高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算达标测试，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在正六边形 ABCDEF 中，向量 AB 与 AD 的夹角为( )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
2. 在 △ABC 中， AB=3,BC=4,∠B=60∘ ，则 AB⋅BC= ( )
A. 12 B. 6 C. -6 D. -12
3. 在 Rt △ABC 中， ∠ACB=90∘ ，且 BC=3 ，点 M 满足 BM=2MA ，则 CM⋅CB= ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在 △ABC 中， AB=a,AC=b ，若 a⋅b>0 ，则下列结论正确的为( )
A. △ABC 一定为钝角三角形 B. △ABC 一定为直角三角形
C. △ABC 一定为锐角三角形 D. △ABC 可为任意三角形
5. 如图， ABCD 是边长2的正方形， P 为半圆弧 BC 上的动点(含端点)则 AB⋅AP 的取值范围为( )
A. 2,6 B. 2,3 C. 4,6 D. 4,8
6. 已知非零向量 a,b 满足 a=2 ，且 ⟨a,b⟩=2π3 ，则 a+2b 的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
7. 在边长为6的菱形 ABCD 中， ∠DAB=π3 ， AM=2MB ，则 DM⋅DB= ( )
A. 15 B. 152 C. 30 D. 20
8. 如图，在圆 O 中，已知弦 AB=4 ，弦 AC=6 ，那么 AO⋅BC 的值为( )
A. 10 B. 213 C. 10 D. -10
9. 在 △ABC 中， AB=8 ， AC=6 ， O 是 △ABC 外接圆的圆心， M 在线段 BC 上，则 AM⋅AO 的取值范围是( )
A. 18,25 B. 18,32 C. 4,25 D. 4,32
二、多选题
10. 设平面向量 a=1,b=2,b 在 a 方向上的投影向量为 c ，则( )
A. a⋅c=c⋅b B. a⋅b=a⋅c
C. a⋅c≤2 D. a⋅c=a⋅c
11. 下列说法正确的是 ( )
A. 对任意向量 a,b ，都有 a⋅b=b⋅a
B. 若 a⋅b=a⋅c 且 a≠0 ，则 b=c
C. 对任意向量 a,b,c ，都有 a⋅b⋅c=a⋅b⋅c
D. 对任意向量 a,b,c ，都有 a+b⋅c=a⋅c+b⋅c
12. 已知向量 a,b 满足 a=1，b=2，a+b=3 ，则下列结论中正确的是( )
A. a⊥a−b B. a⋅b=−1 C. a 与 b 夹角为 2π3 D. a−b=7
三、填空题
13. 若 a=3,b=2 ，向量 a 与向量 b 的夹角为 π3 ，则 a⋅b= _____.
14. 在菱形 ABCD 中， E 为边 AD 的中点，若 AB⋅AC=2 ，则 BE⋅AC= _____.
15. 已知向量 a,b 的夹角为 π3,a−b⊥b ，则 ab= _____， a+ba−b= _____.
四、解答题
16. 若 △ABC 为等边三角形，求下列各角:
(1) ⟨CA,CB⟩ ；
(2) ⟨AC,BC⟩ ；
(3) ⟨AB,BC⟩ .
17. 在Rt △ABC 中， AB=23 ， BC=2 ， AC=4 ， D 是 AC 的中点，求 AB 在 BD 方向上的数量投影.
18. 已知向量 a,b 满足 a=1,b=2 .
(1)若 ⟨a,b⟩=60∘ ，求 a+b ；
( 2 )若 a−b⊥a ，求当 k 为何值时， ka−b⊥a+2b .
