山东省济南市莱芜区2023-2024年九年级下学期期中数学试题(含答案)

这是一份山东省济南市莱芜区2023-2024年九年级下学期期中数学试题(含答案)，文件包含2026届高三考前适应性训练一地理试题2026届高三考前适应性训练一地理试题pdf、2026届高三考前适应性训练一地理试题地理高三冲刺一答案Gpdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共6页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确。
2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔。
4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡．
选择题部分 共40分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．9的算术平方根是（ ）
A．3B．C．D．
2．如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，则的度数是（ ）
A．45°B．46°C．47°D．48°
4．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形曲线B．科赫曲线C．费马螺线曲线D．蝴蝶曲线
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知数轴上的点分别表示数，其中，并且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校九年级20名同学近2个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．7，8B．6，7C．6.5，7D．7，7
9．如图，在菱形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线恰好经过点，与边交于点，连接，以下四个结论中：①；②；③；④如果，那么．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．有趣的皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积为，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，则内部的格点个数是（ ）
A．60B．61C．62D．63
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．）
11．因式分解：______．
12．在不透明的盒子中装有4个白色棋子和若干个黑色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则黑色棋子的个数是______．
13．如图，点在正六边形的边上，以为边在其内部作正方形，则______度．
14．若一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
15．如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧和弧都经过圆心，已知的半径为5，则阴影部分的面积是______．
16．如图1，在中，，点是上一点，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为______．

图1 图2
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分6分）
计算：
18．（本题满分6分）
解不等式组：，并写出它的所有负整数解．
19．（本题满分6分）
如图，在中，点在上，且，连接，两线相交于点．
求证：．
20．（本题满分8分）
某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点在同一平面内，操控者站在坡度是，坡面长的斜坡的底部处遥控无人机，坡顶处的无人机以的速度沿仰角的方向爬升，时到达空中的点处．
（1）求此时无人机离点所在地面的高度；
（2）此时，若在距离点处的点处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶的正上方？请说明理由．
（结果精确到，参考数据：）
21．（本题满分8分）
《2024年春节联欢晚会》紧跟时代主题、紧扣社会现实、紧贴火热生活，歌舞类、语言类、戏曲类、其他类（魔术、武术、杂技、特别设计等）各个节目异彩纷呈．现对80名观众开展了“我最喜爱的晚会节目”的调查问卷（每人只填一项），根据收集的数据绘制了如下不完整的表格和统计图：
请结合上述信息完成下列问题：
（1）______，______；
（2）在扇形统计图中，“戏曲类”节目对应扇形圆心角等于______度；
（3）若某社区有2000名观众，根据抽样调查结果，估计该社区喜爱“歌舞类”节目的人数；
（4）现有喜欢“歌舞类”（记为）、“语言类”（记为）、“戏曲类”（记为）、“其他类”（记为）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用画树状图或列表格的方法求出恰好抽到喜欢“歌舞类”和“语言类”两位观众的概率．
22．（本题满分8分）
如图，为的直径，是上的两点，延长交的切线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．（本题满分10分）
某水果店老板市场调研发现，口感无敌的无核沃柑和面甜多汁的罗曼西红柿，物美价廉，走红市场，每斤罗曼西红柿比无核沃柑进价多1元，用4000元购进罗曼西红柿的数量是用1500元购进无核沃柑数量的2倍．
（1）求罗曼西红柿、无核沃柑每斤进价分别为多少元？
（2）罗曼西红柿每斤售价为6元，无核沃柑每斤售价为4元，水果店老板决定，购进无核沃柑的数量比购进罗曼西红柿的数量的2倍还多6斤，两种水果全部售出后，可使总的获利不低于1314元，则最少购进罗曼西红柿多少斤？
24．（本题满分10分）
综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求出图案中阴影部分的面积；
（3）若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标．
25．（本题满分12分）
数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
（1）2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______．
（2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：
已知线段，点在线段上，，求的最小值．
他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程；
（3）如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值．
图1 图2 图3 图4
26．（本题满分12分）
已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为．
图1 图2
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，在轴下方作轴的平行线，交二次函数图象于两点，过两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，作直线，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
2024年初中学业水平阶段性诊断测试
数学试题参考答案与评分意见
一、选择题（每小题4分，共40分）
二、填空题（每小题4分，共24分）
11． 12．8 13．30 14．且． 15． 16．
三、解答题（本大题共10小题，共86分）
17．解：原式
18．解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式组的解集是
它的负整数解是．
19．证明：四边形是平行四边形，
，
．
，即，
又
．
20．解：（1）过点作于点，过点作于点．过点作于点，则四边形是矩形，，
，
，
在中，，
，
故此时无人机离点所在地面的高度是．
（2）不是，理由如下：
在中，，
，由（1）知，，
在中，，
，
此时无人机不在此人头顶的正上方．
21．解：（1）0.3，28；
（2）36；
（3）（人）；
（4）画树状图如图所示：
共有12中等可能的结果，恰好抽到喜欢“歌舞类”和“语言类”两位观众的结果有2种，
恰好抽到喜欢“歌舞类”和“语言类”两位观众的概率是．
22．（1）证明：连接．
为的直径，，
是的切线，，
，
即，
；
（2）解：．
，，
又，
，
，
．
23．解：（1）设无核沃柑每斤进价元，则罗曼西红柿每斤进价元．
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，则，
答：罗曼西红柿每斤进价4元，无核沃柑每斤进价3元．
（2）设购进罗曼西红柿斤，则无核沃柑斤．
由题意得：，
解得，
答：至少购进罗曼西红柿327斤。
24．解：（1）把代入得，
则反比例函数的表达式为；
（2）连接菱形的对角线，交轴于点，则轴．
，
四边形是菱形，，
是等边三角形，，
，
，
轴于点，且是的中点
，，
（3）设直线的表达式为，代入点和点，得：．
①当时，设直线的表达式为，代入点得，
联立
得：（舍），
当时，，；
②当时，设直线的表达式为，代入点，
得：，联立得：（舍），
当时，，，
综上所述，点坐标为或．
25．解：（1）：
（2）延长到点，使，连接交于点，
作，交延长线于点，
，，
（当三点共线时，取“=”号）
，
四边形是矩形，
，
，
，
最小值为10，即最小值为10；
（3）过点作，并截取，
连接，过点作，交的延长线于点，
，
又，，
，
（当三点共线时，取“=”号）
，
，
，
，
的最小值为．
26．解：（1）拋物线的顶点为，
设，
将代入得：，解得：，
，即，
（2）设，则，
对称轴为直线，
矩形为正方形，，
（舍），
把代入得，
当矩形为正方形时，，
（3）．
设直线的解析式为，
将代入，得：，
直线的解析式为．
联立，解得，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为．
以四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，
，分三种情况考虑：
①当时，如图所示，，
．
，解得：（舍去），；
②当时，，
，解得：（舍去），；
③，
如图所示，
，
解得（舍去），，
综上所述，当以四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，
的值为4或6或．
人数
4
5
6
5
课外书数量（本）
5
6
7
8
节目
人数
频率
歌舞类
24
语言类
戏曲类
8
其他类
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
D
B
D
D
C
B