江苏扬州市2025-2026学年度第二学期期中调研八年级数学试卷（含答案+解析）

这是一份江苏扬州市2025-2026学年度第二学期期中调研八年级数学试卷（含答案+解析），文件包含河南省周口市高三年级第二学期四月份联考生物试题pdf、生物学答案2pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
1.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 打开电视机，正在播放新闻B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C. 任意画一个三角形，其内角和为180 ∘D. 明天会下雨
2.下列调查中，适用抽样调查的是( )
A. 企业招聘，对应聘人员进行面试
B. 检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况
C. 了解某班学生的视力情况
D. 调查市民想去中华麋鹿园旅游的情况
3.下列说法正确的是( )
A. “明天的降水概率为45%”是指明天下雨的可能性是45%
B. 连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次
C. 一个事件发生的概率可能为200%
D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖
4.下列各式从左到右的变形为因式分解的是( )
A. x2+4=x−22+4xB. x2−6x+9=(x−3)2
C. (a+1)(a−1)=a2−1D. a2−1+2a=(a+1)(a−1)+2a
5.在▱ABCD中，∠B=3∠A，则∠C=( )
A. 45∘B. 36∘C. 60∘D. 105∘
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是( ).
A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
C. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
D. 当∠DAB=90 ∘时，四边形ABCD是矩形
7.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，M，N分别为BE和CE的中点，连接MN，若MN=5，AB=6，则DE的长为( )
A. 2B. 2.5C. 3D. 4
8.矩形ABCD中，AB=5，BC=4，P为AD边上的一点，沿直线BP将△ABP翻折至△EBP(点A落到点E处).如图PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为( )
A. 3B. 83C. 3.6D. 103
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.为了解某校1000名学生的学习质量，从20个班中每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为 .
10.因式分解：3a−12= .
11.一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1∼4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是 (用小数表示).
12.某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右5个小长方形的高的比为1:3:7:6:3，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分别大于或等于80分为优秀，且分数为整数) 篇．
13.已知多项式x2+mx+16是完全平方式，m是常数，则m的值为 .
14.一个不透明的袋中装有若干个白球和9个红球，这些球除颜色外都相同．通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则袋中球的总数约为 .
15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO=DO，请你添加的一个条件是 ，使四边形ABCD是平行四边形.
16.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(4,3)，(6,−2)，在平面直角坐标系中找一点D，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： .
17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点H为OB上一点，连接AH，若CD=25，OC=15，BH=12，则AH的长为 .
18.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，E是AD上一点，AE=2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.因式分解：
(1)3x2y−6xy+3y
(2)x2+42−16x2
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.及格；D.不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
(1)本次共调查了____名学生，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，m的值是 ，D对应的扇形圆心角的度数是 ；
(3)若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数；
21.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连结BE并延长，交CD的延长线于点F.
求证：DF=CD.
