2025年山东省济南市高新区中考二模数学卷（含答案）

这是一份2025年山东省济南市高新区中考二模数学卷（含答案），共17页。试卷主要包含了04， 的绝对值是， 定义新运算等内容，欢迎下载使用。
2025.04
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2025B. C. D.
【答案】A
2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 下列数学符号中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9. 如图，正方形，连接，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的值为（ ）
A B. C. D. 1
【答案】A
10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ）
A. 或B. 或C. D. 或
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11. 因式分解：_____．
【答案】
12. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为________．

【答案】
13. 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图．则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为_______．（填“”或“”）
【答案】
14. 湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为__________．
【答案】
15. 将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究的值为______．
【答案】##
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 计算：
【答案】
17. 解不等式组：并写出它的所有正整数解．
【答案】不等式组的解集为．所有正整数解有1，2
18. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：．

【答案】证明见解析
19. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时（如图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求杂技演员从点走到点，下降的高度（结果精确到）．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
在中，，，
，
则的长为5m．
【小问2详解】
解：过点作于点，
点为钢丝中点，
在中，
，
，
在中，，，
，
则下降的高度约为．
20. 如图，是的直径，C，D是上两点，过点C的切线垂直于的延长线，垂足为点E，相交于点F．

（1）求证：点C是的中点；
（2）若 ，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
证明：连接交于G，

∵与相切，
∴半径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴C是的中点；
【小问2详解】
解：设圆的半径是r，
由（1）得：C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
21. 【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史． 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人． 估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1），，；（2）；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）人
【解析】
【详解】解：（1）八年级组的人数为人，而八年级组有人，则把八年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分，
∴八年级学生成绩的中位数，
∵七年级10名学生成绩中，得分为分的人数最多，
∴七年级的众数，
由题意可得：，
∴；
（2）扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为；
（3）八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好；
（4）该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有（人）．
22. 某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）该校此次最多可购买20个B品牌篮球
【解析】
【小问1详解】
解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
【小问2详解】
设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
23. 【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．
（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______．
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______．
②完成下表：
③在直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②见解析；③见解析
（3）或
【解析】
【小问1详解】
解：∵，
∴
∴重物B所受拉力为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，即，
故答案为：；
②由（2）①得，
填表如下：
③函数图象如下所示：
【小问3详解】
解：∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，
∴在函数上满足题意的Q的坐标为，
∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L，
∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）
（2）的最小值为
（3）点N的坐标有或
【解析】
【小问1详解】
解：令得，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入，得
，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
则，
∴，
，
，，
，，
，
如图过点P作y轴的平行线交于点E，
∵，
∴，
，
，
∴
设，
则，
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为，
作点B关于对称轴的对称点，
∴，
∴当P，Q，共线时，取得最小值，
∴的最小值为；
【小问3详解】
解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，
且，
设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位，
则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位，
，
新抛物线经过点B，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，
如图，
过点作轴交于，过点作直线交轴于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
①当在射线的下方时，如图，
当轴时，
，
，
，
联立，
解得：，，
，
，
解得：，，
；
②当在射线的上方时，如图，
直线交轴于，
由①得，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
，
当时，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是此方程的根；
，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
；
综上所述：的坐标为或．
25. 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．

（1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）
②如图2，分别以直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由．
拓展探究
（2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由．
迁移应用
（3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值．
【答案】（1）①是；②四边形是“垂美四边形”，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或．
【解析】
【详解】解：（1）①∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴是垂直平分线，
∴，
∴四边形是“垂美四边形”．
故答案为：是．
②四边形是“垂美四边形”，理由如下：
设与分别相交于点M和点N，

∵以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
即，
∴四边形是“垂美四边形”；
（2）．理由如下：
如图3，设相交于点O，

已知四边形中，∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）∵，，．
∴，
过点P作于点D，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
当四边形是四边形是“垂美四边形”时，则，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，，
经检验，是原方程的解，
当时， ，此时点P在线段上，
当时， ，此时点P在线段的延长线上，
当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，的值为或．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90
…
10
20
30
40
50
…
…
8
a
2
b
…
…
10
20
30
40
50
…
…
8
4
2
…