生有 45 人，则下列说法正确的是（）
A. 样本中支出在元的频率为
B. 的值为 150
C. 采用分层抽样从这 45 人中抽出 10 人，则在中共需抽出 5 人
D. 该校学生一周生活方面支出的第 75 百分位数大约是 52 元（精确到个位数）
10. 已知正数，满足，则（）
A. B. C. D.
11. 如图，在棱长为 2 的正方体中，已知 M，N，P 分别是棱，，的中点，
Q 为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点 Q 的轨迹长度为
D. 能放入由平面 PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
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三、填空题
12. 已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为_________.
13. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台
的体积为，则 ______．
14. 如图，在中，分别是直线，上的点，，
且，则 ____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为
____________.
四、解答题
15. 的内角的对边分别为，且 .
（1）求；
（2）若为边上一点，且，求 .
16. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，点为
的中点.
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（1）证明：；
（2）若异面直线和所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.
17. 已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：
四边形面积是定值.
18. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是 21 世纪最重要的尖端科技之一，其理
论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然
后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本
原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，
其中甲袋中有 9 个红球和 1 个白球，乙袋中有 2 个红球和 8 个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从
该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到
甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中
摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
19. 已知函数 .
（1）若，求的最大值；
（2）证明存在唯一的极大值点，且；
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（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.