22.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AF=CE，连接DE，BF，BE，DF，求证：四边形EBFD是平行四边形．
23.(本小题6分)
植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表：
(1)完成上述表格：a= ，b= ；
(2)这种树苗成活的概率估计值为 (精确到0.1)
(3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？
24.(本小题8分)
求代数式x2−8x+19的最小值．
解：原式=x2−8x+16+3=x−42+3.
∵x−42≥0，
∴x−42+3≥3，
∴x2−8x+19的最小值为3.
(1)仿照例题，用配方法求代数式p2−10p+24的最小值．
(2)若a2+b2−4a−12b=−40，求a，b的值
25.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BE//AD，AE⊥AD.
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)过点E作EF⊥AB于F，若BC=6，AD=4，求EF的长．
26.(本小题8分)
如图，在梯形ABCD中，BC//AD，延长CB到点E，使BE=AD，∠E=∠ACE.
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形．
(2)连接BD，试判断BD与AE的数量关系，并说明理由．
27.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=12cm，BC=15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)AP= cm，PD= cm，BQ= cm，(分别用含有t的式子表示)；
(2)当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
(3)当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
(4)当t为何值时，四边形PDQB为平行四边形？
28.(本小题12分)
问题发现
(1)基本模型-十字架模型
如图1所示，在正方形ABCD内，点E在边DC上，点F在边BC上，AE、DF交于点H，①若AE⊥DF则有结论AE=DF；②反之若有AE=DF，则有结论AE⊥DF.
对于上述问题请选择一个命题加以证明．
(2)模型运用
如图2，在正方形ABCD中，AB=4，点E在边CD上(不与C、D重合)，连接AE，将△ADE沿AE翻折，得到△AD′E，连接DD′并延长交BC于点F.
①若DE=3，求DD′的值．
②如图3，若AE与DF交于点G，连接BG，若BG//D′E，求证：AB=GB.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180 ∘，是必然事件，符合题意；
D、明天会下雨，是随机事件，不符合题意；
故选：C.
2.【答案】D
【解析】本题考查判断全面调查与抽样调查，需区分全面调查与抽样调查的适用场景，全面调查适用于范围小、要求精准或事关重大的调查，抽样调查适用于范围广、难以全面调查的情况．据此逐项判断即可．
【详解】解：A选项企业招聘需对每位应聘人员面试，属于全面调查；
B选项飞船仪器设备检查事关安全，需全面排查，属于全面调查；
C选项班级学生人数少，可全面统计视力，属于全面调查；
D选项市民群体范围广，难以全面调查，适合抽样调查；
故选：D.
3.【答案】A
【解析】解：A.“明天的降水概率为45%”是指明天下雨的可能性是45%，选项A是正确的，因此A符合题意；
B.连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数不一定是50次，因此B不符合题意；
C.一个事件发生的概率小于或等于1，因此C不符合题意；
D.这是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，因此D不符合题意；
故选：A.
根据概率的意义、随机事件的意义逐项进行判断即可．
本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提．
4.【答案】B
【解析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形从左到右进行．根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A：右边为x−22+4x，是和的形式，不是积的形式，故不是因式分解；
B：右边为x−32，是积的形式，故是因式分解；
C：左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，故不是因式分解；
D：右边为a+1a−1+2a，是和的形式，不是积的形式，故不是因式分解，
故选：B.
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A+∠B=180∘，
又∵∠B=3∠A，
∴∠A+3∠A=180∘，
解得：∠A=45∘，
∴∠C=45∘.
故选A.
6.【答案】B
【解析】本题考查特殊平行四边形的判定，掌握好特殊平行四边形的判定定理是解题关键．
根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：对于A，对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不满足题意；
对于B，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，满足题意；
对于C，邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确，不满足题意；
对于D，一个角为直角的平行四边形是矩形，故D正确，不满足题意．
故选：B.
7.【答案】D
