2026高考数学一轮复习-10.6事件的相互独立性、条件概率与全概率公式【课件】

第6节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式[课程标准要求] 1.了解两个事件独立性的含义,能利用事件的独立性解决一些实际问题.2.了解条件概率的含义以及条件概率与独立性的关系.3.能利用条件概率和全概率公式解决一些实际问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.事件的相互独立性(1)相互独立的定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.P(A)P(B)相互独立②若事件A与事件B相互独立,则P(AB)= .P(A)P(B)相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B).2.条件概率(1)条件概率的概念AB(2)条件概率的公式(3)条件概率的性质设P(A)>0,则①0≤P(B|A)≤1,P(Ω|A)=1;②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+ ;P(C|A)P(B|A)④概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= .P(A)P(B|A)3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)= .我们称其为全概率公式.全概率公式是按照某种标准,将一个复杂事件表示为几个互斥事件的并事件,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.1.如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).2.当A,B相互独立时,P(B|A)=P(B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　 　)(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.(　 　)(3)抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第2枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立.(　 　)(4)若事件A1与A2是对立事件,且P(A1)>0,P(A2)>0,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2).(　 　)××√√√解析:设“甲独立地破解出谜题”为事件A,“乙独立地破解出谜题”为事件B,3.(2024·黑龙江大庆模拟)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为(　 　)A.0.72B.0.8C.0.9D.0.5解析:设“随机抽取一粒种子,这粒种子发芽”为事件A,则P(A)=0.9,“幼苗成活”为事件B,则P(B|A)=0.8,所以这粒种子能成长为幼苗的概率P=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.8=0.72.故选A.√4.(选择性必修第三册P50 例5改编)某工厂生产了甲、乙两批次零件,甲批次零件的合格率为80%,乙批次零件的合格率为85%,现将两批零件放到一起,已知甲批次零件占总数的40%,乙批次零件占总数的60%,现从中任取一个零件,则取到合格品的概率为(　 　)A.0.765 B.0.86 C.0.82 D.0.83√解析:将两批次零件放到一起,从中任取一个零件,取到合格品的概率为80%×40%+85%×60%=0.83.故选D.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一　事件的相互独立性角度一　事件相互独立性的判断[例1] (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　)A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立√判断两个事件是不是相互独立的方法(1)直接法:直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概率.(2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.角度二　相互独立事件的概率解:(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即3人都回答正确,(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分,且乙队总得分为1分的概率.解:(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即甲队3人中有2人回答正确,1人回答错误,求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面求解较麻烦(如“至多”“至少”问题)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.[针对训练] (1)(角度一)(多选题)(2024·河北承德模拟)如图,一个均匀的正八面体,八个面分别标有数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}.事件A表示“数字为偶数”,事件B表示“数字大于4”,事件C表示“数字为3,4,5,6中的一个”,则以下结论正确的是(　　)A.事件A与事件B独立B.事件A与事件C不独立C.事件B与事件C独立D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)√√√(1)解析:由题意得,显然,P(AB)=P(A)P(B),事件A与事件B独立,故A选项正确;P(AC)=P(A)P(C),事件A与事件C独立,故B选项错误;P(BC)=P(B)P(C),事件B与事件C独立,故C选项正确;P(ABC)=P(A)P(B)P(C),故D选项正确.故选ACD.(2)(角度二)某校举行了诗词知识竞赛,在必答题环节,甲、乙两名选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答,若甲每道题答对的概率为 ,乙每道题答对的概率为 ,且甲、乙答对与否互不影响,各题的结果也互不影响.求:①甲至少抽到1道填空题的概率;②甲答对的题数比乙多的概率.