数学必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课时训练

这是一份数学必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课时训练，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知 e1,e2 是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是( )
A. a=e1,b=e1−e2 B. a=−3e2,b=e1−e2
C. a=e1−2e2,b=−55e1+255e2 D. a=e1−2e2,b=e1+2e2
2. 已知 e1,e2 为平面内所有向量的一组基底， λ∈R ， a=e1+λe2,b=2e1 ，则 a 与 b 共线的条件为( )
A. λ=0 B.e2 =0
C. e1∥e2 D. e1∥e2 或 λ=0
3. 如图所示，点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A. OA,BC B. OA,CD
C. AB,CF D. AB,DE
4. 在 △ABC 中，点 D ， E 分别是 AB ， BC 的中点，记 AE=a ， CD=b ，则 AC= ( )
A. 13a−b B. 12a−b C. 12a−13b D. 23a−b
5. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E ， F 分别为 CD ， AD 的中点，若以向量 AE ， BF 为基底表示向量 AC ，则下列结论正确的是 ( )
A. AC=15AE+35BF B. AC=35AE−45BF
C. AC=AE−15BF D. AC=65AE−25BF
6. 已知 a,b 是两个不共线的向量， m=2a−3b,n=4a−2b,p=3a+b ，则( )
A. p=5n−6m8 B. p=5n+6m8 C. p=11n−10m8 D. p=11n+10m8
7. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 是 CD 的中点， AE 和 BD 相交于点 F . 记 AB=a ， AD=b ，则( )
A. CF=−23a−13b B. CF=23a+13b
C. CF=−13a−23b D. CF=13a+23b
8. 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F . 若 AB=2,AD=2,∠BAD=45∘ ，则 AF⋅BE 等于( )
A. −32 B. -2 C. −12 D. -1
二、多选题
9. 下列说法中正确的是( )
A. 平面向量的一个基底 e1,e2 中， e1 ， e2 一定都是非零向量
B. 在平面向量基本定理中，若 a=0 ，则 λ1=λ2=0
C. 若单位向量 e1,e2 的夹角为 2π3 ，则 e1 在 e2 上的投影向量是 −12e2
D. 表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
10. 设 e1,e2 是平面内两个不共线的向量，则以下 a,b 可作为该平面内一组基底的是( )
A. a=e1+e2,b=e1 B. a=2e1+e2,b=14e1+12e2
C. a=−e1+e2∗,b=e1−e2∗ D. a=e1−2e2,b=−e1+4e2
11. 若 e1,e2 是平面 α 内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
A. λe1+μe2λ,μ∈R 可以表示平面 α 内的所有向量
B. 对于平面 α 中的任一向量 a ，使 a=λe1+μe2 的实数 λ ， μ 有无数多对
C. λ1,μ1,λ2,μ2 均为实数，且向量 λ1e1+μ1e2 与 λ2e1+μ2e2 共线，则有且只有一个实数 λ ，使 λ1e1+μ1e2=λλ2e1+μ2e2
D. 若存在实数 λ,μ ,使 λe1++μe2+=0 ,则 λ=μ=0
三、填空题
12. 已知 e1、e2 不共线， a=e1+2e2 ， b=2e1+λe2 ，要使 a、b 能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为_____.
13. 在 △ABC 中， AB=c ， AC=b ，点 M 满足 BM=λBC00 ，如图，在 △ABC 中，点 M ， N 满足 AM=mAB ， AN=nAC ， D 是线段 BC 上一点， BD=13BC ，点 E 为 AD 的中点，且 M ， N ， E 三点共线.
(1)求 3m+6n 的最小值.
(2)若点 O 满足 2AO=OB+OC ，证明: OE//BC .
17. 如图1，小明同学发现家里的地板是正六边形木质地板组合而成的，便临摹出了家里地板的部分图形，其平面图如图2所示，其中 O 为正六边形 ABCDEF 的中心.

