圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题、三点共线问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知抛物线上一点到焦点的距离为2．点在直线上，过点作抛物线的两条切线、，切点分别为，为坐标原点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，且垂足为，求证；存在定点，使得为定值；
(3)求面积的最小值．
例2．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)已知直线与双曲线相切.
①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值；
②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值.
例3．（25-26高三上·山东菏泽·月考）在平面直角坐标系中，双曲线，离心率为，点是上任意一点．
(1)求的方程；
(2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值；
(3)，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值．
变式1．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知椭圆的离心率为，是C上的点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆C在x轴上方部分于D，E两点．
（i）求证：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
变式2．（2026·陕西铜川·一模）已知椭圆两个焦点与一个下顶点组成一个长为4的等边三角形.设直线与椭圆C交于两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求的最大面积；
(3)在y轴上是否存在一定点P，对任意，使得直线的斜率之和恒为0？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由.
变式3．（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时
①线段的中点的轨迹方程；
②不过原点且斜率为2的直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值.
考点二 四边形面积问题
例1．（25-26高二上·湖北·期末）已知椭圆右顶点为，短轴长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点的直线与椭圆交于、两点．
（i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积；
（ii）证明：的外接圆经过两个定点．
例2．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知椭圆，焦距为4，椭圆上的点到两焦点的距离之和为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点.记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），直线交椭圆于两点.
①求证：；
②求四边形面积的最小值.
例3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆：（）的离心率为，且过点．
(1)求的方程．
(2)设的左、右焦点分别为，，若为上位于轴上方的两个动点，且．
（ⅰ）若为的上顶点，求直线的方程；
（ⅱ）求四边形的面积的最大值．
变式1．（25-26高二上·四川眉山·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆，称为阿波罗尼斯圆.已知平面内两定点，，点P满足.
(1)记动点的轨迹为，求轨迹的方程；
(2)设点，点在直线上，过点作轨迹的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值.
变式2．（25-26高三上·山西太原·月考）已知椭圆：.
(1)若椭圆过点，且离心率，求的取值范围；
(2)若椭圆过点，且焦距为2，其中为椭圆的离心率，求椭圆的标准方程；
(3)在(2)条件下，设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．
变式3．（25-26高二上·陕西商洛·月考）已知椭圆的右焦点为，椭圆上一动点到的距离的取值范围为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设斜率为的直线过点，交椭圆于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交椭圆于，两点.
①求证：；
②求四边形面积的最小值.
考点三 三点共线问题
例1．（2026·河北衡水·模拟预测）已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为．
①证明：三点共线；
②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值．
例2．（25-26高三上·福建福州·月考）已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，圆与C恰有两个交点．
(1)求C的方程；
(2)设A为C的左顶点，过F且斜率存在的直线交C的右支于，两点，直线，分别交圆O的另一点于，．
①证明：，，三点共线；
②设直线与直线交于D，证明：点D在定直线上．
例3．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知曲线上任意一点满足.
(1)求曲线的方程；
(2)曲线上三个不同的动点P，E，F满足PE与PF的倾斜角互补，且P不与曲线的顶点重合，过点P且垂直于x轴的直线与曲线的另一个交点为Q，记线段EF的中点为H，O为坐标原点，求证：Q，H，O三点共线.
变式1．（25-26高二上·河北保定·月考）已知点，动点满足．
(1)求动点G的轨迹方程；
(2)若直线与点G的轨迹交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，若A，Q，C三点共线，求m的值．
变式2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为.
(1)求的方程；
(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点；
(3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由.
变式3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为.
(1)求拋物线的焦点坐标；
(2)求证：点三点共线；
(3)若，求四边形的面积.考点目录
三角形面积问题
四边形面积问题
三点共线问题