6.2.4 向量的数量积 标准答案
一、单选题
1. 答案：B
解析：正六边形ABCDEF中，AD为过中心的对角线，将正六边形平分为两个正三角形，AB与AD的夹角为正六边形的内角半角，正六边形每个内角为2π3，故⟨AB,AD⟩=π3。
2. 答案：C
解析：向量数量积公式：m⋅n=|m||n|csθ（θ为两向量的夹角，范围[0,π]）。
AB与BC的夹角为180∘−∠B=120∘，代入得：
AB⋅BC=|AB|⋅|BC|⋅cs120∘=3×4×(−12)=−6。
3. 答案：B
解析：因为 BM=2MA，
所以 M 为 AB 的三等分点，且靠近于点 A。
如图所示，过点 M 作 MD⊥CB 于 D，
则 |CD|=13|CB|=1。
所以 CM⋅CB=|CM|⋅|CB|cs⟨CM,CB⟩=|CM|⋅cs⟨CM,CB⟩⋅|CB|=|CB|⋅|CD|=3×1=3。
故选 B。
5. 答案：A
解析：建系法，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系：
A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，半圆弧BC的圆心为(2,1)，半径为1，设P(2+csθ,1+sinθ)（θ∈[π2,3π2]，保证P在半圆弧BC上）。
向量表示：AB=(2,0)，AP=(2+csθ,1+sinθ)，
数量积：AB⋅AP=2×(2+csθ)+0×(1+sinθ)=4+2csθ。
因csθ∈[−1,1]，故4+2csθ∈[2,6]。
6. 答案：B
解析：|a+2b|2=|a|2+4a⋅b+4|b|2=4|b|2−4|b|+4=（2|b|−1）2+3≥3，所以|a+2b|≥3 ，当且仅当|b|=12时，等号成立，故选B
7. 答案：C
解析：菱形性质：|AB|=|AD|=6，DB=AB+AD；由AM=2MB，得AM=23AB，故DM=AM−AD=23AB−AD。
数量积展开：
DM=DA+AM=−AD+23AB，DB=AB−AD，
DM⋅DB=23AB−AD⋅(AB−AD)=23|AB|2−53AB⋅AD+|AD|2
=23×36−53×18+36=24−30+36=30。
8. 答案：A
解析：圆的核心性质：圆心与弦中点的连线垂直于弦，故取AB中点E，AC中点F，则AO⋅AB=2AE⋅AO=|AE|2=12|AB|2，同理AO⋅AC=12|AC|2。
向量分解：BC=AC−AB，
数量积：AO⋅BC=AO⋅AC−AO⋅AB=12×62−12×42=18−8=10。
9. 答案：B
解析：外心O的性质：AO⋅AB=12|AB|2=32，AO⋅AC=12|AC|2=18。
设BM=λBC（λ∈[0,1]，M在线段BC上），则AM=AB+λBC=AB+λ(AC−AB)=(1−λ)AB+λAC。
数量积计算：
AM⋅AO=(1−λ)AB⋅AO+λAC⋅AO=(1−λ)×32+λ×18=32−14λ。
当λ=0（M与B重合）时，AM⋅AO=32；
当λ=1（M与C重合）时，AM⋅AO=18；
故取值范围为[18,32]。
二、多选题
10. 答案：BCD
解析：投影向量公式：b在a方向上的投影向量c=a⋅b|a|⋅a|a|，代入|a|=1，得c=(a⋅b)a。
A：a⋅c=a⋅[(a⋅b)a]=a⋅b；c⋅b=(a⋅b)a⋅b=(a⋅b)2，仅当a⋅b=0或1时相等，错误；
B：a⋅c=a⋅[(a⋅b)a]=a⋅b，正确；
C：|a⋅c|=|a⋅b|≤|a||b|=2（三角不等式），正确；
D：c与a同向，故a⋅c=|a||c|cs0∘=|a||c|，正确。
11. 答案：AD
解析：向量数量积的核心运算性质：
A：数量积满足交换律，a⋅b=|a||b|csθ=b⋅a，正确；
B：a⋅b=a⋅c ⇒ a⋅(b−c)=0，仅能推出a⊥(b−c)，而非b=c，错误；
C：(a⋅b)c是与c共线的向量，a⋅(b⋅c)是与a共线的向量，a、c不共线时不相等，错误；
D：数量积满足分配律，(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c，正确。
