【新教材】人教版（2024）八年级上册数学：第十五章《轴对称》教案

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【新教材】人教版（2024）八年级上册数学：第十五章《轴对称》教案§15.1　图形的轴对称§15.1.1轴对称及其性质一、学习目标1.在生活实例中认识轴对称图；2.分析轴对称图形，理解轴对称的概念与性质.3.素养目标：通过观察、操作等活动，理解轴对称概念与性质，发展空间观念和几何直观，培养抽象思维与应用意识.二、教学重点、难点重点：轴对称图形的概念与性质.难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.三、教学过程图片欣赏 自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的.不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.在我们的生活中对称现象无处不在，让我们再来开开眼界吧!舞蹈艺术、京剧脸谱、剪纸艺术、建筑物、国旗、汽车标志等.剪窗花观察观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称.观察下面的每对图形有什么共同特点？像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.思考轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够重合； 两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称； 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.成轴对称的两个图形全等.探究如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称. 线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？ AP＝A′P，∠MPA＝∠MPA′＝90°. 对于其它对应点，如点B与B′，点C与C′也有类似的情况. 因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.轴对称的性质成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 类似地，轴对称图形也有类似的性质.如右上图中，对称轴l垂直平分对称点所连线段AA′，BB′.垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.l⊥AB，垂足为O，且AO＝BO，则l是线段AB的垂直平分线.无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线.练习1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出他们的对称轴，并找出一对对称点.3.如图，线段AB与A′B′关于直线l对称，AA′交直线l于点O，连接BO，B′O.(1)图中相等的线段有：__________________________，线段AA′的垂直平分线是_________；(2)△OAB和△OA′B′关于直线l__________，△OAB______△OA′B′，∠ABO＝________，∠A′OB′＝________.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，形成认识，独立获取知识和技能. 另外，借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养.§15.1.2线段的垂直平分线(1)一、学习目标1.理解和掌握线段的垂直平分线的性质和判定；2.会运用线段的垂直平分线性质和判定解决有关问题.3.了解互逆命题和互逆定理的概念；4.素养目标：通过探究线段垂直平分线的性质，提升学生运用数学语言表达和证明的能力，培养逻辑推理能力与空间观念.二、教学重点、难点重点：线段垂直平分线的性质和判定的探究和运用.难点：线段垂直平分线性质和判定的理解和准确运用.三、教学过程观察演示，动手操作线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.求证PA＝PB.证明：当点P与点C重合时，显然成立.当点P与点C不重合时，∵ l⊥AB，∴ ∠PCA＝∠PCB＝90°在△PCA和△PCB中， ∴ △PCA≌△PCB (SAS)，∴ PA＝PB几何符号语言：∵ PC⊥AB，AC＝BC∴ PA＝PB思考把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.如图，线段AB，PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：作PC⊥AB，则∠PCA＝∠PCB＝90° 在Rt△PAC和Rt△PBC中， ∴ Rt△PAC≌Rt△PBC (HL) ∴ AC＝BC 又 PC⊥AB ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上几何符号语言：∵ PA＝PB∴ 点P在AB的垂直平分线上集合线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.1.从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2.反过来，与点A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.思考将上面的两个命题，写成“如果…，那么…”的形式，并分析它们的题设和结论有什么关系？如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等.如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.你还学习过其他具有类似关系的命题吗？两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.练习1.如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？2.如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.§15.1.2线段的垂直平分线(2)一、学习目标1.理解线段的垂直平分线的判定定理，会利用线段的垂直平分线的判定解决简单问题；2.会用尺规作已知线段的垂直平分线；3.素养目标：培养学生逻辑推理与直观想象素养，理解并运用线段垂直平分线性质与判定，解决数学与生活问题.二、教学重点、难点重点：理解线段的垂直平分线的判定定理，能运用其解决简单的问题.难点：线段的垂直平分线的判定的应用，了解作图的道理.三、教学过程回顾导入如何通过尺规作图作一个角的平分线？思考 如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？1.如果点M，N都在线段AB的垂直平分线上，那么我们能画出线段AB的垂直平分线吗？为什么？ 可以.如图，过点M，N画一条直线，这条直线就是线段AB的垂直平分线.理由：因为点M，N都在线段AB的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线MN就是线段AB的垂直平分线.2.