高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算课堂检测，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若非零向量 a 和 b 互为相反向量，则下列说法中错误的是( ).
A. a//b B. a≠b C. a≠b D. b=−a
2. 下列说法正确的是( )
A. 若 a 与 b 都是单位向量，则 a=b
B. 若 a=b ，则 a=b
C. 若 a+b=0 ，则 a=b
D. 若 a−b=0 ，则 a 与 b ，是相反向量
3. 在平面四边形 ABCD 中，下列表达式化简结果与 AB 相等的是( )
A. AC+CD B. AD+DC+CB
C. CA−CB D. CB+DA−DC
4. 已知在四边形 ABCD 中， DB−DA=AC−AD 则四边形 ABCD 一定是( )
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
5. 八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中 OA=1 ，则给出下列结论:
① BF−HF+HD=0 ；② OA+OC=−2 OF ；③ AE+FC−GE=AB .
其中正确的结论为( )

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6. 如图为正八边形 ABCDEFGH ，其中 O 为正八边形的中心，则 CE−FG= ( )
A. BE B. EO C. AD D. OH
7. 若 AB=5 ， AC=8 ，则 BC 的取值范围是( )
A. 3,8 B. 3,8 C. 3,13 D. 3,13
二、多选题
8. 化简以下各式，结果为 0 的有( )
A. AB+BC+CA B. AB−AC+BD−CD
C. OD−OA+AD D. NQ+QP+MN−MP
9. 给出下面四个结论，其中正确的结论是( )
A. 若线段 AC=AB+BC ，则向量 AC=AB+BC
B. 若向量 AC=AB+BC ，则线段 AC=AB+BC
C. 若向量 AB 与 BC 共线，则线段 AC=AB+BC
D. 若向量 AB 与 BC 反向共线，则 AB−BC=AB+BC
10. 对于任意三个向量 a,b,c ，下列命题中错误的是( )
A. a−b≤a−b
B. a+b≤a+b
C. 若 a,b 满足 ab
D. 若 a//b,b//c ，则 a//c
三、填空题
11. 如图，向量 AB=a ， AC=b ， CD=c ，则向量 BD= _____
12. 给出下列等式:
① AB+BA=0 ；
② AC=DC+AB+BD ；
③ OA+AC−AO+CO=0 ；
④ AB+CA+BD+DC=0 .
其中等式成立的个数为_____.
13. 任给两个向量 a 和 b ，则下列式子恒成立的有_____.
① a+b≥a+b ② a−b≥a−b
③ a−b≤a+b ④ a−b≤a−b
14. 窗，古时亦称为船牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件. 如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓 ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形 EFGH ，且 E、F 、 G 、 H 分别是 AF 、 BG 、 CH 、 DE 的中点，则与 EF⟶ 相等的向量为_____， EF⟶ 的负向量为_____.
四、解答题
15. 如图，已知 OA=a ， OB=b ， OC=c ， OD=d ，试用 a,b,c,d 表示以下向量:

(1) AC ；
(2) AD ；
(3) BD .
16. 化简下列各式:
(1) AB+MB+−OB−MO ;
(2) AB−AD−DC ；
(3) AB−CD−AC−BD ；
(4) OA−OD+AD ；
(5) AB+DA+BD−BC−CA
17. 如图所示，已知 OA=a ， OB=b ， OC=c ， OD=d ， OE=e ， OF=f ，试用 a,b,c,d,e,f 表示下列各式:

