2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 084-课时作业76 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 084-课时作业76 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（教用），共25页。试卷主要包含了若P=13，P=23，则P=等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题2分，多选题每小题4分，填空题每小题3分，解答题每题10分，共34分.
1．在一次试验中,随机事件A,B满足P(A)=P(B)=23,则（ ）
A. 事件A,B一定互斥B. 事件A,B一定不互斥
C. 事件A,B一定相互独立D. 事件A,B一定不相互独立
【答案】B
【解析】若事件A,B互斥,则P(A)+P(B)≤1,但P(A)=P(B)=23,不满足此条件,故事件A,B一定不互斥.
因为由已知不能推出P(AB)=P(A)P(B)或P(AB)≠P(A)P(B),所以不能确定事件A,B是否相互独立，故选B.
2．若某古典概型的样本空间Ω={1，2，3，4}，事件A={1，2}，甲：事件B=Ω ，乙：事件A，B相互独立，则甲是乙的 （ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若B=Ω ，则A∩B={1，2}，P(A∩B)=24=12，而P(A)=24=12，P(B)=1，所以P(A)P(B)=P(A∩B)，所以事件A，B相互独立，充分性成立；
当B={1，3}时，A∩B={1}，此时P(A∩B)=14，P(A)=P(B)=12，满足P(A)P(B)=P(A∩B)，所以事件A，B相互独立，此时B≠Ω ,必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件.故选A.
3．某公司在研发6G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为（ ）
A. 0.56B. 0.86C. 0.94D. 0.96
【答案】C
【解析】该公司攻克这项技术难题的概率为1−(1−0.8)×(1−0.7)=0.94.故选C.
4．若P(A)=13，P(B|A)=23，则P(AB)=（ ）
A. 19B. 29C. 49D. 79
【答案】C
【解析】∵P(A)=13,∴P(A)=1−13=23，
又P(B|A)=P(AB)P(A)，∴P(AB)=P(B|A)⋅P(A)=23×23=49，故选C.
5．（2025·湖南长沙模拟）已知甲盒中有3个红球和2个黄球,乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中,搅拌均匀后,再从乙盒中抽取1个球,此球恰为红球的概率是（ ）
A. 38B. 920C. 58D. 1320
【答案】D
【解析】设A=“在甲盒中拿到红球”,B=“在乙盒中拿到红球”.
因为甲盒中有3个红球,2个黄球,
所以P(A)=35,P(A)=1−35=25,
又乙盒中有2个红球,1个黄球,
所以P(B|A)=34,P(B|A)=12,
所以P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=35×34+25×12=1320,故选D.
6．（2025·河南郑州质检）在某次测试中,甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别为0.5,0.6和0,7,且三人的测试结果相互独立.测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下,乙达到优秀等级的概率为（ ）
A. 58B. 78C. 929D. 2029
【答案】C
【解析】设事件A=“甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级”,事件B=“乙达到优秀等级”,则P(A)=0.5×(1−0.6)×(1−0.7)+(1−0.5)×0.6×(1−0.7)+(1−0.5)×(1−0.6)×0.7=0.29,P(AB)=(1−0.5)×0.6×(1−0.7)=0.09,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=
7．（2025·湖北武汉模拟）多选 甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中有红球、白球各10个，两袋中的球除颜色外完全相同.现从两袋中各任取1个球，下列结论正确的是（ ）
A. 2个球都是红球的概率为13
B. 2个球中恰有1个红球的概率为12
C. 2个球不都是红球的概率为23
D. 2个球都不是红球的概率为23
【答案】ABC
【解析】设A1=“从甲袋中任取1个球为红球”，A2=“从乙袋中任取1个球为红球”，则P(A1)=23，P(A2)=12.
对于A，即求事件A1A2的概率，P(A1A2)=P(A1)P(A2)=13，所以A正确；
对于B，即求事件A1A2+A1A2的概率，P(A1A2+A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)⋅P(A2)=23×(1−12)+(1−23)×12=12，所以B正确；
对于C，由于“2个球都是红球”与“2个球不都是红球”互为对立事件，所以所求概率为1−P(A1A2)=1−13=23，所以C正确；
对于D，即求事件A1A2的概率，P(A1A2)=(1−23)×(1−12)=16，所以D错误.故选ABC.
8．某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队，选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，则在比赛获胜的条件下，该单位选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A. 29B. 25C. 815D. 715
【答案】D
【解析】记选“初心”队参赛为事件A，选“使命”队参赛为事件B，该单位获胜为事件M，则P(A)=P(B)=0.5，P(M|A)=0.8，P(M|B)=0.7，因此P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)=0.5×0.8+0.5×0.7=0.75，所以由贝叶斯公式得，在比赛获胜的条件下，该单位选“使命”队参加比赛的概率为P(B|M)=P(B)P(M|B)P(M)=0.5×故选D.
