2025_2026学年河北省保定市新秀学校下学期3月月考八年级数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年河北省保定市新秀学校下学期3月月考八年级数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．不等式在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点D．三边的中垂线的交点
3．已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．若，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）
A．B．C．D．或
6．如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
7．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）
A．■、●、▲
B．▲、■、●
C．■、▲、●
D．●、▲、■
8．如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．下列命题中，其逆命题成立的个数是（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果，那么
A．1B．2C．3D．4
10．如图，中，，，，当时，则的长为（ ）
A．B．4C．D．5
11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25°，则该三角形的一个底角为（ ）
A．32.5°B．57.5°C．65°或 57.5°D．32.5°或 57.5°
12．关于的不等式的解集是，则的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
13．如图，在中，，BE平分，，交AB于点F，交BE于点D，若，．则的面积为（ ）．
A．B．C．D．
14．如图，已知：在中，，点为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是点、、，且，，则点到三边、和的距离分别是（）
A．2，2，2B．3，3，3C．4，4，4D．2，3，5
15．已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论：
①，②，
③，④，⑤．正确的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
16．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（ ）
A．4 cmB．6 cmC．8 cmD．12 cm
二、填空题
17．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设______________．
18．“x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为______．
19．如图，在中，，则的面积为____________．
20．如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为______．
三、解答题
21．计算题，解下列不等式并把解集表示在数轴上．
（1）；
（2）；
（3）．
22．如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
23．如图，在中，平分，E是的中点，过点E作的垂线交于点F，连接．若，，求的度数．
24．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车最少要购买3辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，
（1）若公司投入购车资金49万元，则购买轿车和面包车各多少辆？
（2）若公司可投入的购车资金不超过55万元．请用有关一元一次不等式的知识找出符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由．
25．如图，，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）若的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部，直接写出的取值范围．
26．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿射线，的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）求的值；
（2）当为等腰三角形时，直接写出t的值；
（3）当为直角三角形时，求t的值．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键．在数轴上表示不等式的解集时，要用实心圆点表示，，要用空心圆点表示，，向右画，，向左画，据此解答即可．
【详解】解：不等式在数轴上表示为：
，
故选C．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
【详解】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．
故选B．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方数的非负性可得，，进而可得，由此可知是等边三角形．
【详解】解：，
，，
，，
，
的形状为等边三角形．
故选B．
4．【正确答案】C
【分析】根据不等式的基本性质依次分析各项即可得到结果．
【详解】∵m>n
∴m+2>n+2，故A选项正确；
m-3>n-3，故B选项正确；
-3m＜-3n，故C选项错误；
>，故D选项正确；
故选C.
5．【正确答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分类讨论：当底边为时，则腰长为，当底边为时，则腰长为，根据三角形三边关系及三角形的周长公式即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：当底边为时，则腰长为，
，且，
、、能构成三角形，
周长为：，
当底边为时，则腰长为，
，
、、不能构成三角形，
综上所述，周长为，
故选C．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握“”．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
要根据“”证明，还要添加一个条件是．
故选A
7．【正确答案】C
【分析】设▲、●、■的质量为a、b、c，根据图形，可得a+c＞2a，a+b=3b，由此可将质量从大到小排列．
【详解】解：设▲、●、■的质量为a、b、c，
由图形可得：，
由①得：c＞a，
由②得：a=2b，
故可得c＞a＞b．
故选C．
8．【正确答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题．
【详解】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选D．
9．【正确答案】A
【分析】本题考查的是命题的真假判断，逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别写出各个它们的逆命题，根据平行线的性质、实数的运算、不等式的性质判断即可．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，逆命题成立；
②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是：如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立，例如：，，这两个角不是直角；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，逆命题不成立，例如：，但；
④如果，那么的逆命题是：如果，那么，逆命题不成立，例如：当时，，但无法判定，
综上所述，逆命题成立的个数是1，
故选A．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用，得出，，，即可得，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
故选A．
11．【正确答案】D
【分析】题中没有指明这个等腰三角形的形状，故应该分情况进行分析，从而不难求解．
【详解】①如图,∵∠ABD=25,∠BDA=90，
∴∠A=65，
∵AB=AC，
∴∠C=(180−65)÷2=57.5
②如图，
∵∠ABD=25,∠BDA=90，
∴∠BAD=65，
∵AB=AC，
∴∠C=65÷2=32.5.
