模块六 概率与统计-微专题23 计数原理（课件+学案+练习）-2026年高考数学二轮专题复习

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微点1 排列组合基本问题
微点2 二项式定理及其应用
例1（1）[2023·新课标Ⅰ卷] 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____种（用数字作答）.
（2）在一场毕业晚会上，共有4个舞蹈节目和2个唱歌节目.在制定节目单时，必须保证2个唱歌节目不相邻，并且甲舞蹈不能排在最后，则不同的排法共有_____ 种.
【规律提炼】对于排列组合的问题,要熟练掌握基本原则和基本方法,例如有限制条件的排列问题服从特殊元素或特殊位置优先原则,相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，定序问题用倍缩法等,分类过多的问题考虑间接法,特别注意分类要谨防重复与漏解.
1.[2025·辽宁盘锦三模]将李老师、唐老师等六名老师委派到三个学校进行督导活动，其中每名老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的委派情况有( )
A.240种B.360种C.390种D.420种
2.[2025·山东德州十校联考] 因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排呈一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起，第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六个到第八个依次递增，则不同的排列方式有_____种.
[解析] 依题意作出示意图，如图所示.由题意知，第一个是第一、二、三个中最低的，第六个是第三个到第八个中最低的，第三个是第一个到第六个中最高的，第八个是第六、七、八个中最高的.设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，则第三个最小是6，最大是8，下面分类讨论：①第三个位置选6号，则7，8号分别放入第七个和第八个位置，所以先从1，2，3，4，5号
【规律提炼】对于求解二项展开式中特定项的系数问题,可用待定系数法利用二项展开式的通项来解决;求展开式中若干项系数的和、差等,一般用赋值法达到解决问题的目的.
［备选理由］例1是空间直角坐标系中的“网线距离”问题，解题的核心是利用三角不等式转化条件;例2是经典的涂色问题，但区域划分有特点，侧重于分类讨论思想（按颜色数量分情况）和计数原理的运用；例3是关于二项式定理的基础题，但设置了“第4项与第5项的二项式系数相等”的条件陷阱及学生容易混淆的“二项式系数”与“系数”概念辨析，属于常见易错点.
A.27B.64C.125D.216
例2 ［配例1使用］[2025·湖南郴州模拟] 如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1、区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有____种不同的涂色方案.