第一十五章 轴对称 章末复习课件 2025-2026学年数学人教版八年级上册

第15章 轴对称 章末复习　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！　　4．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于 x 轴或 y 轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明．　　5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？考点一　轴对称图形的识别　　例1　下列各图中，不是轴对称图形的是（　　）．　　A． B．　　C． D．A考点一　轴对称图形的识别　　根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么就能确定这个图形是轴对称图形；否则，这个图形就不是轴对称图形．判断一个图形是不是轴对称图形的方法考点二　轴对称的性质　　例2　如图，△ABC 和△ADE 关于直线 l 对称，已知 AB＝15，DE＝5，∠D＝70°．求∠B 的度数及 BC，AD 的长度．　　解：∵△ABC 和△ADE 关于直线 l 对称，　　∴ AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D．　　又∵AB＝15，DE＝5，∠D＝70°，　　 ∴∠B＝70°，BC＝5，AD＝15．ABCDEl考点二　轴对称的性质考点二　轴对称的性质　　1．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，将点 D 分别以 AB，AC 所在直线为对称轴，画出对称点 E，F，并连接 AE，AF．根据图中标示的角度，∠EAF 的度数为（　　）．　　A．113°　　　B．124°　　C．129°　　　D．134°DABCDEF62°51°　　解析：连接AD，如图．考点二　轴对称的性质ABCDEF62°51°ABCDEF考点三　线段的垂直平分线的性质与判定　　例3　如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 上一点，BD＝BC，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E，CD 交 BE 于点 F．求证：BE 垂直平分 CD．　　证明：∵BD＝BC，　　∴点 B 在线段 CD 的垂直平分线上．　　又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，　　∴∠EDB＝∠ACB＝90°．ABCDEF考点三　线段的垂直平分线的性质与判定考点三　线段的垂直平分线的性质与判定　　（1）存在两点：直线上有两个不同的点．　　（2）两对距离相等：两点到线段两个端点的距离分别相等．根据两点确定一条直线，推导出这两个点所在的直线就是这条线段的垂直平分线．证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件考点三　线段的垂直平分线的性质与判定　　2．如图，△ABC 中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE，FG 分别为 AB，AC 的垂直平分线，E，G 分别为垂足．　　（1）求∠DAF 的度数；　　（2）若△DAF 的周长为10，求 BC 的长．EABCDFGEABCDFG考点三　线段的垂直平分线的性质与判定考点三　线段的垂直平分线的性质与判定EABCDFG　　解：（2）∵△DAF的周长为10，　　∴AD＋DF＋FA＝10 ． 　　∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋FA＝10．考点四　轴对称的相关作图　　例4　如图，作已知图形关于直线 l 对称的图形． llD′考点四　轴对称的相关作图　　例4　如图，作已知图形关于直线 l 对称的图形． lA′B′C′　　作法：（1）如图，取点 A，B，C，D，O，分别作出点 A，B，C，D关于直线 l 的对称点 A′，B′，C′，D′；　　（2）顺次连接 OA′，A′B′，B′O，OD′，OC′，C′D′，即可得原图形关于直线 l 对称的图形．考点四　轴对称的相关作图　　例4　如图，作已知图形关于直线 l 对称的图形． （2）连接A′B′，B′C′，C′A′，△A′B′C′即为所求．　　作法：（1）如图，取点 A，B，C，分别作出点 A，B，C关于直线 l 的对称点 A′，B′，C′；A′B′C′l考点四　轴对称的相关作图　　同一个图形，因对称轴不同会得到不同的对称图形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形．画轴对称图形，对称轴位置很关键考点五　关于坐标轴对称的点的坐标特征　　例5　已知点 A（a＋2，b－1）与 B（b＋3，a－2）关于 x 轴对称，求点 P（a，b）的坐标．　　解：∵点 A（a＋2，b－1）与 B（b＋3，a－2）关于 x 轴对称，　　∴a＋2＝b＋3，b－1＝－(a－2)．　　解得 a＝2，b＝1．　　∴点 P 的坐标为（2，1）.考点五　关于坐标轴对称的点的坐标特征考点六　等腰三角形　　例6　如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上一点，DE∥AB，交 AC 于点 E，连接 DE，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F．求证：点 F 为线段 CD 的中点．EABCDF　　证明：∵AB＝AC，　　∴∠B＝∠C（等边对等角）．　　∵DE∥AB，　　∴∠EDC＝∠B．EABCDF　　∴∠EDC＝∠C ． 　　∴ED＝EC（等角对等边）．　　∵EF⊥BC，　　∴点 F 为线段 CD 的中点（三线合一）．考点六　等腰三角形　　性质1：等边对等角，它是证明两角相等的常用方法．　　性质2：三线合一，它可以证明两条线段相等，两个角相等，还可以证明两条线段之间的垂直关系．等腰三角形性质的应用考点六　等腰三角形　　3．如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是BC 延长线上的一点，且 CE＝CD，DM⊥BC，垂足为 M，求证：点 M 是 BE 的中点．DECM　　证明：如图，连接 BD．考点六　等腰三角形DCM考点六　等腰三角形E考点七　最短路径问题　　例7　如图，已知点 D，点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，AD＝5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF＋EF 的最小值为__________．BEDACF　　例7　如图，已知点 D，点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，AD＝5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF＋EF 的最小值为__________．BEDACF　　解析：∵点 B 和点 C 关于直线 AD 对称，　　∴BF＝CF，　　若 BF＋EF 最小，只需 CF＋EF 最小．　　由两点之间，线段最短可知：　　线段 CE 的长即为 BF＋EF 的最小值．考点七　最短路径问题BEDACF　　∵点D，E是等边△ABC中BC，AB的中点，　　∴△ADB≌△CEA．　　∴CE＝AD＝5．　　即 BF＋EF 的最小值为5．　　例7　如图，已知点 D，点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，AD＝5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF＋EF 的最小值为__________．考点七　最短路径问题5　　（1）如果两点在直线的异侧，那么直接连接两点交直线于一点，该点就是要求的点；　　（2）如果两点在直线的同侧，那么先作一点关于直线的对称点，再连接对称点和另一点交直线于一点，该点就是要求的点．“一线＋两点”型最短距离求解方法考点七　最短路径问题MNAO　　例8　如图，点 A 是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各求作一点 B，C，组成 △ABC，使 △ABC 周长最小．　　作法：（1）分别作点 A 关于角两边的对称点 A′，A″；　　（2）连接 A′A″与角的两边分别交于点 B，点 C，连接 AB，AC得到的△ABC 周长最小．考点七　最短路径问题　　（1）分别作这点关于两线的对称点；　　（2）连接两对称点交两线于两点，交点即为所求．求“两线＋一点”型最短距离中的点考点七　最短路径问题作轴对称图形的对称轴轴对称等腰三角形画轴对称图形关于坐标轴对称的点的坐标关系生活中的轴对称等边三角形