9．一个盒子中有4个白球,m个红球,从中不放回地每次任取1个球,连取2次,若在第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为59,则m=_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】解法一（定义法）:设A=“第一次取到红球”,B=“第二次取到红球”,则P(B)=4m+4⋅mm+3+mm+4⋅m−1m+3=mm+4,P(AB)=mm+4⋅m−1m+3=m2−m(m+4)(m+3),所以P(A|B)=P(AB)P(B)=m−1m+3=59,解得m=6.
解法二（缩小样本空间法）：由题意得，m−1m+3=59，解得m=6.
10．（2025·福建福州质检）高三某位同学准备参加物理、化学、思想政治科目的等级考试.已知这位同学在物理、化学、思想政治科目的考试中得到A+的概率分别为23,34,45,假定这三门科目的考试成绩互不影响,那么这位同学恰好得到2个A+的概率是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1330
【解析】设这位同学在物理、化学、思想政治科目的考试中得到A+的事件分别为A,B,C，
则P(A)=23,P(B)=34,P(C)=45,因为这三门科目的考试成绩互不影响,所以这位同学恰好得到2个A+的概率P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=23×34×15+23×14×45+13×34×45=1330.
11．甲、乙、丙3名同学各自独立做某道题，已知甲解出该题的概率为23，乙解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都解出该题的概率为12.
（1） 求乙、丙各自解出该题的概率；
（2） 求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
【解析】
（1） 设A=“甲解出该题”，B=“乙解出该题”，C=“丙解出该题”，则A，B，C相互独立，
由题意得P(A)=23，P(AC)=P(A)P(C)=23⋅P(C)=12，所以P(C)=34，
P(BC)=P(B)P(C)=P(B)[1−P(C)]=P(B)⋅(1−34)=18，所以P(B)=12，
所以乙解出该题的概率为12，丙解出该题的概率为34.
（2） 设D=“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”，则D=ABC，
因为P(A)=23，P(B)=12，P(C)=34，所以P(A)=13，P(B)=12，P(C)=14，
因为A，B，C相互独立，所以P(D)=1−P(D)=1−P(ABC)=1−P(A)P(B)⋅P(C)=1−13×12×14=2324，
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为2324.
能力强化练
单选题每小题4分，解答题每题12分，共20分.
12．（2025·江西萍乡三模）从10双不同品牌的筷子中任取两根，若其中一根为A品牌的筷子，则另一根筷子也属于A品牌的概率为（ ）
A. 137B. 128C. 119D. 110
【答案】A
【解析】设事件M=“从所有筷子中任取两根均为A品牌的筷子”，则P(M)=1C202=1190.设事件N=“任取的两根筷子中有A品牌的筷子”，则P(N)=C21C181+1C202=37190.
所求概率为P(M|N)=P(MN)P(N)=P(M)P(N)=137.
13．（2025·江苏宿迁模拟）人工智能领域让贝叶斯公式P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术制作了一些AI视频，AI视频在网站中的占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了AI鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是AI伪造的情况下，它有98%的可能被鉴定为AI；此项技术的误报率是0.04，即在该视频真实的情况下，有4%的可能被鉴定为AI.已知某个视频被鉴定为AI合成视频，则该视频是AI合成的可能性约为（ ）
A. 0.1%B. 0.4%C. 2.4%D. 4%
【答案】C
【解析】设A=“视频是AI合成的”，B=“鉴定结果为AI合成视频”，则P(A)=0.001，P(A)=0.999，P(B|A)=0.98，P(B|A)=0.04，
由贝叶斯公式得P(A|B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=
0.001××0.98+0.999×0.04≈0.024.
故选C.
14．（2026·河南顶级名校模拟）为了研究生活习惯M与疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示.
单位：人
（1） 根据小概率值α=0.050的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关;
（2） 常用L(B|A)=P(B|A)P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比，现从340人中任选一人，A=“选到的人有生活习惯M”，B=“选到的人患有疾病N”，请利用样本数据，估计L(B|A)的值.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，其中n=a+b+c+d.
【解析】
（1） 零假设为H0：患有疾病N与有生活习惯M无关，
依据题中列联表中的数据，得χ2=340×(120×45−160×15)2280×60×135×205≈6.581>3.841，
故根据小概率值α=0.050的独立性检验，推断H0不成立，即认为患有疾病N与有生活习惯M有关.
（2） L(B|A)=P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)=P(AB)P(AB)=n(AB)n(AB)=45160=932.
思维创新练
15．（2026·广东联考）（6分）多选 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n(n≥2)次，记没有连续2次出现正面的概率为Pn，则（ ）
A. P3=58B. P4=58
C. Pn=12Pn−1+14Pn−2(n≥4)D. Pn0(n≥4)，所以Pn−1−12Pn−2>0(n≥5)，Pn−Pn−1=−12Pn−1+14Pn−2=−12(Pn−1−12Pn−2)P4，所以Pn