如何用直尺和圆规找出像M，N这样的点？说说你的想法.根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线.也可以用这种方法确定线段的中点.作对称轴 成轴对称的两个图形 轴对称图形类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？例 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：如图，直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.分析：假设所求作直线l已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等(OM＝ON)的两点的线段MN的垂直平分线. 如何确定这两点M，N？ 在直线AB上且与点C的距离相等(CM＝CN)即可.练习1.作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？2.如图，与图形(1)成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴. 3.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思： 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的.§15.2画轴对称的图形§15.2.1画轴对称的图形一、学习目标1.掌握画轴对称图形的一般步骤； 2.能够画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形；3.素养目标：培养学生空间观念与几何直观，提升逻辑推理和应用能力，学会用数学语言表达轴对称图形相关知识.(二)过程与方法：经历画已知图形关于某直线的轴对称图形的过程，体会轴对称性质在作图中的运用.(三)情感态度与价值观：学生体验到成功的喜悦，树立自信心，感受数学美.二、教学重点、难点重点：会画已知图形关于某直线的轴对称图形.难点：理解轴对称性质在作图中的运用.三、教学过程思考已知一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？可以通过折叠画出与一个图形成轴对称的图形如图，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分.问题1：已知对称轴m和一点A，要画出点A关于m的对称点A′，如何画呢？1.过点A画对称轴m的垂线，垂足为B；2.延长AB至A′使得BA′＝AB，则点A′就是所求的点.问题2：如何画一条线段的对称图形？ 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段A′B′.几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.右图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半.例1 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形.画法：如右图，(1)过点A画直线 l 的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线 l 的对称点；(2)同理，分别画出点B、C关于直线 l 的对称点B′、C′；(3)连接A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′即为所求.画轴对称的图形，对称轴位置很关键：同一个图形，因为对称轴不同会得到不同的对称图形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形.方法点拨画轴对称图形的三字诀找：找特殊点；作：作各特殊点关于对称轴的对称点；连：顺次连接各对称点，形成图形.美术作品利用轴对称，可以设计出精美的图案. 在许多美术作品中，都能看到轴对称的例子.练习1.如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的图形.2.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合？课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容. 重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识. 练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展.§15.2.2用坐标表示轴对称一、学习目标1.能够作轴对称图形；2.能够经过探索利用坐标来表示轴对称；3.能够用轴对称的知识解决相应的数学问题.4.素养目标：通过实例探究，让学生理解用坐标表示轴对称的原理，培养几何直观与逻辑推理，提升抽象思维和应用能力.二、教学重点、难点重点：能够作轴对称图形，能够经过探索利用坐标来表示轴对称，能够用轴对称的知识解决相应的数学问题.难点：用轴对称知识解决相应的数学问题.三、教学过程回顾导入类似于平移，下面我们在平面直角坐标系中研究轴对称，研究关于坐标轴对称的图形的对称点坐标之间的关系.探究 在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看一看每对对称点的坐标有怎样的规律，再和同学讨论一下. 归纳在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于 y 轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.点( x ，y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)点( x ，y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___)对于一些规则的几何图形，只要先求出已知图形中的一些关键点(如三角形的顶点)关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形.例2 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于 y 轴和 x 轴对称的图形.解：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)，因此四边形ABCD的顶点A、B、C、D关于y轴对称点的坐标分别为 A'(__，__)，B'(__，__) C'(__，__)，D'(__，__)依次连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'.类似地，我们可以得到与四边形ABCD关于x轴对称的四边形A″B″C″D″.练习1.分别写出下列各点关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标.2.如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，－2)，写出点B的坐标. 3.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.§15.3等腰三角形§15.3.1等腰三角形的性质一、学习目标1.探索并证明等腰三角形的两个性质；2.