2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 081-课时作业73 两个计数原理、排列与组合（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 081-课时作业73 两个计数原理、排列与组合（教用），共17页。试卷主要包含了若An2=3Cn−12,则n=等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题3分，多选题每小题4分，填空题每小题3分，共34分.
1．若An2=3Cn−12,则n=（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】由题可知n−1≥2且n(n−1)=3(n−1)(n−2)2,所以n=6,故选C.
2．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0∼255.在电脑上绘画时可以从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
A. 2563B. 27C. 2553D. 6
【答案】A
【解析】三种基本颜色各有256个色号，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256=2563（种）颜色.故选A.
3．从3位男生、4位女生中选派4人参加座谈会，则既有男生又有女生参加的不同选派方法共有（ ）
A. 120种B. 60种C. 34种D. 30种
【答案】C
【解析】从7人中任选4人，除去选到4人全是女生的情况，则满足要求的选派方法共有C74−C44=34种.故选C.
4．将4名大学生平均分成两组，安排到甲、乙两所中学进行教学实习，则不同的实习安排方案共有（ ）
A. 24种B. 12种C. 6种D. 10种
【答案】C
【解析】将4名大学生平均分为两组，共有C42C22A22种分法，将这两组分配到甲、乙两所中学，有A22种分法，所以不同的实习安排方案共有C42C22A22⋅A22=6种.故选C.
5．（2025·广东广州模拟）某学校安排4位教师在星期一至星期五值班,每天只安排1位教师,每位教师至少值班1天,至多值班2天且这2天相连,则不同的安排方法共有（ ）
A. 24种B. 48种C. 60种D. 96种
【答案】D
【解析】选1位教师连续值2天班,有C41种方法,再安排这位教师值班,有4种方法,然后安排其他3位老师,有A33种方法,所以共有C41×4×A33=96种不同的安排方法.
6．（2025·广西梧州模拟）180的不同正因数的个数为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 18
【答案】D
【解析】因为180=22×32×5，所以180的正因数为2α×3β×5γ ，其中α=0，1，2，β=0，1，2，γ=0，1，所以180的不同正因数有3×3×2=18（个）.故选D.
7．一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手的出场次序，那么不同的排法有（ ）
A. 12种B. 20种C. 30种D. 42种
【答案】D
【解析】依题意，7名棋手的全排列有A77种，其中原有5名棋手的排列有A55种，所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数为A77A55=7×6=42.故选D.
8．（2025·浙江温州调研）6名同学排成一排,其中甲与乙互不相邻,且丙与丁相邻的不同排法有（ ）
A. 72种B. 144种C. 216种D. 256种
【答案】B
【解析】先将丙、丁2人全排列,有A22种不同排法,
再将丙、丁视作一个整体,与除甲、乙外的2人全排列,有A33种不同排法,
最后在形成的4个空中选择2个空插入甲、乙2人,有A42种不同排法,
故共有A22A33A42=144（种）不同排法.
9．多选 某中学为提升学生的劳动意识和社会实践能力，安排学生利用周末去社区义务劳动.高三共6个班，其中只有高三（1）班有2个劳动模范，本次义务劳动共20个名额，劳动模范必须参加但不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
若高三（1）班没有除劳动模范之外的学生参加，则共有C204种分配方法
若高三（1）班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C195种分配方法
若高三（1）班恰有3人参加，则共有C201C194种分配方法
若每个班至少3人参加，则共有C95种分配方法
【答案】BD
【解析】对于A，若高三（1）班没有除劳动模范之外的学生参加，则将20个名额分配给5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法可知有C194种分配方法，故A错误；
对于B，若高三（1）班有除劳动模范之外的学生参加，则将20个名额分配给6个班级，每个班级至少1个，有C195种分配方法，故B正确；
对于C，若高三（1）班恰有3人参加，则高三（1）班需分配1个名额，将剩余的19个名额分配给5个班级，每个班级至少1个，有C184种分配方法，故C错误；
对于D，先分给除高三（1）班外的每个班级2个名额，再将剩余的10个名额分配给6个班级，每个班级至少1个，有C95种分配方法，故D正确.故选BD.