(1)用 AB ， AF 表示 AO ， AL ；
(2)若 AB=2 ，求 AL⋅ID .
6.3.1平面向量基本定理 标准答案
一、单选题
1. 答案：C
解析：平面向量基底要求两个向量不共线。若a与b共线，则存在实数k使a=kb。
C选项中，b=−55e1+255e2=−55(e1−2e2)=−55a，即a与b共线，不能作为基底；
A、B、D中两向量均无倍数关系，不共线，可作为基底。
2. 答案：A
解析：e1,e2是基底，故e1,e2不共线且非零（排除B、C、D）。
若a与b共线，则存在实数k，使e1+λe2=k⋅2e1，由平面向量基本定理得：
1=2kλ=0，解得λ=0。
3. 答案：B
解析：正六边形中，基底要求两向量不共线：
A：OA∥BC（同向），共线；
B：OA与CD无平行关系，不共线；
C：AB∥CF（反向），共线；
D：AB∥DE（反向），共线。
4. 答案：D
解析：由中点性质列向量等式：
AE=12AB+AC=a，CD=12AB−AC=b。
设AC=x，AB=y，则12y+x=a12y−x=b，两式相减得2x=a−b，即AC=23(a−b)。
5. 答案：D
解析：设AC=xAE+yBF，由平行四边形及中点性质：
AE=12AB+AD，BF=AB−12AD，AC=AB+AD。
代入得：AB+AD=x12AB+AD+yAB−12AD，
由平面向量基本定理列方程：
12x+y=1x−12y=1，解得x=65y=−25，故AC=65AE−25BF。
6. 答案：C
解析：设p=xm+yn，代入得：
3a+b=x(2a−3b)+y(4a−2b)=(2x+4y)a+(−3x−2y)b，
列方程：2x+4y=3−3x−2y=1，解得x=−108y=118，
故p=11n−10m8。
7. 答案：A
解析：平行四边形中AB∥CD，E为CD中点，故△DFE∽△BFA，且DFFB=DEAB=12，即DF=13DB。
CF=CD+DF=−a+13(a−b)=−23a−13b。
8. 答案：D
解析：
1.由AB∥CD得△AEB∽△FED，E为OD中点，故DFAB=DEEB=13，即DF=13AB；
2.表示向量：AF=AD+DF=AD+13AB，BE=BO+OE=−12BD+14BD=−14(AB+AD)；
3.数量积计算：已知|AB|=2，|AD|=2，∠BAD=45∘，则AB⋅AD=2×2×cs45∘=2。
AF⋅BE=13AB+AD⋅−14AB−14AD
=−112|AB|2−14AB⋅AD−13AB⋅AD−14|AD|2
=−112×4−14×2−13×2−14×2=−1。
二、多选题
9. 答案：ABC
解析：
A：基底向量必须非零（零向量与任意向量共线），正确；
B：若0=λ1e1+λ2e2，由基底不共线，得λ1=λ2=0，正确；
C：单位向量e1在e2上的投影向量为|e1|cs2π3⋅e2=−12e2，正确；
D：平面内任意两组不共线向量均可作为基底，基底不唯一，错误。
10. 答案：ABD
解析： A：因为 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，且 a=e1+e2，b=e1， 所以 a 与b 是不共线的两个向量（因a 含 e2 而 b 不含，无法成比例）， 因此 a与b可作为该平面内的一组基底，正确。
B：若 a与b 共线，则存在实数k，使得a=kb。已知a=2e1+e2，b=14e1+12e2，代入得：2e1+e2=k14e1+12e2
展开右边：2e1+e2=k4e1+k2e2，因 e1、e2 不共线，对应系数相等：
解得：第一式 → k=8，第二式 → k=2，矛盾，方程组无解。→ 故a与b不共线，可作为基底，正确。
C：已知 a=−e1+e2，b=e1−e2，显然 a=−(e1−e2)=−b，→a与b共线（方向相反，模成比例），不能作为该平面内的一组基底，错误。
D：若a与b共线，则存在实数λ，使得a=λb。已知 a=e1−2e2，b=−e1+4e2，代入得：e1−2e2=λ(−e1+4e2)
展开右边：e1−2e2=−λe1+4λe2，由 e1、e2不共线，系数对应相等：
第一式 →λ=−1，第二式 →λ=−12，矛盾，方程组无解。
故a与b 不共线，可作为基底，正确。
11. 答案：BC
解析：
A：平面向量基本定理，任一向量可由基底线性表示，正确；
B：基底表示向量的实数λ,μ唯一，而非无数多对，错误；
C：若λ2e1+μ2e2=0，则对任意λ都不成立（无唯一实数λ），错误；
D：基底不共线，故λe1+μe2=0时λ=μ=0，正确。
三、填空题
12. 答案：λ≠4
解析：a,b能作为基底⇔a与b不共线。
若共线，则存在k使e1+2e2=k(2e1+λe2)，得1=2k2=kλ，解得λ=4。
故不共线时λ≠4。
13. 答案：13
解析：由向量加法：AM=AB+BM=c+λBC=c+λ(b−c)=λb+(1−λ)c。
又AM=13b+23c，由基本定理得λ=13。
14. 答案：12,38（答案不唯一，满足μ=3λ且λ>0即可）
解析：由BE=3EC得AE=14AB+34AC。
设AF=tAE(t>1)，则AF=t4AB+3t4AC，令λ=t4，μ=3t4，即μ=3λ。
取t=2，得λ=12，μ=38。
四、解答题
15. 解：
( 1 )因为 CD=2DB,AE=EC ，
AC=AB+BC=AB+3BD
=AB+3AD−AB=−2AB+3AD .
BE=BA+AE=−AB+12AC
=−AB+12BC−BA=−12AB+12BC
=−12AB+12×3BD=−12AB+12×3AD−AB
=−2AB+32AD .
证明：
(2) 由 AM=−12AB+34AC ,
可得 AM=−12AB+34×2AE=−12AB+32AE .
所以 2AM=−AB+3AE,AE−AB=2AM−AE ,即 BE=2EM .
所以 B,M,E 三点共线.
16. 解：
(1) 由题可知 AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
因为点 E 为 AD 的中点，所以 AE=12AD=13AB+16AC。
∵AM=mAB，AN=nAC，AE=13mAM+16nAN，
因为 M，N，E 三点共线，所以 13m+16n=1，
∴3m+6n=(3m+6n)13m+16n=2+6n3m+3m6n≥2+2=4，
当且仅当 m=23，n=13 时，等号成立。
所以 3m+6n 的最小值为 4。
证明：
(2) 如图：
由 2AO=OB+OC，则 2AO=OA+AB+OA+AC，即 AO=14(AB+AC)，
OE=AE−AO=13AB+16AC−14(AB+AC)=112AB−112AC=112CB，
所以 OE∥CB，又 E，C，B 三点不共线，所以 OE∥BC。
17. 解：
(1)如图，

连接 OB,OF ，由正六边形性质，得四边形 ABOF 为平行四边形。
所以 AO=AB+AF .
AL=AF+FE+EJ+JK+KL−AF+AO+AF+AO+AB−2AF+2AO+AB ，
=2AF+2AB+AF+AB=3AB+4AF .
(2)由正六边形性质，得 ∠BAF=2π3 .
因为 ID=IJ+JE+ED=AB+FA+AB=2AB−AF ，
所以 AL⋅LD=3AB+4AF⋅2AB−AF=6AB2+5AB⋅AF−4AF2 ,
=6AB2+5ABAFcs2π3−4AF2=6×4−5×2×2×12−4×4=−2.