应用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等；3.素养目标：培养数学抽象、逻辑推理能力，理解等腰三角形性质，建立数学模型解决实际问题.二、教学重点、难点重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.三、教学过程回顾导入有两边相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质.三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？探究在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. 性质定理性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C证明：作底边BC的中线AD，则BD＝CD. 在△ABD与△ACD中，∴ △ABD≌△ACD (SSS)∴ ∠B＝∠C这样就证明了“等边对等角”．(可用来证明角相等)由 △ABD≌△ACD (SSS)得 ∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC ∠BDA＝∠CDA＝180°÷2＝90°，即AD⊥BC这也就证明了等腰△ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC并垂直于底边BC. 证法2：作AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴ △ABD≌△ACD (SAS)∴ ∠B＝∠CBD＝CD，即AD平分BC ∠BDA＝∠CDA＝90°，即AD⊥BC这也就证明了等腰△ABC顶角的平分线AD平分底边并且垂直于底边BC.证法3：作底边BC上的高AD，则∠BDA＝∠CDA＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴ △ABD≌△ACD (HL)∴ ∠B＝∠C ∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC BD＝CD，即AD平分BC这也就证明了等腰△ABC底边上的高AD平分顶角∠BAC并且平分底边BC.性质2等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”)从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数.解：∵ AB＝AC，BD＝BC＝AD∴ ∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD (等边对等角)设∠A＝x，则∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C＝x+2x+2x＝180°解得 x＝36°所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°练习1.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°.求∠B和∠C的度数. 2.如图，△ABC是等腰直角三角形(AB＝AC，∠BAC＝90°)，AD是底边BC上的高. 标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段. 3.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.§15.3.1等腰三角形的判定一、学习目标1.探索等腰三角形判定定理；2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明；3.了解等腰三角形的尺规作图.4.素养目标：通过探索证明等腰三角形判定定理，培养逻辑推理、分类讨论思维，提升数学应用与表达能力.二、教学重点、难点重点：理解和运用等腰三角形的判定定理.难点：利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.三、教学过程复习导入回顾上节所学，等腰三角形有哪些性质？1.等腰三角形的两个底角_____，简称“___________”；2.等腰三角形___________________________________简称“_________”.思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？∵ AB＝AC ∵ ∠B＝∠C∴ ∠B＝∠C ∴ AB？AC如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 作△ABC的角平分线AD，则∠1＝∠2.在△ABD与△ACD中，∴ △BAD≌△CAD (AAS)∴ AB＝AC这样就证明了：有两个角相等的三角形是等腰三角形.你还有其他的方法证明该结论吗？如图，在△ABC中，∠B＝∠C.作△ABC的高AD，则∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ABD与△ACD中，∴ △ABD≌△ACD (AAS)∴ AB＝AC这样也就证明了：有两个角相等的三角形是等腰三角形如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 添加“BC边上的中线”这条辅助线可以吗？SSA × 等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成 “等角对等边”).几何符号语言：∵ ∠B＝∠C∴ AB＝AC即△ABC是等腰三角形这是判定两条线段相等的依据之一.比较等腰三角形的性质和等腰三角形的判定互逆定理等边对等角 等角对等边例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC. 求证：AB＝AC.证明：∵ AD∥BC ∴ ∠1＝∠B，∠2＝∠C 又AD平分∠CAE ∴ ∠1＝∠2 ∴ ∠B＝∠C ∴ AB＝AC例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形.作法：1.作线段AB＝a；2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；3.在MN上取一点C，使DC＝h；4.连接AC，BC.练习1.如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？3.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB. 求证：OC＝OD.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 学生通过回顾总结等腰三角形的性质为学习等腰三角形的判定做了知识铺垫. 之后将本节课的学习目标展示给学生，让学生做到心中有数，让学生带着问题看书，加强自主探索的能力. 通过学生观察、思考例题，自然地渗透分类讨论的数学解题思想. 通过课堂小结，让学生归纳比较等腰三角形的性质和判定的区别，同时将等腰三角形的性质定理与判定定理有机的结合起来，重在培养学生对两个知识点的综合运用，鼓励学生积极思考. 整节课的目标基本实现，重点难点落实得比较到位，唯一欠缺的是时间有点紧，课堂小结比较仓促.§15.3.2等边三角形一、教学内容分析：本节课是人教数学八年级上册第15章“轴对称”第3.2节，共2课时，是在学生已学习等腰三角形性质与判定、轴对称图形等知识的基础上，对特殊等腰三角形——等边三角形的深入探究。