2025_2026学年河北省唐山市路南区下学期八年级3月月考数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年河北省唐山市路南区下学期八年级3月月考数学检测试卷 [含解析]，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．若最简二次根式与可以合并，则a的值为（ ）
A．0B．C．D．
4．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5B．C．D．5或
5．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为6
B．大长方形的宽为5
C．大长方形的周长为11
D．大长方形的面积为90
8．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在正方形格点上，则下列结论错误的是 （ ）
A．B．
C．D．点A到直线的距离是2
9．如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，，（ ）
A．B．C．D．
10．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．7米
二、填空题
11．已知是正整数，则自然数的最大值为____________．
12．若三角形的三边长分别为，，，且，则的形状为________．
13．如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要___________米长.
14．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）则边的长为______cm；
（2）当______，为等腰三角形．
三、解答题
15．计算：
（1）；
（2）．
16．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．已知在中，，，，．
（1）此图可以用来证明你学过的______定理，请写出定理的内容：______．
（2）请利用图①，验证①中的定理．
（3）图②是将图①中较长的四条直角边均向外延长一倍得到的，若，，则图②的外围周长（实线部分）为______．
17．如图，有一张长为cm，宽为cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
18．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

（1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明．
（2）求新路比原路少多少千米．
19．（1）用“”、“”、“”填空： ， ， ．
（2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
20．如图，和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上．
（1）证明：；
（2）若，，则四边形的面积为______．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于零列不等式求解即可解答．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得．
故选B．
2．【正确答案】A
【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可．
【详解】A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；
B、，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选A．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式称为同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得到被开方数相等，列出方程求解即可．
【详解】解：二次根式与可以合并，
且，
故选．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当直角三角形的两直角边分别为3和4时；当为斜边，为直角边时；分别利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为，
当为斜边，为直角边时，则第三边长为，
综上所述，第三边的长为5或，
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，，
设，则：，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可．
本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
【详解】解：∵点，点，
∴， ，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
故选B．
7．【正确答案】C
【详解】解：小长方形的长为=3、宽为=2，
∴大长方形的长为：，大长方形的宽为：，
大长方形的周长是：，大长方形的面积为：，
故选项C错误，选项A、B、D正确；
故选C．
8．【正确答案】C
【分析】利用勾股定理即可判断A；利用勾股定理的逆定理即可判断B；利用割补法求出的面积进而求出点A到直线的距离即可判断C、D．
【详解】解：由题意得，，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴点A到直线的距离是，
∴四个选项中，只有C选项结论错误，
故选C．
9．【正确答案】C
【分析】由勾股定理得，再由圆面积公式得，，，即可得出结论．
【详解】解：在中，，
，
，，
，
故选C．
10．【正确答案】B
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：由题意可知．，，
由勾股定理得，
故离门4米远的地方，灯刚好打开．
故选B．
11．【正确答案】11
【分析】根据二次根式的意义可知12−n≥0，解得n≤12，且12−n开方后是正整数，符合条件的12−n的值有1、4、9、…，其中1最小，此时n的值最大．
【详解】解：由题意可知12−n是一个完全平方数，且不为0，最小为1，
所以n的最大值为12−1=11.
12．【正确答案】等腰直角三角形
【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性可得：，从而得出，然后根据等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴的形状为等腰直角三角形
13．【正确答案】14
【分析】根据平移的性质，地毯的长度实际是所有台阶的长加上台阶的高，因此结合题目的条件可得出答案．
【详解】根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高，
则红地毯至少要6+=6+8=14米．
故答案为14．
14．【正确答案】4；5或或
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形定义以及分类讨论．
（1）由勾股定理求解即可；
（2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理，
得，
.
（2） 分三种情况：
①当时，如图1，；
②当时，如图2，，；
③当时，如图3，，，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或．
15．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了二次根式的乘法及混合运算，解题关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）利用二次根式的乘法法则及完全平方公式进行计算即可得到答案；
（2）利用二次根式的混合运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．【正确答案】（1）勾股定理；直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
（2）见详解
（3）76
【分析】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
（1）根据弦图确定勾股定理及内容；
（2）根据及得出等式即可证明结论；
（3）先求出，进而求出结论．
【详解】（1）解：此图可以用来证明你学过的勾股定理，请写出定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）解：，，
，
；
（3）解：在中，，
，
，
图②的外围周长（实线部分）为．
17．【正确答案】（1）制作成的无盖长方体盒子的体积是；
（2）这个长方体盒子的侧面积为248．
【分析】（1）利用长方体的体积公式计算即可；
（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积就是盒子的侧面积．
【详解】（1）解：无盖长方体盒子的体积为：
（）；
答：制作成的无盖长方体盒子的体积是；
（2）解：长方体盒子的侧面积为：
=248（）；
答：这个长方体盒子的侧面积为248．
18．【正确答案】（1）是，理由见详解；
（2）新路比原路少千米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
（1）先根据勾股定理的逆定理说明即可作出判断；
（2）设千米，借助勾股定理建立方程求解，再计算与的差即可．
【详解】（1）解：是，理由：
在中，
∴是从村庄到河边的最近路．
（2）解：设千米，则千米，
由（1）及勾股定理得
解得：，
，
∴ 新路比原路少千米．
19．【正确答案】（1），，；（2）；（3）40米
【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
（2）理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵
∴
∴
∴
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：．
∴篱笆至少需要40米．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理以及分母有理化．解决本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理．
（1）根据等腰直角三角形的性质证明，再证明，再证明，最后由勾股定理证明即可；
（2）过点C作，由全等三角形的性质可得再证明，设，可得 ，再列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：，
，，
又，，
，
．
，
，
；
（2）解：如图，过点C作，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
．