解:②设事件A1,A2分别表示甲答对1道题,2道题,事件B0,B1分别表示乙答对0道题,1道题,记事件C=“甲答对的题数比乙多”,则C=A1B0∪A2B0∪A2B1,且A1B0,A2B0,A2B1两两互斥,A1与B0,A2与B0,A2与B1分别相互独立,所以P(C)=P(A1B0)+P(A2B0)+P(A2B1)=P(A1)P(B0)+P(A2)P(B0)+P(A2)P(B1)考点二　条件概率及其应用[例3] (1)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A=“取到的两个数之和为偶数”,事件B=“取到的两个数均为偶数”,则P(B|A)等于(　　)√(2)(2024·广东深圳模拟)某医疗仪器上有A,B两个易耗元件,每次使用后,需要更换A元件的概率为0.3,需要更换B元件的概率为0.5,则在第一次使用后就要更换元件的条件下A,B两个元件都要更换的概率是(　　)A.0.15B.0.65√解析:(2)记事件E=“第一次使用后就要更换元件”,事件F=“A,B两个元件都要更换”,则P(E)=1-(1-0.3)×(1-0.5)=0.65,P(EF)=0.3×0.5=0.15.由条件概率公式可得P(F|E)= 故选C.(1)求条件概率的常用方法①利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=②借助古典概型概率公式,先求事件A包含的样本点数n(A),再在事件A发生的条件下,求事件B包含的样本点数,即n(AB),得P(B|A)=(2)条件概率公式的变形P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B).[针对训练](1)(2024·安徽合肥模拟)某学校高三(1)班至(4)班举办研学游活动,有4个地方可供选择,且每班只能去1个地方.设事件M=“4个班去的地方各不相同”,N=“(1)班独自去1个地方”,则P(M|N)等于(　　)√解析:(1)(1)班独自去1个地方,则有4个地方可选,其余3个班只能在剩下的3个地方中选择,可能有33=27(种)情况,(2)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4解析:(2)同时爱好两项的概率为0.5+0.6-0.7=0.4,记“该同学爱好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,所以P(B|A)= 故选A.√考点三　全概率公式及其应用[例4] (1)某考生回答一道四选一的单项选择题,假设他知道正确答案的概率为0.6,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时,猜对的概率为0.2,那么他答对题目的概率为(　　)A.0.8B.0.68C.0.6D.0.2√解析:(1)根据题意,设“该考生知道正确答案”为事件A,则P(A)=0.6,P( )=0.4,那么他答对题目的概率P=P(A)×1+P( )×0.2=0.6+0.4×0.2=0.68.故选B.(2)(2024·湖南郴州模拟)已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋,红色口袋内装有两个红球、一个绿球和一个黄球;绿色口袋内装有两个红球、一个黄球;黄色口袋内装有三个红球、两个绿球(球的大小质地相同).若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球,然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内,第二次从该口袋内任取一个球,则第二次取到黄球的概率为(　　)√解析:(2)记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为A1,A2,A3,利用全概率公式求解的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Bi(i=1,2,…,n).(2)求P(Bi)和所求事件A在各个互斥事件Bi发生条件下的概率P(A|Bi).(3)代入全概率公式计算.[针对训练](1)(2024·河北衡水模拟)设甲乘汽车、高铁前往某目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和高铁正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为(　　)A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84√(1)解析:设事件A表示“甲正点到达目的地”,事件B表示“甲乘汽车前往目的地”,事件C表示“甲乘高铁前往目的地”,由题意知P(B)=0.4,P(C)=0.6,P(A|B)=0.7,P(A|C)=0.9.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)·P(A|C)=0.4×0.7+0.6×0.9=0.28+0.54=0.82.故选C.(2)(2024·广东梅州模拟)为了解高中学生的体质健康水平,某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评,并根据《国家学生体质健康标准》评定等级.经过统计,甲校有30%的学生的等级为良好,乙校有60%的学生的等级为良好,丙校有50%的学生的等级为良好,且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5∶8∶7.从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,求该学生的等级为良好的概率.(2)解:从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,记“该学生来自甲校”为事件A1,“该学生来自乙校”为事件A2,“该学生来自丙校”为事件A3,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,记“该学生的等级为良好”为事件B,则P(B|A1)=0.3,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.5,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.3+0.4×0.6+0.35×0.5=0.49.即从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,该学生的等级为良好的概率为0.49.点击进入 课时作业