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标”）要求来看，本节课对应“图形与几何”领域“图形的性质”主题，课标明确提出“探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°”“探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形”，并要求学生“能运用几何图形的基本性质进行推理证明”，这为本节课的教学内容设定了明确的知识与能力目标。从教材体系来看，本节课是等腰三角形知识的延伸与拓展，既承接了等腰三角形“边与角”的核心关系，又通过等边三角形的特殊性深化对“特殊与一般”数学思想的理解；同时，本节课内容也是后续学习直角三角形、相似三角形、圆等知识的重要基础，例如含30°角的直角三角形性质推导需依托等边三角形的对称性，圆内接正多边形的学习也需以等边三角形的性质为铺垫。二、学习者分析本节课的教学对象为八年级上学期的学生，从知识基础来看，学生已在之前的学习中掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边），理解轴对称图形的概念，能进行简单的几何推理与证明，这为探究等边三角形的性质与判定奠定了基础，但需注意学生可能混淆等腰三角形与等边三角形的特殊与一般关系，忽略“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”中“等腰”的前提条件。从能力层面来看，学生已具备初步的观察、猜想与推理能力，但综合运用多知识点解决复杂几何问题的能力仍需提升，同时对学生逻辑思维的连贯性要求较高。从认知特点来看，八年级学生处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对几何图形的对称性有直观感知，但对“特殊与一般”的辩证关系理解易停留在表面，需通过对比、举例等方式深化认知，同时学生对动手操作、情境化问题兴趣较高，可结合这些特点设计相应教学活动。三、学习目标1．探索并掌握等边三角形的性质及判定方法．2．能够运用等边三角形的知识解决相应的数学问题．四、教学重点：等边三角形的性质与判定．五、教学难点：等边三角形的性质与判定．§15.3.2等边三角形(1)一、学习目标1.探索等边三角形的性质和判定；2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明；3.素养目标：理解等边三角形定义，掌握性质与判定，发展推理、应用能力及分类思想.二、教学重点、难点重点：探索等边三角形的性质与判定.难点：等边三角形性质和判定的应用.三、教学过程知识回顾等边三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等. 我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形(正三角形).探究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？性质探索几何符号语言：在△ABC中，∵ AB＝AC＝BC∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°1.等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？已知：如图，AB＝AC＝BC.∵ AB＝AC∴ ∠B＝∠C同理 ∠A＝∠C ∴ ∠A＝∠B＝∠C ∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180° ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 3.等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？等边三角形的三条中线，三条高，三条角平分线，分别互相重合.判定探索1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？在△ABC中，∵ ∠A＝∠B＝∠C∴ AB＝AC＝BC即△ABC是等边三角形已知：如图，∠A＝∠B＝∠C.∵ ∠A＝∠B∴ AC＝BC同理 AB＝AC ∴ AB＝AC＝BC 即△ABC是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.2.一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这个结论吗？已知：如图，AB＝AC，则∠B＝∠C①当顶角∠A＝60°时， ∴ ∠B＝∠C＝(180°－60°)÷2＝60° ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60° ∴ △ABC是等边三角形②当底角∠B＝60°时，∠C＝60° ∴ ∠A＝180°－∠B－∠C＝60° ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60° ∴ △ABC是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.证明：∵ △ABC是等边三角形∴ ∠A＝∠B＝∠C∵ DE∥BC∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED∴ △ADE是等边三角形练习2.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中有哪些与BD相等的线段？证明你的结论.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形. 学习等边三角形的定义、性质和判定. 让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力. 让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识. 在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力.板书设计§15.3.2等边三角形(2)一、学习目标1.探索含30°角的直角三角形的性质；2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算；3.素养目标：通过探究含30°角直角三角形性质，培养逻辑推理、直观想象及解决问题能力(三)情感态度与价值观：体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.二、教学重点、难点重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.难点：含30°角的直角三角形的性质定理的应用.三、教学过程探究如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论.通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.求证：BC＝AB.证法①倍长法证明：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD.