专题九 计数原理与概率统计—2026年高考数学二轮讲练含答案

这是一份专题九 计数原理与概率统计—2026年高考数学二轮讲练含答案，共13页。试卷主要包含了分类加法计数原理，分步乘法计数原理，两个计数原理的比较，则下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．两个计数原理的比较
4.排列、组合的应用
(1)排列数公式：
(2)组合数公式：
5.二项式定理：
①定理内容：=
②通项公式：．
6.组合数的性质：
①；
②；
③；
④．
7.二项式系数的有关性质：
①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
.
②若，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，
奇数项系数和为，
偶数项系数之和为．
8.易错易混
混淆两个计数原理致错
忽视“顺序”重复选取致错
混淆“均匀分组”与“不均匀分组”致错
混淆项的系数与二项式系数致错
忽略二项展开式的通项是第k+1项而不是第k项致错
（二）概率，随机变量及分布列
1．随机事件的概率
(1)随机事件的概率范围：； 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0．
2．古典概型的概率
P(A)＝eq \f(A中所含的基本事件数,基本事件总数)
3.条件概率
在事件A发生的条件下事件B发生的概率： .
4..互斥事件与对立事件
(1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件．
(2)如果事件A，B互斥，那么事件发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即.这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
(3)在一次试验中，对立事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 1－P(A)．
5.．相互独立事件同时发生的概率
若A，B为相互独立事件，则．
6..独立重复试验
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为.
7.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝
，，其中，且.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．
（三）离散型随机变量的分布列
1. 离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X可能取的值为取每一个值xi的概率为，则称表：
为离散型随机变量X的分布列．
(2)为X的均值或数学期望(简称期望)，反应X的平均水平．
(3)D(X)为随机变量X的方差．
叫标准差，它们均反映X的离散程度．
2.正态分布
正态曲线的定义：函数，，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
3.重要公式与性质
（一）离散型随机变量X的分布列具有两个性质
（二）期望与方差的性质
(1)；
(2)；
(3)X服从两点分布，则．
（三）正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；
(3)曲线在处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
（四）正态分布的三个常用数据
（四）统计与统计案例
1．抽样方法
三种抽样方法包括：简单随机抽样 、系统抽样、分层抽样
2．统计图表
在频率分布直方图中：
①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；
②各小矩形面积之和等于1；
③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．
3．样本的数字特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
(2)样本平均数；
(3)样本方差；
(4)样本标准差.
(5)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．
(6)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．
4. 变量间的相关关系
(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．
(2)用最小二乘法求回归直线的方程
设线性回归方程为，则．
注意：回归直线一定经过样本的中心点，据此性质可以解决有关的计算问题．
5.回归分析
叫做相关系数．
相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．
6.独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
则，
若，则有95%的把握说两个事件有关；
若，则有99%的把握说两个事件有关；
若，则没有充分理由认为两个事件有关．
易错易混
对随机事件分类不清致误；
使用概率加法公式忽视成立条件；
混淆互斥事件与对立事件的概念致误；
混淆互斥事件与相互独立事件致错；
混淆抽样放回与不放回；
对随机变量的意义理解不到位致误；
对正态分布理解不清致误；
不理解频率分布直方图中数据的意义致误；
混淆多个事件的两两独立与相互独立的意义致错.
实战演练
1.某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是( )
A.这组数据的平均数为8B.这组数据的众数为7
C.这组数据的极差为4D.这组数据的第80百分位数为9
2.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有( )
A.12种B.24种C.36种D.48种
3.在的展开式中，含有项的系数为( )
A.15B.6C.20D.2
4.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为( )
A.B.C.D.
5.某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军.已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局.记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则( )
A.B.C.D.
6.甲、乙两人进行比赛，假设每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且各局比赛互不影响.若采取“5局3胜制”，则概率最大的比赛结果是( )
A.乙赢得比赛B.甲赢得比赛
C.甲赢得比赛D.甲赢得比赛
7.某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是( )
A.越小，该物理量一次测量结果落在内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在内的概率与落在内的概率相等
8.已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，，，的期望分别为，，方差分别为，，则( )
A.，B.，
C.，D.，
9.（多选）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则( )
A.A与B是互斥事件B.A与B是相互独立事件
C.D.与C是对立事件
10.（多选）现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是( )
A.共有种不同的放法
B.恰有两个盒子不放球，共有360种放法
C.每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种
D.将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种
11.（多选）某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分单位：分统计情况如下表：
根据表中数据，下列结论正确的是( )
A.这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25
B.这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过
C.这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间
D.这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
12.（多选）下列说法正确的是( )
A.若随机变量X服从正态分布，且，则
B.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18
C.若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱
D.对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是-7
13.为了考查某流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过________的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染某流感”有关系.
