2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 082-课时作业74 二项式定理（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 082-课时作业74 二项式定理（教用），共17页。试卷主要包含了5的展开式中，x3的系数为等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题3分，多选题每小题5分，填空题每小题3分，共35分.
1．(x−2)10的展开式中第6项的二项式系数是（ ）
A. C106B. C106⋅(−2)6C. C105D. C105⋅(−2)5
【答案】C
【解析】(x−2)10的展开式中第6项的二项式系数是C105，故选C.
2．已知(2x+1x)n的展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为（ ）
A. 212B. 312C. 310D. 210
【答案】C
【解析】因为(2x+1x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等,所以Cn2=Cn8,
解得n=10,取x=1,得所有项的系数之和为310.
3．若(x2+ax)6的展开式中，第4项的系数为160，则a=（ ）
A. 3B. 2C. 6D. 4
【答案】B
【解析】(x2+ax)6的展开式的通项为Tr+1=C6r⋅(x2)6−r(ax)r=arC6rx12−3r，则T4=a3C63x3,即a3C63=160，解得a=2.故选B.
4．已知(x+2x)n的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A. 24B. 18C. 12D. 6
【答案】A
【解析】因为(x+2x)n的展开式中只有第3项的二项式系数最大，所以n=4，
(x+2x)4的展开式的通项为Tr+1=C4rx4−r⋅(2x)r=C4r2rx4−2r(r=0,1,2,3,4)，
令4−2r=0，解得r=2，所以展开式中的常数项为C42×22=24.故选A.
5．已知(x+x2)4=a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,则（ ）
A. a4=a5B. a5=a6C. a6=a7D. a5=a7
【答案】D
【解析】解法一：由于(x+x2)4的展开式中各项系数恰好为相应的二项式系数,
所以a4=C40,a5=C41,a6=C42,a7=C43,a8=C44,所以a5=a7，a4=a8,故选D.
解法二：在等式(x+x2)4=a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8两边同除以x4,
得(1+x)4=a4+a5x+a6x2+a7x3+a8x4,
由二项式系数的性质得a5=a7，a4=a8,故选D.
6．（2025·湖北武汉调研）(2x−3)(x−1)5的展开式中，x3的系数为（ ）
A. −50B. 50C. −10D. 10
【答案】A
【解析】(2x−3)(x−1)5=2x(x−1)5−3(x−1)5,(x−1)5的展开式的通项为Tr+1=(−1)rC5rx5−r,
由5−r=2得r=3,由5−r=3得r=2,所以(2x−3)(x−1)5的展开式中，x3的系数为2×(−1)3C53−3×(−1)2C52=−50.
7．在(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,x2的系数是（ ）
A. 16B. 19C. 21D. 24
【答案】B
【解析】(1+x)3的展开式的通项是C3rxr,令r=2，可得C32x2=3x2;
(1+x)4的展开式的通项是C4rxr,令r=2，可得C42x2=6x2;
(1+x)5的展开式的通项是C5rxr,令r=2，可得C52x2=10x2.
所以(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,x2的系数为3+6+10=19.
8．多选 已知(1−2x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则（ ）
A. a0=1B. a1=18
C. a1+a2+⋯+a9=−1D. a1+a3+a5+a7+a9=−1+392
【答案】AD
【解析】对于A，令x=0，可得(1−2×0)9=a0=1，A正确；
对于B，由题知，a1代表展开式中的一次项的系数，又(1−2x)9的展开式中的一次项为C91⋅18(−2x)1=−18x，所以a1=−18，B错误；
对于C，令x=1，可得(1−2)9=a0+a1+a2+a3+⋯+a9=−1①，所以a1+a2+⋯+a9=−1−a0=−2，C错误；
对于D，令x=−1，可得(1+2)9=a0−a1+a2−a3+⋯−a9=39②，由①−②可得2(a1+a3+a5+a7+a9)=−(1+39)，得a1+a3+a5+a7+a9=−1+392，D正确.故选AD.
9．已知(1+3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79,则展开式中系数最大的项为（ ）
A. 第7项B. 第8项C. 第9项D. 第10项
【答案】D
【解析】(1+3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为Cn0+Cn1+Cn2=1+n+n(n−1)2=79,整理可得n2+n−156=0,
∵n≥2且n∈N∗,∴n=12,
(1+3x)12的展开式的通项为Tk+1=C12k⋅(3x)k=C12k⋅3kxk(k=0,1,2,⋯,12),
设展开式中第r+1项的系数最大,则C12r⋅3r≥C12r+1⋅3r+1,C12r⋅3r≥C12r−1⋅3r−1,
即12!r!(12−r)!⋅3r≥12!(r+1)!(11−r)!⋅3r+1,12!r!(12−r)!⋅3r≥12!(r−1)!(13−r)!⋅3r−1,
解得354≤r≤394,
因为r∈N,所以r=9,所以展开式中系数最大的项为第10项.故选D.