则AC是BD的垂直平分线 ∴ AB＝AD 又∵ ∠B＝90°－∠BAC＝60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD＝AB 又∵ BD＝2BC ∴ BC＝AB证法②截半法证明：在BA上截取BD＝BC，连接DC. ∵ ∠B＝90°－∠A＝60°，BD＝BC ∴ △BCD是等边三角形∴ ∠BDC＝60°，BD＝DC＝BC∴ ∠DCA＝∠BDC－∠A＝30°＝∠A∴ AD＝DC＝BD＝BC∴ AB＝AD＋BD＝2BC∴ BC＝AB在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何符号语言：∵ 在Rt△ABC中，∠A＝30° ∴ BC＝AB例5 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°. 求立柱BC、DE要多长.解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°∴ BC＝AB，DE＝AD∴ BC＝×7.4＝3.7(m)又∵ AD＝AB∴ DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.练习1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∠B和∠A各是多少度？课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？板书设计四、教学反思 本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高. 不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高.教学反思：本节课围绕等边三角形的性质与判定展开，虽依托教材“探究—定理—证明—应用”主线，落实了课标“探索图形性质、发展推理能力”的要求，但仍有不足。教学中通过等腰三角形知识迁移推导等边三角形性质，多数学生能理解定理，但部分学生对“特殊与一般”关系理解不深，需加强等腰与等边三角形对比练习。例题教学虽示范了证明步骤，但对学生自主分析问题的引导不足，导致少数学生难以独立完成部分训练题。后续需优化教学，增加学生动手操作，强化定理应用的分层指导，更好达成课标“发展几何直观与推理能力”的核心素养目标。综合与实践：最短路径问题一、学习目标1.掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题；2.了解运用平移法解决造桥问题；3.进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质；4.通过对最短路径的探素，体会转化思想，培养逻辑推理及解决问题能力.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言 以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1(将军饮马问题) 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 如图，点A，B分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？ 连接AB，与直线 l 相交于一点，根据“两点之间，线段最短”可知这个交点即为所求. 现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 如图，作出点B关于 l 的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'＝CB. 这样，问题就转化为：当点C在 l 的什么位置时，AC与CB'的和最小？ 在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短. 因此，线段AB'与直线 l 的交点C的位置即为所求.你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？证明：如图，在直线 l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴ AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′ AC′＋BC′＝AC′＋B′C′在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′∴ AC＋BC＜AC′＋BC′，即AC＋BC最短.问题2 (造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？ 如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？ 在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的. 你能用所学的知识证明AM＋MN＋NB最短吗？ 为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.证明：如图，由平移的性质可知：AM＝A′N，AM′＝A′N′，MN＝M′N′在△A′BN′中，A′B＜A′N′＋N′B∴ A′N＋NB＜AM′＋N′B∴ AM＋NB＜AM′＋N′B∴ AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B归纳 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.第15章轴对称小结与复习一、学习目标1.总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；2.培养学生用轴对称的观点认识线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；3.归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力；4. 理解轴对称概念及性质，能辨析轴对称图形；掌握线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形相关性质与判定；运用轴对称解决实际问题，提升空间观念与推理能力.二、教学重点、难点重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用.难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力.三、教学过程知识梳理一、轴对称相关定义和性质1.定义(1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.(2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线就是它的对称轴.2.性质(1)关于某直线对称的两个图形是全等图形；(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；(3)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.二、线段垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.三、平面直角坐标系中轴对称点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y).四、等腰三角形的性质及判定1.