【解析】先由三角形的中位线的性质求得BC=2MN=10，再根据平行线的性质得到AD//BC，AD=BC=10，再根据平行线的性质与角平分线定义得到∠AEB=∠ABE，从而得到AE=AB=6，然后由DE=AD−AE求解即可．
【详解】解：∵M，N分别为BE和CE的中点，
∴MN是△BCE的中位线，
∴BC=2MN=2×5=10，
∵▱ABCD，
∴AD//BC，AD=BC=10，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=6，
∴DE=AD−AE=10−6=4.
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90∘，AD=BC=4，CD=AB=5，
由折叠的性质可知△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90∘，BE=AB=5，
在△ODP和△OEH中，
∠DOP=∠EOHOD=OE∠D=∠E，
∴△ODP≌△OEH，
∴OP=OH，PD=HE，
∴DH=EP，
设AP=EP=x，则PD=HE=4−x，DH=x，
∴CH=5−x，BH=5−(4−x)=1+x，
根据勾股定理得：BC2+CH2=BH2，
即42+(5−x)2=(x+1)2，
解得：x=103，
∴AP=103，
故选：D.
9.【答案】100
【解析】解：根据题意可知，样本容量为20×5=100.
故答案为：100.
样本容量是指样本中个体的数量，根据抽样方式计算得出．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握总体、个体、样本、样本容量的定义是关键．
10.【答案】3(a−4)
【解析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答．
【详解】解：3a−12=3(a−4)，
故答案为：3(a−4).
11.【答案】0.2
【解析】先根据各组频数之和等于数据总数求出第5组的频数，再利用频率=频数÷数据总数计算第5组的频率．
【详解】解：第5组的频数为：
50−12+9+11+8
=50−40
=10，
第5组的频率为：10÷50=0.2.
12.【答案】27
【解析】本题主要考查了频数分布直方图，正确读懂统计图是解题的关键．直接用调查报告总数乘以被评为优秀的论文的数量占比即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：6+31+3+7+6+3×60=27(篇)，
故答案为：27.
13.【答案】8或−8
【解析】本题考查完全平方式的结构特征，根据所给多项式可确定两平方项为x2和42，结合完全平方式的两种形式可得一次项为±2⋅x⋅4，即可求出m的值.
【详解】解：∵多项式x2+mx+16=x2+mx+42是完全平方式，
∴mx=±2⋅x⋅4，
即mx=±8x，
∴m=±8.
14.【答案】30
【解析】由摸到红球的频率稳定在0.3附近，可得摸到红球的概率为0.3，设袋中球的总数为x，根据概率公式列方程求解即可．
【详解】解：设袋中球的总数为x，由题意得
9x=0.3，
解得x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
故袋中球的总数约为30.
15.【答案】AD//BC(答案不唯一)
【解析】解：添加条件：AD//BC，
证明：∵AD//BC，
∴∠DAO=∠BCO，
∵∠AOD=∠COB，DO=BO，
∴△DAO≌△BCO(AAS)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD//BC(答案不唯一).
根据平行四边形的判定方法作答即可．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
16.【答案】(9,0)或(−1,6)或(3,−4)
【解析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系.当AB//CD，AC//BD时，点D在点D1所在位置，坐标为(9,0);当AD//BC，AC//BD时，点D在点D2所在位置，坐标为(−1,6);当AB//CD，AD//BC时，点D在点D3所在位置，坐标为(3,−4).故答案为(9,0)或(−1,6)或(3,−4).
17.【答案】17
【解析】本题可先利用菱形的性质得到对角线互相垂直，再通过勾股定理求出OD(OB)的长度，接着算出OH的长度，最后在Rt△AOH中用勾股定理求出AH的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=15，OB=OD.
在Rt△COD中，CD=25，OC=15，
∴OD= CD2−OC2= 252−152=20，
∴OB=OD=20.
∵BH=12，
∴OH=OB−BH=20−12=8.
∴在Rt△AOH中，AH= OA2+OH2= 152+82=17.
18.【答案】10
【解析】【分析】过点P作PM//FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM=2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．
解：
过点 P 作PM//FE交AD于M ，
如图， F为AP 的 中点，PM//FE，FE为△APM的中位线，
∴AM=2AE=4，PM=2EF，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，
此时PM=AB=6，DM=8，
在 Rt△PMD中，PD= PM2+DM2= 62+82=10，
当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10.
故答案为：10⋅
本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键．
19.【答案】【小题1】
解：3x2y−6xy+3y
=3yx2−2x+1
=3y(x−1)2；
【小题2】
解：x2+42−16x2
=x2+4+4xx2+4−4x
=(x+2)2(x−2)2.