10．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有_ _ _ _ 个.
【答案】12
【解析】根据题意，从正三棱柱的六个顶点中任选四个，共C64=15种选法，其中所取4点在同一个侧面上的情况有3种，即符合条件的四面体有C64−3=12个.
11．（2025·江苏扬州模拟）花灯,又名“彩灯”“灯笼”,是中国传统农业时代的文化产物,兼具生活功能与艺术特色.如图,现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,则不同的取法种数为_ _ _ _ .
【答案】90
【解析】将6盏不同的花灯全排列,共有A66种方法,因为每次只取一盏花灯,而且只能从下往上取,所以不同的取法种数为A66A22A22A22=90.
能力强化练
多选题每小题6分，填空题每小题5分，共21分.
12．（2025·四川成都模拟）多选 用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（ ）
A. 一共可以组成96个数
B. 一共可以组成120个数
C. 一共可以组成60个偶数
D. 一共可以组成72个大于2 000的数
【答案】ACD
【解析】对于A，B，四位数的首位不能为0，有A41种选法，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，故可以组成A41A43=96个无重复数字的四位数，A正确，B错误；
对于C，若个位数为0，则有A43=24个符合要求的数，若个位数不为0，则有C21C31A32=36个符合要求的数，所以可以组成24+36=60个无重复数字的四位偶数，C正确；
对于D，四位数的首位有C31种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，可以组成C31A43=72个无重复数字且大于2 000的四位数，D正确.故选ACD.
13．（2025·湖南郴州三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1、区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，且相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有_ _ _ _ 种不同的涂色方案.
【答案】96
【解析】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有A43=24种涂法；
若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，有C31种情况，
先从四种颜色中取两种涂同色区，有A42种涂法，剩余两种涂在剩余两个区域，有A22种涂法，共有C31A42A22=72种涂法.
故总的涂色方案有24+72=96种.
14．某校银杏大道上有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是_ _ _ _ .
【答案】364
【解析】将路灯分为2盏（为保证关闭的路灯之间至少有两盏亮的路灯）、15盏、3盏（需关闭的路灯）三组，
首先将15盏这一组的路灯排成一排，形成16个空，再把3盏需关掉的路灯插入除头尾之外的14个空中，共有C143=364种方法，最后在每两盏关掉的路灯之间再各放入一盏路灯，保证关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，只有1种方法.综上，共有364×1=364种方案.
15．方程w+x+y+z=10的正整数解的组数为_ _ _ _ （用数字作答），自然数解的组数为_ _ _ _ （用数字作答）.
【答案】84； 286
【解析】由题意，得方程w+x+y+z=10的正整数解的组数为C93=84.
若w,x,y,z中没有0，则有C93=84组解，
若w,x,y,z中有1个为0，则有C41C92=144组解，
若w,x,y,z中有2个为0，则有C42C91=54组解，
若w,x,y,z中有3个为0，则有C43=4组解.
所以该方程的自然数解的组数为84+144+54+4=286.
思维创新练
16．（2025·湖北三模）（5分）如图,一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置,每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度,记an为第n(n=1,2,⋯,14)次跳跃后对应数轴上的数字,则满足a82=16,a14=2的跳跃方法有_ _ _ _ 种.
【答案】448
【解析】因为a82=16,所以a8=−4或a8=4.
当a8=−4,a14=2时,前8次向左跳跃6次,向右跳跃2次,后6次向右跳跃6次,
所以有C86C60=28（种）跳跃方法;
当a8=4,a14=2时,前8次向右跳跃6次,向左跳跃2次,后6次向左跳跃4次,向右跳跃2次,所以有C82C64=28×15=420（种）跳跃方法.
综上所述,满足a82=16,a14=2的跳跃方法有28+420=448（种）.