10．若(1−2x)n的展开式中x3的系数为−80，则展开式中所有项的二项式系数之和为_ _ _ _ .（以数字作答）
【答案】32
【解析】(1−2x)n的展开式的通项为Tr+1=Cnr⋅(−2)r⋅xr，当r=3时，−Cn3⋅23=−80，解得n=5.故所有项的二项式系数之和为25=32.
11．（2026·浙江浦江中学等三校联考）(x2+2x+y)6的展开式中，x5y2的系数为_ _ _ _ .
【答案】120
【解析】(x2+2x+y)6由6个(x2+2x+y)相乘得到，要得到含x5y2的项，需要从3个(x2+2x+y)中取x2，1个(x2+2x+y)中取2x，2个(x2+2x+y)中取y，即含x5y2的项为C63(x2)3⋅C31⋅2x⋅C22y2=120x5y2.故x5y2的系数为120.
能力强化练
单选题每小题4分，多选题每小题6分，填空题每小题5分，共19分.
12．若(2x−x)4的展开式中的常数项与(x−1x2+a)3的展开式中的常数项相等，则a=（ ）
A. −3B. −2C. 2D. 3
【答案】D
【解析】(2x−x)4的展开式中的常数项为C42(2x)2(−x)2=24，
(x−1x2+a)3的展开式中的常数项为C33a3+C31x2(−1x2)=a3−3,
所以a3−3=24,解得a=3,故选D.
13．（2025·湖南名校联考）已知今天是星期三,则67−1天后是（ ）
A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期五
【答案】A
【解析】67−1=(7−1)7−1=C70×77+C71×76×(−1)1+C72×75×(−1)2+⋯+C76×71×(−1)6+C77×70×(−1)7−1=C70×77+C71×76×(−1)1+C72×75×(−1)2+⋯+C76×71×(−1)6−2,所以67−1除以7的余数为5,所以67−1天后是星期一.
14．（2025·山东青岛质检）多选 已知(41x+3x2)n的展开式中的第三项的系数为45,则（ ）
A. n=9
B. 展开式中所有项的系数和为1 024
C. 二项式系数最大的项为中间项
D. 含x3的项是第7项
【答案】BCD
【解析】(41x+3x2)n的展开式的第三项为T3=Cn2(41x)n−2(3x2)2=Cn2x2−n4⋅x43=Cn2x22−3n12,
因为第三项的系数为Cn2=45,所以n=10,故A错误;
在(41x+3x2)10中,令x=1,得展开式中所有项的系数和为210=1024,故B正确;
因为n=10,所以展开式中共有11项,则二项式系数最大的项为中间项,故C正确;
(41x+3x2)10的展开式的通项为Tk+1=C10k(41x)10−k(3x2)k=C10kxk−104x2k3=C10kx11k−3012,
令11k−3012=3,解得k=6,所以含x3的项是第7项,故D正确.故选BCD.
15．（2025·浙江嘉兴调研）若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a10x10,则a2+a6+a8=_ _ _ _ ;a1+2a2+3a3+⋯+10a10=_ _ _ _ .
【答案】300； 5 120
【解析】因为(1+x)10的展开式的通项为Tk+1=C10kxk,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数,故a2+a6+a8=C102+C106+C108=300.
原式两边对x求导,得10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+⋯+10a10x9，
令x=1,得a1+2a2+3a3+⋯+10a10=10×29=5120.
思维创新练
16．（6分）多选 “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中的两个3之和，则下列命题中正确的是（ ）
A. 在第10行中第5个数最大
B. C22+C32+C42+⋯+C82=84
C. 第8行中第4个数与第5个数之比为4:5
D. 在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为2n−1
【答案】BC
【解析】对于A，第10行对应的是(a+b)10的展开式的系数，所以第10行中第102+1=6个数最大，故A错误；
对于B，C22+C32+C42+⋯+C82=C33+C32+C42+⋯+C82=C43+C42+⋯+C82=⋯=C83+C82=C93=84，故B正确；
对于C，第8行对应的是(a+b)8的展开式的系数，又(a+b)8的展开式的通项为Tr+1=C8ra8−rbr，所以第4个数为C83=56，第5个数为C84=70，所以第4个数与第5个数之比为56:70=4:5，故C正确；
对于D,第n行对应的是(a+b)n的展开式的系数，故第n行的所有数字之和为2n，故D错误.故选BC.第0行
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
…
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…