人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课后测评

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课后测评，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知O为坐标原点，点A1,0 ，B3,4 ，M是线段AB的中点，那么向量 OM 的坐标是( )
A. 52,32 B. 2,2
C. 32,52 D. 12,72
2. 设D是△ABC所在平面内一点，BC=3CD ，设 AB=e1 ，AC=e2 ，则AD 在基 {e1,e2} 下的坐标为( )
A. 43,13 B. 43,−13 C. 13,−43 D. −13,43
3. 如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A2,3,B4,2 ，则AB可以表示为( )
A. 2i+3j B. 4i+2j C. 2i−j D. −2i+j
4. 如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底，若a=2，θ=45∘ ，则向量a的坐标为( )
A. 1,1 B. −1,−1
C. 2,2 D. −2,−2
5. 已知M3,−2,N5,−1 ，若NP=MN ，则P点的坐标为( )
A. 3,2 B. 3,−1 C. 7,0 D. 1,0
6. 已知向量 OP=32,12 ，将向量 OP 绕原点 O 沿逆时针方向旋转 π3 到 OP 的位置，则点 P′的横坐标为( )
A. -1 B. −12 C. 0 D. 1
7. 已知 O 为坐标原点，若点 M 的坐标 1,2 ，向量 AB=1,2 ，则( )
A. 点 M 在直线 AB 上
B. 点 M 在直线 AB 上
C. AB 的位置向量为 OM
D. MO=AB
8. 在平面直角坐标系中， a=2018 ， a 与 x 轴正半轴的夹角为 π3 ，则向量 a 的坐标是( )
A. 10092,10092 B. −10092,10092
C. 1009,±10093 D. 10093,1009
二、多选题
9. 已知 AB=−2,4 ，则下列说法不正确的是( )
A. A 点的坐标是 −2,4
B. B 点的坐标是 −2,4
C. 当 B 是原点时， A 点的坐标是 −2,4
D. 当 A 是原点时， B 点的坐标是 −2,4
10. 在平面直角坐标系 xOy 中， i ， j 分别是与 x ， y 轴正方向相同的单位向量，对于直角 ΔABC ，若 AB=2i+j ， AC=3i+kj ，则实数 k 可能的取值为( )
A. -1 B. 2 C. -6 D. 12+1211
11. 已知向量 i=1,0,j=0,1 ，对坐标平面内的任一向量 a ，下列说法错误的是( )
A. 存在唯一的一对实数 x,y ，使得 a=x,y
B. 若 x1,x2,y1,y2∈R,a=x1,y1≠x2,y2 ,则 x1≠x2 ,且 y1≠y2
C. 若 x,y∈R,a=x,y ，且 a≠0 ，则 a 的起点是原点 O
D. 若 x,y∈R,a≠0 ，且 a 的终点坐标是 x,y ，则 a=x,y
三、填空题
12. 平面直角坐标系内， O 为坐标原点，若点 A3,5 ，则向量 OA 的向量正交分解形式是_____.
13. 已知 a ， b 都是单位向量，夹角为 60∘ ，若向量 m=xa+yb ，则称 m 在基底 a ， b 下的坐标为 x,y ，已知 AB 在基底 a ， b 下的坐标为 2,−3 ，则 AB= _____.
14. 如图，在正方形 ABCD 中， O 为中心，且 OA=−1,−1 ，则 OB= _____； OC= _____； OD= _____.
四、解答题
15. 已知 e1 ， e2 是平面内两个相互垂直的单位向量，且 a=−2e1+e2 ， b=3e1−2e2 ， c=−3e1 ，求 a ， b ， c 的坐标.
16. 已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A2,1 ， B−1,3 ， C3,4 ， D6,2 ，求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
17. 如图，在平行四边形 ABCD 中， AD⊥AC ， E 为DC上靠近D的三等分点， G 为 BC 上靠近C的三等分点，且 HI : IB 恰为 3 : 5,若以 A 为原点， AC 为 x 轴， AD 为 y 轴， AC ， AD 为基底.
(1)求 AI 坐标.
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一、单选题
1. 答案：B
解析：中点坐标公式为：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则中点Mx1+x22,y1+y22。
代入A(1,0)，B(3,4)，得M1+32,0+42=(2,2)，向量OM的坐标与M点坐标一致，即(2,2)。
2. 答案：D
解析：由BC=3CD得CD=13BC，则AD=AC+CD。
又BC=AC−AB=e2 −e1，故CD=13(e2 −e1)。
因此AD=e2 +13(e2 −e1)=−13e1+43e2 ，坐标为−13,43。
3. 答案：C
解析：向量坐标运算：AB=(xB−xA,yB−yA)，代入A(2,3)，B(4,2)，得AB=(4−2,2−3)=(2,−1)。
由i=(1,0)，j=(0,1)，得AB=2i−j。
4. 答案：A
解析：向量的坐标可由模长和夹角表示：a=(|a|csθ,|a|sinθ)。
代入|a|=2，θ=45∘，得a=(2cs45∘,2sin45∘)=(2×22,2×22)=(1,1)。
5. 答案：C
解析：设P(x,y)，则NP=(x−5,y+1)，MN=(5−3,−1−(−2))=(2,1)。
由NP=MN得x−5=2y+1=1，解得x=7y=0，即P(7,0)。
6. 答案：B
解析：先求OP=(32,12)与x轴正方向夹角：csθ=32，sinθ=12，故θ=30∘。
逆时针旋转π3(60∘)后，夹角为30∘+60∘=90∘，|OP|=|OP′|=(32)2+(12)2=1。
则P′横坐标为1×cs90∘=−12（或用旋转公式：x′=xcsα−ysinα，代入x=32,y=12,α=60∘，得x′=32×12−12×32=−12）。
7. 答案：C
解析：位置向量定义：以原点O为起点，指向点M的向量OM称为点M的位置向量。
已知M(1,2)，则OM=(1,2)，与AB=(1,2)相等，故AB的位置向量为OM；
A、B选项重复且无A,B坐标无法判断点M是否在直线AB上；D选项MO=(−1,−2)≠AB，错误。
8. 答案：C
解析：向量坐标公式：a=(|a|csθ,|a|sinθ)，θ为与x轴正半轴夹角。
代入|a|=2018，θ=π3，得csπ3=12，sinπ3=32，
则a=(2018×12,±2018×32)=(1009,±10093)（±表示向量可在x轴上/下方）。
二、多选题
9. 答案：ABC
解析：向量AB的坐标=(xB−xA,yB−yA)，仅知道向量坐标，无法确定起点A、终点B的具体坐标，故A、B错误；
当B为原点时，xB=0,yB=0，则0−xA=−2，0−yA=4，得A(2,−4)，C错误；
当A为原点时，xA=0,yA=0，则xB−0=−2，yB−0=4，得B(−2,4)，D正确。
10. 答案：AC
解析：△ABC为直角三角形，分三种直角情况：
1.∠A=90∘：AB⊥AC，则AB⋅AC=0。
AB=(2,1)，AC=(3,k)，得2×3+1×k=0，解得k=−6；
2.∠B=90∘：AB⊥BC，BC=AC−AB=(1,k−1)，
得2×1+1×(k−1)=0，解得k=−1；
3.∠C=90∘：AC⊥BC，得3×1+k×(k−1)=0，即k2−k+3=0，Δ=1−12=−11