(1) AD−AB ；
(2) AB+CF ；
(3) EF−CF .
18. 如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形， B 是该平行四边形外一点，且 AB=a ， AC=b ， AE=c ，试用向量 a 、 b 、 c 表示向量 BE 与 CE .
6.2.2向量的减法运算 标准答案
一、单选题
1. 答案：C
解析：相反向量的定义：长度相等、方向相反的非零向量，即b=−a，满足a∥b、a≠b、|a|=|b|。C选项说模长不相等，与定义矛盾，错误。
2. 答案：C
解析：
A：单位向量仅模长为1，方向可不同，故a不一定等于b，错误；
B：模长相等的向量，方向不同则向量不相等，错误；
C：a+b=0⇒a=−b，则|a|=|b|，正确；
D：a−b=0⇒a=b，是相等向量而非相反向量，错误。
3. 答案：B
解析：逐一化简：
A：AC+CD=AD≠AB；
B：AD+DC+CB=AC+CB=AB，符合；
C：CA−CB=BA≠AB；
D：CB+DA−DC=CB+(DA−DC)=CB+CA≠AB。
4. 答案：A
解析：利用向量减法法则化简等式：
DB−DA=AB，AC−AD=DC，
由题得AB=DC，则AB∥DC且AB=DC，故四边形ABCD是平行四边形。
5. 答案：A
解析：正八边形ABCDEFGH，中心为O，OA=1，利用向量运算法则分析：
① BF−HF+HD=BF+FH+HD=BD=0（正八边形中B、D关于O对称，BD=0），正确；
② OA+OC：OA、OC夹角90∘，模长均为1，故|OA+OC|=2，方向与OF相反，即OA+OC=−2OF，正确；
③ AE+FC−GE=AE+FC+EG=AG+FC≠AB，错误。
6. 答案：C
解析：正八边形中FG=CO，则CE−FG=CE−CO=OE（减法法则）；
又正八边形中OE=AD，故结果为AD。
7. 答案：C
解析：由向量减法得BC=AC−AB，根据向量模长的三角不等式：
||AC|−|AB||≤|AC−AB|≤|AC|+|AB|，
代入|AB|=5，|AC|=8，得3≤|BC|≤13。
二、多选题
8.答案：ABD
解析：利用向量加法、减法的运算法则（三角形法则、平行四边形法则）化简：
A：AB+BC+CA=AC+CA=0，正确；
B：AB−AC+BD−CD=CB+BD+DC=CD+DC=0，正确；
C：OD−OA+AD=AD+AD=2AD≠0，错误；
D：NQ+QP+MN−MP=NP+MN+PM=(MN+NP)+PM=MP+PM=0，正确。
9.答案：AD
解析：结合向量加法的几何意义和共线向量性质分析：
A：线段AC=AB+BC，说明A、B、C三点共线且B在A、C之间，由向量加法三角形法则，AC=AB+BC，正确；
B：AC=AB+BC仅说明A、B、C满足向量三角形法则，若B在A、C延长线上，线段AC≠AB+BC，错误；
C：若AB与BC反向共线，线段AC=|AB−BC|，并非AB+BC，错误；
D：AB与BC反向共线时，|AB−BC|=|AB+(−BC)|，因−BC与AB同向，故模长相加为AB+BC，正确。
10.答案：ACD
解析：根据向量模长的三角不等式、向量的基本性质判断：
A：三角不等式应为|a−b|≥||a|−|b||，而非|a−b|≤|a|−|b|（右边可能为负，模长非负），错误；
B：向量加法的三角不等式，|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a、b同向时取等号，正确；
C：向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，只能比较模长，错误；
D：若b=0，零向量与任意向量平行，此时a∥0、0∥c，但a与c不一定平行，错误（该结论仅当b为非零向量时成立）。
三、填空题
11. 答案：b−a+c
解析：由向量运算法则，BD=BA+AC+CD，
其中BA=−AB=−a，AC=b，CD=c，
故BD=−a+b+c=b−a+c。
12. 答案：4
解析：逐一验证：
① AB与BA为相反向量，和为0，成立；
② DC+AB+BD=AB+BD+DC=AC，成立；
③ OA+AC−AO+CO=(OA−AO)+(AC+CO)=0+AO=0（OA=−AO），成立；
④ AB+CA+BD+DC=(CA+AB)+(BD+DC)=CB+BC=0，成立。
综上，4个等式均成立。
13. 答案：②③
解析：向量模长的三角不等式核心结论：
|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当a、b同向时取等），故①错误；
||a|−|b||≤|a−b|≤|a|+|b|，故②（左边不等式）、③（右边不等式）正确，④错误。
14. 答案：HG；、FE、GH
解析：由E、F、G、H为中点，小正方形EFGH的边平行且相等，故EF=HG；
负向量定义：长度相等、方向相反的向量，故EF的负向量为FE、GH。
四、解答题
15. 解：
向量减法法则：MN=ON−OM，据此求解：
(1) AC=OC−OA=c−a；
(2) AD=OD−OA=d−a；
(3) BD=OD−OB=d−b。
16. 解：
利用向量加法交换律、结合律和减法法则（a−b=a+(−b)）化简，去括号后同类向量结合：
(1) 原式=AB+MB−OB−MO=(AB−OB)+(MB−MO)=AO+OB=AB；
(2) 原式=AB−(AD+DC)=AB−AC=CB；
(3) 原式=AB−CD−AC+BD=(AB−AC)+(−CD+BD)=CB+BC=0；
(4) 原式=(OA−OD)+AD=DA+AD=0；
(5) 原式=(AB+DA+BD)−(BC+CA)=0−BA=AB。
17. 解：
结合向量加、减法法则，将向量转化为以原点O为起点的向量差：
(1) AD−AB=OD−OA−(OB−OA)=d−a−b+a=d−b；
(2) AB+CF=(OB−OA)+(OF−OC)=b−a+f−c；
(3) EF−CF=(OF−OE)−(OF−OC)=f−e−f+c=c−e。
18. 解：
由平行四边形性质得CD=AE=c，DE=AC=b，结合向量减法法则求解：
BE=BA+AE=−AB+AE=−a+c；
CE=CA+AE=−AC+AE=−b+c（或CE=BE−BC，结果一致）。