参考公式：.
14.如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是______________.
15.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有4个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭4个小孩中有女孩的条件下，4个小孩中至少有2个男孩的概率为________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：这组数据的平均数为，故A正确；
这组数据的众数为7，故B正确；
这组数据的极差为，故C正确；
将这组数据按照从小到大的顺序排列为，6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，因为，所以这组数据的第80百分位数为，故D错误.故选：D.
2.答案：B
解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B
3.答案：A
解析：因为的展开式的通项公式，，令，得，故含有项的系数为.故选：A.
4.答案：B
解析：记另3名同学分别为a，b，c，所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种.小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，综上，小王和小张都没有挑出的概率为.故选：B.
5.答案：C
解析：由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，
，由条件概率公式可得.故选：C.
6.答案：C
解析：若乙赢得比赛，即乙前四场赢两场，第五场赢，故其概率为；同理若甲赢得比赛，其概率为：；若甲赢得比赛，即甲前三场都赢，其概率为：；若甲赢得比赛，即甲前三场赢两场，第四场赢，其概率为，综上甲赢得比赛，其概率最大.故选：C.
7.答案：D
解析：因为该物理量的测量结果服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，且方差越小，分布越集中.对于A，越小，测量结果越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项A中结论正确；对于B，测量结果大于10的概率为0.5，故选项B中结论正确；对于C，由于正态曲线关于直线对称，所以测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故选项C中结论正确；对于D，测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项D中结论错误.故选D.
8.答案：A
解析：由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，5，的可能取值为0，1，2，3，4，5，
随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布，根据超几何分布的均值方差公式得：
，，，即，.根据超二项分布的均值方差公式得，，即，，所以，.故选：A.
9.答案：BC
解析：事件A与事件B能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误；
因为，，，所以，故A与B互不影响，故B正确；
事件，事件，不可能同时发生，故事件C与D互斥，故，故C正确；
表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，
，，事件与事件C不是对立事件，故D错误.故选：BC.
10.答案：BC
解析：A：由题意，每个球都有5种放法，故共有种不同的放法，错；
B：恰有两个盒子不放球，则任选3个盒子放球有种，将4个球分成3组有种，
最后把3组球放进所选的3个盒子中有种，故共有种，对；
C：从四个编号中选2个放同编号的球有种，
若另2个盒子放余下2个球有1种放法，若余下2球一个放在5号盒子有2种放法，
所以，共有种，对；
D：4个相同的球放到5个不同的盒子，恰有一个空盒有种放法，错.故选：BC
11.答案：ABC
解析：对于A，这50位教师12月份的日均得分在的人数为，日均得分在的人数为，因此这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25，A正确；
对于B，这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例为：，B正确；
对于C，这50位教师12月份日均得分的极差属于，C正确；
对于D，这50位教师12月份的日均得分的平均值为：
，D错误.故选：ABC
12.答案：AD
解析：A：因为，，所以，故A正确；
B：由题意，，所以该10个数据的下四分位数为第2个数和第3个数的平均数11，故B错误；
C：若两个变量的线性相关系数越接近于1，则这两个变量的线性相关性越强，所以C错误；
D：由题意，线性回归方程过样本点中心，所以，解得，故D正确.
故选：AD
13.答案：0.05
解析：由列联表中数据，计算得，所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，认为“注射疫苗”与“感染某流感”有关系.故答案为：0.05
14.答案：960
解析：先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法，同理C有3种涂法，D有4种涂法，E有4种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为.故答案为：960.
15.答案：
解析：记事件A：该家庭4个小孩中有女孩，事件B：该家庭中4个小孩中至少有2个男孩，
则，，由条件概率公式可得.故答案为：.
名称
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题
不同点
运用加法运算
运用乘法运算
分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解
分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
得分
频数
5
15
20
10
疫苗使
用情况
感染情况
感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100