【解析】1.
先提取公因式3y，再用完全平方公式分解因式；
2. 先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解因式．
20.【答案】【小题1】
解：学生总数为：20÷40%=50(名)，
B组人数为50−20−15−10=5(名)，
补全条形统计图如下：
【小题2】
30
72 ∘
【小题3】
解：该校不合格的学生人数为2000×1050=400(名).

【解析】1.
根据A组的实际数据和占比求出总数，求出B组数据补全条形统计图；
2.
根据条形统计图数据求出C组的百分比，利用360 ∘乘D组的占比即可求出圆心角度数；
解：∵1550×100%=30，
∴m=30；
D对应的扇形圆心角的度数为360 ∘×1050=72 ∘；
3.
根据样本频数估计总体频数即可．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠F，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
∠ABE=∠F∠AEB=∠DEFAE=DE，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴AB=DF，
∴DF=CD.
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，则∠ABE=∠F，再证△ABE≌△DFE(AAS)，得AB=DF，即可得出结论．
22.【答案】方法一：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠FAB=∠ECD，
又AF=CE，
在△ABF与△CDE中，
AB=CD∠FAB=∠ECDAF=CE，
∴△ABF≌△CDESAS，
∴BF=DE，∠AFB=∠DEC，
∴BF//DE，
∴四边形EBFD是平行四边形．
方法二：
证明：连接BD，BD与AC相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又AF=CE，
∴AF−AO=CE−OC，
∴OF=OE，
∴四边形EBFD是平行四边形．

【解析】方法一：证明△ABF与△CDE全等，即可得BF=DE，∠AFB=∠DEC，由此可证明．
方法二：根据四边形ABCD是平行四边形，可得对角线互相平分，再由边的相等关系证明即可．
23.【答案】【小题1】
117
0.80
【小题2】
0.8
【小题3】
解：600÷0.80=750(棵)，
答：在相同条件下至少需要买750棵树苗．

【解析】1.
本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键．
利用数据占比=目标数÷总数计算即可；
【详解】解：a=150×0.78=117，b=8001000=0.80；
故答案为：117；0.80；
2.
利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得；
解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为0.80，
所以这种油菜籽发芽的概率估计值是0.80，
0.80(精确到0.1)=0.8；
故答案为：0.8；
3.
利用600除以成活概率进行估算即可．
24.【答案】【小题1】
解：p2−10p+24=p2−10p+25−1=p−52−1，
∵p−52≥0，
∴p−52−1≥−1，
∴代数式p2−10p+24的最小值为−1.
【小题2】
解：∵a2+b2−4a−12b=−40，
∴a2+b2−4a−12b+40=0，
∴a2−4a+4+b2−12b+36=0，
∴a−22+b−62=0，
∵a−22≥0，b−62≥0，
∴a−22=0，b−62=0，
∴a−2=0，b−6=0，
∴a=2，b=6.

【解析】1.
用配方法，将p2−10p+24改写为p−52−1，由p−52≥0，可得p−52−1≥−1，即可求解；
2. 移项，配方可得a−22+b−62=0，由a−22≥0，b−62≥0，可得a−22=0，b−62=0，即可求解．
25.【答案】【小题1】
证明：∵△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB=90 ∘，
∵BE//AD，AE⊥AD，
∴∠DBE=90 ∘，∠DAE=90 ∘，
∴四边形ADBE是矩形；
【小题2】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=6，AD=4，
∴BD=CD=12BC=12×6=3.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB= BD2+AD2= 32+42=5.
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE=AD=4，AE=BD=3.
∵12×AB×EF=12×BE×AE，
∴EF=BE×AEAB=4×35=125.

【解析】1.
根据等腰三角形的性质得∠ADB=90 ∘，再根据平行线的性质得∠DBE=90 ∘，然后根据AE⊥AD，可得∠DAE=90 ∘，即可得出结论；
2. 根据等腰三角形的性质求出BD=CD=12BC=3，再根据勾股定理得AB，然后根据矩形的性质得BE=AD=4，AE=BD=3，最后根据三角形的面积相等得出答案．
26.【答案】【小题1】
解：∵BC//AD，
∴∠DAC=∠ACE，
∵∠E=∠ACE，
∴∠E=∠DAC，
∵∠E=∠ACE，
∴AE=AC，
在△ABE和△ADC中，
AE=AC∠E=∠DACBE=AD，
∴△ABE≌△ADCSAS，
∴AB=DC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
【小题2】
解：BD=AE，
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，
∵AE=AC，
∴BD=AE.

