重庆市永川中学2026届高三上学期数学一诊复习题（四）试题（Word版附解析）

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1. 记全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 设 为虚数单位， ，“ ”是“复数 是纯虚数”的（ ）条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 .若对于任意的等差数列 ，总有 是等差数列，则称函数 具有
“保等差性”.函数 可能是（ ）
A. B.
C D.
4. 已知 中， 是 边上靠近 的三等分点，过点 的直线分别交直线 于不同的两点
，设 ，其中 ，则 的最小值是（ ）
A. 4 B. C. D.
5. 已知双曲线 的右顶点为 ，直线 与 的一条渐近线在第一
象限相交于点 ，若 与 轴垂直，则 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
6. 设样本数据 的平均数，中位数，众数和标准差分别为 .当 取得最小值
时， （ ）
A. B. C. D.
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7. 已知 ，若点 为曲线 与曲线 的交点，且两条曲线在点 处的
切线重合，则实数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构
成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（），简
单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不
动点函数”，给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在 上均
存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 （ ， ），满足 ，且函数 在区间
上单调，下列说法正确 是（ ）
A.
B. 若 ，则函数 的最小正周期为
C. 关于 x 的方程 在 上可以有 4 个不等实数解
D. 若函数 在区间 上恰有 5 个零点，则 的取值范围为
10. 已知点 为直线 上的动点，向量 ，过点 向圆 作两
条切线，切点分别为点 ，则（ ）
A. 若直线 与圆 相切，则
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B. 当 时，直线 截圆 所得的弦长为
C. 点 到直线 距离恒为
D. 若 ，则当 取到最小值时，
11. 平面中有 个不同的点，且任意 3 点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），
笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这
个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，
结论正确的有（ ）
A. 在图 1 中，可以绘制 7 个不同的“通路”
B. 在图 2 中，可以绘制 18 个仅由 3 条线段组成的不同的“通路”
C. 在图 2 中，可以绘制 7 个不同 “回路”
D. 在图 3 中，可以绘制 37 个至多由 5 条线段组成的不同的“回路”
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ，向量 ，且 与 夹角为锐角，则实数 的取值范围是______.
13. 已知空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方程为
．用以上知识解决下面问题：已知平面 的方程为
，直线 l 是两个平面 与 的交线，则直线 l 与平面 所成角的
余弦值为________．
14. 函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在△ 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求 A；
（2）线段 上一点 D 满足 ， ，求 的长度．
16. 已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .
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（1）求 的方程；
（2）若直线 与 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且 是 的中点，求 的值.
17. 记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）判断 是否为等比数列，并求出 的通项公式；
（2）设递增的等差数列 满足 ，且 、 、 成等比数列．设
，证明： ．
18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 的正方形， 面 ABCD，若点 M 满足
，点 E 为 PB 中点，过 EM 的平面 满足 ，且平面 与棱 PD，AD，AB 分别交于点 F，
G，H.
（1）求证： ；
（2）试判断 P，E，M，F，G，H 六点能否在同一个球面上？若能，求该球的表面积；若不能，请说明理
由.
19. 已知随机变量 的取值为非负整数，其分布列为：
0 1 2 … n
P …
其中 ，且 ．由 生成的函数为 ， ．
（1）若 生成的函数为 ，当 为奇数时，求 的值；
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（2）在盒①中有 1 个红球，在盒②中有 2 个蓝球和 4 个绿球，随机选盒取出 1 个球，选择盒①的概率为
．已知随机变量 生成的函数为 ，其中 分别对应取到红球、蓝球、绿球的概
率．证明： ，并计算 的值；（ ）
（3）已知三个自然数的和为 9，用 表示这三个数中最小的数，此时由 生成的函数记为 ，令
，求 的极小值点．