湘教版（2024）七年级下册（2024）实数第2课时教案

这是一份湘教版（2024）七年级下册（2024）实数第2课时教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
第2课时 实数的运算
一、教学目标
1.理解掌握有理数的运算法则、运算律在实数内的推广，能在实数内进行运算，能进行实数的大小比较.
2. 通过有理数的运算法则、运算律的复习，推广到实数范围内，并学习了实数的运算和大小比较.
3. 培养学生类比推理思想，数形结合能力，从实践中总结规律及解题技巧的能力.
4.获得相关数学知识和技能，激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：理解掌握实数的运算法则、运算律进行实数运算，实数的大小比较方法.
难点：运用实数的运算法则、运算律进行运算，实数的大小比较.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
与规定有理数的大小一样，规定正实数都大于0，负实数都小于0.即：负实数＜0＜正实数.
数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边.

与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中的一个数叫作另一个数的相反数，也说它们互为相反数.
在数轴上，实数的绝对值意义也与有理数一样：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.即：设a表示一个实数，则
|a|= eq \b\lc\{(\a\al( 当 a > 0时：a
, 当 a = 0时：0
, 当 a < 0时：-a
) ),
除了上述这些，有理数的运算法则、运算律等，对于实数是否仍然成立呢？
设计意图：复习旧知，引出新知，为新课的学习做好准备.
环节二 探究新知
【抽象】
1.把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
2.在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立. 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
3.提问：实数有哪些运算律？
设计意图: 由有理数运算推广到实数运算，并引出开平方和开立方.提出问题，引出对实数运算律的探究.
【做一做】
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b= （加法交换律）；
（2）(a+b)+c = （加法结合律）；
（3）ab= （乘法交换律）；
（4）(ab)c = （乘法结合律）；
（5）a(b+c)= （乘法对加法的分配律），
(b+c)a= （乘法对加法的分配律；
（6）实数的减法运算规定为a-b=a+ ；
(7)实数的除法运算（除数b≠0），规定为a÷b= a·__；
（8）如果a ≠ 0，b ≠ 0，那么ab 0；
（9）若ab = 0，则a= 或b= .
预设答案：（1）b+a;(2)a+(b+c);(3)ba;(4)a(bc);
(5)ab+ac，ab+ac；（6）（-b）;(7)1b;(8)≠;(9)0，0.
设计意图:由有理数的运算律探究实数的运算律，培养学生的类比思想.
【议一议】
对于实数a，它有几个平方根，几个立方根呢？
平方根：①每个正实数a有且只有两个平方根，分别为±a，且它们互为相反数，其中a是a的算术平方根；②0的平方根是0；③负实数没有平方根.
平方根运算律：①(a)2=a，(-a)2=a.（平方根的平方等于被开方数)
②a2=|a|.（一个数的平方的平方根等于这个数的绝对值）
§强调：设a是非零实数，由于(-a)2=a2，因此a和-a是a2的两个平方根.
立方根：每个实数a有且只有一个立方根，记作3a.
立方根运算律：①(3a)3=a.(立方根的立方等于被开方数)
②3a3=a.(一个数的立方的立方根等于被开方数)
设计意图：通过探究，使学生学习平方根、立方根的运算律.
【说一说】
实数怎么进行比较？有哪些方法？
1.符号比较：
①正实数大于一切负实数；
②两个负实数，绝对值大的数反而小.
2.作差比较法：对于实数a，b，①如果a-b＞0，则称a大于b（或者b小于a），记作a＞b（或b＜a）；②如果a-b＜0，则称a小于b，记住a＜b（或b>a）.
口诀：大减小=正，小减大=负，两数相等差为“0”.
3.数轴比较法：
数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
（左边的数＜右边的数）

4.平方法：两个实数相比较，如果有一个或两个都含有平方根，可以利用平方比较法：
①如果两个数都是正数，那么平方大的大，平方小的小；
②如果两个数都是负数，那么平方大的反而小，平方小的反而大.
类比推广：两个实数相比较，如果有一个或两个含有立方根，也可以利用立方比较法.
设计意图：由有理数的大小比较法推广到实数的大小比较法，并归纳总结出平方比较法的方法和技巧.同时，类比推广出立方比较法.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 比较下列各组数的大小.
（1）2.5与 eq \r(7)； （2） 3与325；
解：因为2.52=6.25 解：因为33 =27
( eq \r(7))2 = 7 (325)3 =25
而6.25＜7 而27＞25，
所以2.5＜ eq \r(7) . 所以3＞325
(3）-3与-325
解：因为|-3|=3，|-325|=325，
由（2）知3＞325，
所以-3＜-325
设计意图：通过实例，学习平方（立方）比较法，让学生掌握平方（立方）比较法的技巧和方法.
【思考】
不用计算器，分别估计 eq \r(115)与3121在哪两个相邻整数之间.
分析： eq \r(115)是一个平方根，用平方比较法估算3121是一个立方根，用立方比较法估算》
解：因为102=100，112=121，( eq \r(115))2=115
所以10＜ eq \r(115)＜11,即： eq \r(115)在10、11这两个相邻整数之间.
因为43=64，53=125，(3121)3=121
所以4＜3121＜5,即：3121在3、5这两个相邻整数之间.
设计意图：通过实例，学习利用平方（立方)比较法估算平方根或立方根的值.
例2 用计算器计算：2× eq \r(5)（结果精确到0.01）.
解：按键：，显示：4.472 135 955，所以2×√5≈4.47
例3利用 eq \r(2)=1.414 213 562…和 eq \r(7)=2.645 751 311…计算 eq \r(2)+ eq \r(7)的值（结果精确到0.001）
解： eq \r(2)+ eq \r(7)≈1.4142+2.6457 =4.059 9≈4.060.
在实数的运算中，当遇到无理数并且要求出结果的近似值时，可以按照精确度用相应的近似有限小数（一般比计算结果要求的精确度多保留一位）去代替无理数进行计算，最后再四舍五入.
设计意图：通过实例，学习实数运算中求结果近似值的方法和技巧.
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.比较-2 eq \f(2,3)与- eq \r(7)的大小.
解：因为(-2 eq \f(2,3))2 = eq \f(64,9) ,(- eq \r(7))2=7，而 eq \f(64,9) ＞7. 所以-2 eq \f(2,3)＜- eq \r(7).
设计意图：通过练习，检查学生对平方（立方）比较法的掌握情况.
2.不用计算器，分别估计 eq \r(37)与336在哪两个相邻整数之间.
解：因为62=36，72=49，( eq \r(37))2=37
所以6＜ eq \r(37)＜7,即： eq \r(37)在6、7这两个相邻整数之间.
因为33=27，43=64，(336)3=36
所以 3＜336＜4,即：336在3、4这两个相邻整数之间.
设计意图：通过练习，检查学生对利用平方（立方）比较法估算平方根或立方根的方法和技巧的掌握情况.
3.利用32=1.259 921 049…和 eq \r(5)=2.236 067 977…计算32+ eq \r(5)的值（结果精确到0. 001）.
解：32+ eq \r(5)≈1.2599+2.2360=3.4959≈3.496
设计意图：通过练习，检查学生对在实数运算时，求结果近似值的方法和技巧的掌握.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.