湖南省湘潭市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省湘潭市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（含答案解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 集合，，则（ ）
2. 命题“”的否定是（ ）
3. 与终边相同的角所构成的集合是（ ）
4. “”是“”的（ ）
5. 已知，，，下列不等式成立的是（ ）
6. 已知函数，则（ ）
7. 莱洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形．莱洛三角形在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用．如图所示，等边的边长，则该莱洛三角形的面积为（ ）
8. 若实数满足，则的最小值为（ ）
二、多选题
9. 下列运算中正确的有（ ）
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
11. 定义在的函数满足如下条件：①；②当时，.则下列说法正确的是（ ）
三、填空题
12. 已知函数（，且），则函数的图象恒过定点______．
13. 若函数的图象关于直线对称，请写出一个符合题意的值，______．
14. 如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.

四、解答题
15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第二象限，且与单位圆交于点，点的横坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
16. 已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明；
(3)证明：当时，函数在内至少存在两个零点．
17. 为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）．
(1)求的函数解析式；
(2)当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？
18. 已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在的值域；
(3)已知函数，关于的方程有实数解，且，求实数的取值范围．
19. 利普希茨连续条件（Lipschitz cntinuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫•利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”．
(1)判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由；
(2)若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值；
(3)已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．0
A．若，则
B．
C．若，则
D．
A．函数的最小值为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递减
D．将函数的图象向右平移个单位可得的图象
A．
B．当时，
C．在上单调递减
D．不等式的解集为