【解析】1.
本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形．
根据平行线的性质求出∠E=∠DAC，根据∠E=∠ACE推出AE=AC，证△ABE≌△ADC，推出AB=DC即可．
2.
根据等腰梯形性质得出AC=BD，即可得出答案．
27.【答案】【小题1】
t
12−tcm
15−3t
【小题2】
解：设点A到BC的距离为h，
∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，
∴SPQCD=2SABQP，即12×(PD+QC)×ℎ=2×12×(AP+BQ)×ℎ，
∴12×(12−t+3t)×ℎ=2×12×(t+15−3t)×ℎ，
∴t=3；
【小题3】
解：∵AD//BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴t=15−3t，
∴t=154；
∴运动154s时，四边形APQB是平行四边形
【小题4】
解：∵AD//BC，
∴当PD=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴12−t=15−3t，
∴t=32，
∴运动32s时，四边形APQB是平行四边形；

【解析】1.
本题考查动点问题，涉及到平行四边的性质等，灵活运用所学知识是关键．根据条件求解即可；
解∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，
∴AP=t，
∵AD=12cm
∴PD=12−tcm，
∵点Q以3cm/s的速度由C向B运动，BC=15cm，
∴QC=3t，
∴BQ=15−3t；
2. 设点A到BC的距离为h，根据题意表示出四边形PQCD的面积和ABQP面积，求解即可；
3. 当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，求解即可；
4. 当PD=BQ时，四边形APQB是平行四边形，求解即可．
28.【答案】【小题1】
选择①，证明如下：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90 ∘，
∴∠ADF+∠CDF=90 ∘，
∵AE⊥DF，
∴∠AHD=90 ∘，
∴∠ADF+∠DAE=90 ∘，
∴∠DAE=∠CDF，
在△ADE和△DCF中，
∠DAE=∠CDFAD=DC∠ADE=∠DCF，
∴△ADE≌△DCFASA，
∴AE=DF；
选择②，证明如下：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠DCF=90 ∘，AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△DCF中，
AD=DCAE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCFHL，
∴∠DAE=∠CDF，
∴∠ADF+∠CDF=∠ADF+∠DAE=90 ∘，
∴∠AHD=90 ∘，
∴AE⊥DF；
【小题2】
①解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AD=AB=4,∠ADE=90 ∘，
在Rt△ADE中，AE= AD2+DE2= 32+42=5，
由翻折得，AE垂直平分DD′，
记AE与DD′相交于点O，则AE⊥DD′，且DD′=2DO，
在Rt△ADE中，
S△ADE=12×AD⋅DE=12×AE⋅DO，即12×4×3=12×5×DO，
解得，DO=125，
∴DD′=2DO=245；
②证明：由翻折得，AD=AD′，∠AED=∠AED′，∠AD′E=∠ADE=90 ∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=AD′，AB//CD，
∴∠BAG=∠AED，
∵BG//D′E，
∴∠BGA=∠AED′，
∴∠BAG=∠AED=∠AED′=∠BGA，
∴∠BAG=∠BGA，
∴AB=GB.

【解析】1.
①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用ASA证明△ADE≌△DCF，进而可得AE=DF；
②根据正方形的性质得内角为90 ∘，根据HL证明Rt△ADE≌Rt△DCF，得∠DAE=∠CDF，进而得∠ADF+∠CDF=∠ADF+∠DAE=90 ∘，从而证明AE⊥DF；
2.
①先根据勾股定理求AE的长，记AE与DD′相交于点O，由翻折得AE⊥DD′、DD′=2DO，根据等面积法得DO=125，进而根据DD′=2DO计算DD′；
②根据正方形和翻折性质得AB=AD=AD′，根据BG//D′E，得∠BGA=∠AED′，
结合翻折得∠BAG=∠BGA，从而证明AB=GB.
每批棵数n
50
100
150
400
800
1000
成活的棵数m
37
77
a
316
640
800
成活的频率mn
0.74
0.77
0.78
0.79
0.80
b