故答案选D.
12．【正确答案】B
【分析】解不等式求出，结合，从而得出，解之可得．
【详解】解：，
，
由题知，
则，
解得：，
故选B．
13．【正确答案】A
【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
∵BE平分，，
∴
故选A
14．【正确答案】A
【分析】根据勾股定理求出AC的长，由角平分线的性质易得OE=OF=OD，设OE=OF=OD=x，然后利用面积法解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴AC=，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE=OF=OD，
设OE=OF=OD=x，
∵AB×OF+BC×OD+AC×OE=AC×BC，
∴10x+8x+6x=48，
解得
x=2，
∴OE=OF=OD=2，
故选A．
15．【正确答案】A
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；由等边三角形的性质可得，，根据平角的定义得出，即可判断⑤，进而证明，即可判断①，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断④；进而证明，，即可判断②和③．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，故⑤正确，
在
∴故①正确；
∴，即
∵,，
∴故④正确
在中，
∴故②正确；
∴，
在中，
∴故③正确；
综上所述，正确的有①②③④⑤，共5个，
故选A．
16．【正确答案】C
【详解】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC于F，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6，DE=2，
∴DM=4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8，
故选C．
17．【正确答案】三角形三个内角都大于60 °．
【分析】写出与结论相反的假设即可．
【详解】解：用反证法证明：“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都大于60 °．
18．【正确答案】
【分析】关系式为：x的3倍，把相关数值代入即可．
【详解】解：“x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为，
故答案为．
19．【正确答案】
【分析】本题考查含直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．过点作延长线于点，利用外角性质得出，再利用含直角三角形的性质，得出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作延长线于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
20．【正确答案】5
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
是等边三角形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为5．
21．【正确答案】（1），在数轴上表示见详解
（2），在数轴上表示见详解
（3），在数轴上表示见详解
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
在数轴上表示为：
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
在数轴上表示为：
（3）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
在数轴上表示为：
22．【正确答案】见详解
【分析】此题考查了尺规作等腰三角形，角平分线，解题的关键是掌握以上作图方法．
以点B为圆心，为半径画弧交于点F，然后作出的平分线交于点P，连接，，即为所求．
【详解】如图所示，
根据题意得，，且点P到，的距离相等
∴等腰即为所求．
23．【正确答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理和外角的性质，等边对等角，能求出是解此题的关键，设，则，根据线段垂直平分线性质求出，推出，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
设，则，
由题可知是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
24．【正确答案】（1）购买轿车3辆，购买面包车7辆
（2）符合公司要求的购买方案有种，理由见详解
【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，熟练根据题意正确列出等式或不等式是解题的关键．
（1）设购买轿车辆，则购买面包车辆，利用“轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司投入购车资金49万元”列等式，求解即可；
（2）设购买轿车辆，则购买面包车辆，分别利用“轿车最少要购买3辆”和“公司可投入的购车资金不超过55万元”列不等式，求解取整数值即可．
【详解】（1）解：设购买轿车辆，则购买面包车辆，
由题意，得，
解得：，
满足轿车最少要购买3辆，
则，
故购买轿车3辆，购买面包车7辆；
（2）解：设购买轿车辆，则购买面包车辆，
由题意得，
解得：，
则、、，
当时，；
当时，；
当时，；
故符合公司要求的购买方案有种，分别为购买轿车3辆，购买面包车7辆；购买轿车4辆，购买面包车6辆；购买轿车5辆，购买面包车5辆．
25．【正确答案】（1）见详解；（2）50°；（3）40°＜α＜90°
【分析】（1）根据ASA证明：△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）直角三角形的三边垂直平分线的交点是斜边上的中点，钝角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的外部，只有锐角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
【详解】（1）证明：∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
∵，
∴△APM≌△BPN（ASA）；
（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）解：∵的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
26．【正确答案】（1）
（2）5或8或
（3）4或
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得t值；
（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴；
（2）解：由题意知，
①当时，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴；
③当时，
则，
在中，，
∴，
解得，
综上，当为等腰三角形时，t的值为5或8或；
（3）解：由题意知：，
①当为直角时，点P和点C重合，
∴，
∴，
②当为直角时，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
综上，当为直角三角形时，t的值为4或．