12. 答案：BCD
解析：先由模长平方求a⋅b：
|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2，代入|a+b|=3，|a|=1，|b|=2：
3=1+2a⋅b+4 ⇒ a⋅b=−1，B正确。
A：a⋅(a−b)=|a|2−a⋅b=1−(−1)=2≠0，故a与a−b不垂直，错误；
C：夹角公式cs⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=−11×2=−12，又⟨a,b⟩∈[0,π]，故夹角为2π3，正确；
D：模长平方计算：|a−b|2=|a|2−2a⋅b+|b|2=1−2×(−1)+4=7，故|a−b|=7，正确。
三、填空题
13. 答案：3
解析：直接用数量积公式：
a⋅b=|a||b|cs⟨a,b⟩=3×2×csπ3=6×12=3。
14. 答案：1
解析：菱形性质：AC=AB+AD，|AB|=|AD|；E为AD中点，故AE=12AD，BE=AB−AE=AB−12AD。
已知AB⋅AC=2，即AB⋅(AB+AD)=|AB|2+AB⋅AD=2。
数量积计算：
BE⋅AC=AB−12AD⋅(AB+AD)=|AB|2+12AB⋅AD−12|AD|2。
因|AB|=|AD|，故|AB|2−|AD|2=0，则：
BE⋅AC=122|AB|2+AB⋅AD=12×2=1。
15. 答案：2；213
解析：
(1) 由(a−b)⊥b，得(a−b)⋅b=0，展开得：
a⋅b−|b|2=0 ⇒ a⋅b=|b|2。
代入夹角π3，a⋅b=|a||b|csπ3=12|a||b|，故：
12|a||b|=|b|2 ⇒ |a||b|=2（|b|≠0）。
(2) 设|b|=t，则|a|=2t，分别求|a+b|和|a−b|：
|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2=4t2+2×2t2+t2=7t2，
|a−b|2=|a|2−2a⋅b+|b|2=4t2−2×2t2+t2=3t2，
故|a+b||a−b|=7t23t2=213（t>0）。
四、解答题
16. 解：等边三角形△ABC中，AB=BC=CA，内角均为60∘，向量夹角为起点重合时的夹角
(1) ⟨CA,CB⟩：起点均为C，夹角为∠ACB=60∘（或π3）；
(2) ⟨AC,BC⟩：AC=−CA，BC=−CB，反向不改变夹角，故夹角为60∘（或π3）；
(3) ⟨AB,BC⟩：起点分别为A、B，将AB平移至起点B，夹角为180∘−∠ABC=120∘（或2π3）。
17. 解：数量投影公式：AB在BD方向上的数量投影=AB⋅BD|BD|。
步骤1：验证直角并建系
由|AB|=23，|BC|=2，|AC|=4，满足|AB|2+|BC|2=|AC|2，故∠ABC=90∘。
以B为原点，BA为x轴，BC为y轴建系：B(0,0)，A(23,0)，C(0,2)。
步骤2：求向量坐标
D为AC中点，故D(3,1)；
AB=(0−23,0−0)=(−23,0)，BD=(3−0,1−0)=(3,1)。
步骤3：计算数量积和模长
AB⋅BD=−23×3+0×1=−6，
|BD|=(3)2+12=2。
步骤4：求数量投影
投影=−62=−3。
18. 解：
(1) 求|a+b|
利用模长平方公式：
|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2，
代入⟨a,b⟩=60∘，a⋅b=|a||b|cs60∘=1×2×12=1：
|a+b|2=1+2×1+4=7，故|a+b|=7。
(2) 求实数k
① 由(a−b)⊥a，得(a−b)⋅a=0，展开：
|a|2−a⋅b=0 ⇒ a⋅b=|a|2=1。
② 由(ka−b)⊥(a+2b)，得(ka−b)⋅(a+2b)=0，展开：
k|a|2+(2k−1)a⋅b−2|b|2=0。
③ 代入|a|=1，a⋅b=1，|b|=2：
k×1+(2k−1)×1−2×4=0，
化简：k+2k−1−8=0 ⇒ 3k=9 ⇒ k=3。