性质：(1)两腰相等；(2)轴对称图形，等腰三角形底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴；(3)两个底角相等，简称“等边对等角”；(4)顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称“三线合一”).2.判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).五、等边三角形的性质及判定1.性质：(1)等边三角形的三边相等.(2)等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.(3)等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.(5)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.2.判定(1)三边相等的三角形是等边三角形.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.六、有关作图1.作线段的垂直平分线.2.过已知直线外的一点作该直线的垂线.3.最短路径：(1)将军饮马问题；(2)造桥选址问题.考点讲练考点一 轴对称及轴对称图形例1 在下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速20”四个交通标志图中，为轴对称图形的是( )针对训练1.在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有( )个 A.1 B.2 C.3 D.42.如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为_____.考点二 关于坐标轴对称的点的坐标例2 按要求完成作图：(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上找出点P，使PA＋PC最小，并直接写出P点的坐标.解：(1)如图，△A1B1C1为所求；(2)如图，点P为所求，P点的坐标为(－3，0). 针对训练3.在直角坐标系中，点P(a，2)与点A(－3，m)关于x轴对称，则a，m的值分别为( ) A.3，－2 B.－3，－2 C.3，2 D.－3，2考点三 线段垂直平分线的性质和判定例3 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使得BD＝DE，已知AB＋BD＝DC.求证：点E在线段AC的垂直平分线上.证明：∵ AD是高，且BD＝DE∴ AB＝AE∵ AB＋BD＝DC，DC＝CE＋DE∴ AB＋BD＝CE＋DE又∵ BD＝DE∴ AB＝CE∴ AE＝CE∴ 点E在线段AC的垂直平分线上针对训练4.如图：△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM＝5cm，△ABC的周长是22cm，则△ABN的周长是______.方法总结 线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化.考点四 等腰三角形的性质和判定例4 如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：M是BE的中点.证明：连接BD∵ △ABC是等边三角形，且D是AC的中点∴ ∠ACB＝60°，∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°∵ CE＝CD，∴ ∠E＝∠CDE∵ ∠ACB＝∠E＋∠CDE∴ ∠E＝ ∠ACB＝30°∴ ∠DBC＝∠E＝30°∴ DB＝DE又∵ DM⊥BC∴ M是BE的中点例5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.解：设该等腰三角形中，小角的度数为x，则大角的度数为2x.(1)当x为底角时，x＋x＋2x＝180，解得 x＝45，则 2x＝90(2)当x为顶角时，x＋2x＋2x＝180，解得 x＝36答：该等腰三角形顶角的度数为90°或36°.方法总结 在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：(1)在求角度时，未指明底角和顶角； (2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.针对训练5.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中的等腰三角形共有____个.6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是____.7.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AC＝AB＋BD.求证：∠B＝2∠C.证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE.∵ AD是角平分线，∴ ∠EAD＝∠BAD又∵ AD＝AD，∴ △EAD≌△BAD (SAS)∴ DE＝DB，∠AED＝∠B∵ AC＝AB＋BD＝AE＋DE＝AE＋EC∴ EC＝ED，∴ ∠C＝∠CDE∴ ∠AED＝∠C＋∠CDE＝2∠C∴ ∠B＝2∠C8.如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.求证：AD＝CE.证明：作DG∥BC交AC于G，∴ ∠DGF＝∠ECF在△DFG和△EFC中，∴ △DFG≌△EFC (AAS)∴ GD＝CE∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A＝∠B＝∠ACB＝60°∵ DG∥BC，∴ ∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB∴ ∠A＝∠ADG＝∠AGD∴ △ADG是等边三角形∴ AD＝GD∴ AD＝CE9.在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；解：(1)α＋β＝180°理由：∵ ∠DAE＝∠BAC∴ ∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即 ∠CAE＝∠BAD又∵ AB＝AC，AD＝AE∴ △ABD≌△ACE (SAS)∴ ∠ABD＝∠ACE∵ ∠BAC＋∠ABD＋∠ACB＝180°∴ ∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝180°∴ ∠BAC＋∠BCE＝180°，即α＋β＝180°(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是________，请说明理由；解：(2)α＝β理由：∵ ∠DAE＝∠BAC∴ ∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即 ∠CAE＝∠BAD又∵ AB＝AC，AD＝AE∴ △ABD≌△ACE (SAS)∴ ∠ABD＝∠ACE∵ ∠ACD＝∠ABC＋∠BAC＝∠ACE＋∠DCE∴ ∠BAC＝∠DCE即 α＝β(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是______.解：(3)如图所示.猜想：α＝β.课题：15.3.2等边三角形（第1课时）一、等边三角形的性质教师板演区学生展示区课题：15.3.2等边三角形（第2课时）一、等边三角形的性质二、等边三角形的判定教师板演区学生展示区