2025年山东省济南市历城区一模数学试卷（含答案）

这是一份2025年山东省济南市历城区一模数学试卷（含答案），文件包含眉山市2026届高三第二次模拟测试化学pdf、眉山市2026届高三第二次模拟测试化学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（ ）
A. 6B. 12C. 16D. 24
9. 如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，连接，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交射线于点E，连接．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论：
①若点坐标为，则点的等和点在直线上；
②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为；
③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点：
④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______．
12. 化简的结果为_______．
13. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°．
14. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______．
15. 如图，在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在边上时，若，则的长为_______．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16 计算：．
17. 解不等式组：，并求所有整数解的和．
18. 如图，菱形中，于点E，于点F．求证：．

19. 如图1是某路政部门正在维修路灯实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是．
（1）求下折臂的长；
（2）求路灯的高．
（结果精确到，参考数据：）
20. 如图，内接于，是直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求线段的长．
21. 计算
某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：
甲试验田穗长频数分布表（表1）
c．乙试验田穗长在这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中的值为______，n的值为______；
（2）表2中的值为______；
（3）在此次考察中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是______；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是______；
A．甲 B．乙 C．无法推断
（4）若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为多少万个?
22. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同．
（1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？
（2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离；
（3）如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标．
24. 抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点．
（1）求此抛物线表达式；
（2）如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长；
（3）如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标．
25. （一）模型呈现
（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
分组
频数
频率
4
0.08
n
14
0.28
11
0.22
m
0.20
2
合计
50
1.00
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.924
5.8
5.8
0.454
乙
5.924
w
6.5
0.608