北师大版（2024）数学七年级下册 期中质量检测 （试卷含答案）

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一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.单项式－x与单项式3xy的积为（A）
A.－3x2y B.3x2y C.－3xy2 D.3xy2
2.某种生物细胞的直径约为0.000 506 m，将0.000 506用科学记数法表示为（B）
×10－3 ×10－4 ×10－5 D.506×10－5
3.如图，∠1与∠2不是同旁内角的是（D）
4.下列计算结果中正确的是（C）
A.2a3＋a3＝3a6 B.(－a)2·a3＝－a6
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(－2)＝4 D.(－a)0＝－1
5.下列事件中，发生的可能性是 eq \f(1,2) 的是（C）
A.明天会下雪
B.一副扑克牌(去掉大，小王)任意抽取一张，抽到方块
C.任意掷一枚均匀的硬币，国徽面朝上
D.掷一枚均匀的骰子“2”朝上
6.如图，已知∠3＝135°，要使AB∥CD，则需具备的另一个条件是（C）
A.∠1＝45° B.∠2＝135° C.∠2＝45° D.∠1＝135°
7.现定义一种新运算“⊙”，对任意有理数m，n。规定m⊙n＝mn(m－n)，如1⊙2＝1×2×(1－2)＝－2，则(a＋b)⊙(a－b)的值是（B）
A.2ab2－2b2 B.2a2b－2b3 C.2ab2＋2b2 D.2ab－2ab2
8.如图，已知直线l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（B）
A.15° B.20° C.25° D.30°
9.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是eq \f(3,5)，则口袋中白色球可能有（B）
A.12个 B.24个 C.32个 D.28个
10.如图，AB，CD，EF三条直线交于点O，且OE⊥AB，∠COE＝20°，OG平分∠BOD，则∠DOG的度数是（C）
A.20° B.30° C.35° D.40°
11.某同学在计算－3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3－3x2＋3x，由此可以推断出正确的计算结果是（A）
A.－x2－2x－1 B.x2＋2x－1 C.－x2＋4x－1 D.x2－4x＋1
12.如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（D）
A.∠BCD＝∠DCE
B.∠ABC＋∠BCE＋∠CEF＝360°
C.∠BCE＋∠DCE＝∠ABC＋∠BCD
D.∠ABC＋∠BCE－∠CEF＝180°
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.不透明的袋子中有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则“取出的2个球中有红球”为必然(选填“不可能”“必然”或“随机”)事件。
14.数学具有广泛的应用性，请写出一个将基本事实“垂线段最短”应用于生活的例子：要把河流l的水引到水池A中，过A向l引垂线，垂足是B，沿线段AB修水渠，就能使水渠最短(答案不唯一)。
15.若(－x＋a)(3x－1)的结果中不含x的一次项，则a的值为 －eq \f(1,3)。
16.如图，AB∥CD，BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠ABF的度数为 72°。
eq \x(【解析】延长FB交CD于点G。)
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(12分)计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))eq \s\up12(0)＋(－2)3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－2)＋|－2 025|；
解：原式＝1＋(－8)＋9＋2 025
＝2 027。
(2)(2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)。
解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy
＝9xy。
18.(10分)如图，∠ABC＝40°，∠BAE＝140°，点D在线段BC上。
(1)请用无刻度的直尺和圆规在AE上找一点F，使∠FDC＝2∠ABC(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求∠DFE的度数。
解：(1)如图，点F即为所求。
(2)由(1)可知，
∠FDC＝2∠ABC＝80°，
因为∠ABC＝40°，∠BAE＝140°，
所以∠ABC＋∠BAE＝180°，
所以AE∥BC，所以∠DFE＝180°－∠FDC＝100°。
19.(10分)乐乐家附近的商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，AB为转盘直径，并规定：顾客消费50元(含50元)以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准9折、8折、7折区域，顾客就可以获得相应的优惠。
(1)某顾客消费40元，是否可以获得转盘的机会？
(2)某顾客正好消费66元，他转一次转盘，获得三种打折优惠的概率分别是多少？
解：(1)因为规定消费50元(含50元)以上才能获得一次转盘的机会，40＜50，
所以某顾客消费40元，不能获得转盘的机会。
(2)某顾客正好消费66元，超过50元，可以获得转盘的机会，P(9折)＝eq \f(90,360)＝eq \f(1,4)，
P(8折)＝eq \f(60,360)＝eq \f(1,6)，P(7折)＝eq \f(30,360)＝eq \f(1,12)。
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB＝5 cm。
(1)点B到AC的距离是4cm；点A到BC的距离是3cm；
(2)画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离。
解：(2)如图所示，作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离。
因为S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AC＝eq \f(1,2)AB·CD，
所以CD＝eq \f(BC·AC,AB)＝eq \f(12,5) cm。
21.(10分)(1)计算：2 0252－2 023×2 027；
(2)先化简，再求值：[2x(x3y2＋xy)－2y(x2－x4y)]÷2x2y，其中x＝－2，y＝3。
解：(1)原式＝2 0252－(2 025－2)(2 025＋2)
＝2 0252－(2 0252－22)
＝2 0252－2 0252＋4＝4。
(2)原式＝(2x4y2＋2x2y－2x2y＋2x4y2)÷2x2y
＝4x4y2÷2x2y＝2x2y，
当x＝－2，y＝3时，原式＝24。
22.(10分)如图，△ABC中，D为AC边上一点，过点D作DE∥AB，交BC于点E，F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G，且∠DFA＝∠A。
(1)试说明DE平分∠CDF；
(2)若∠C＝80°，∠ABC＝60°，求∠G的度数。
解：(1)因为DE∥AB，
所以∠A＝∠CDE，∠DFA＝∠FDE，
因为∠DFA＝∠A，
所以∠CDE＝∠FDE，
所以DE平分∠CDF。
(2)因为∠C＝80°，∠ABC＝60°，
所以∠A＝40°，∠ABG＝120°，
因为∠DFA＝∠A，所以∠GFB＝∠DFA＝40°，
所以∠G＝180°－∠ABG－∠GFB＝20°。
23.(12分)如图①，长方形的两边长分别为m＋3，m＋13；如图②，长方形的两边长分别为m＋5，m＋7。(其中m为正整数)
(1)用含m的式子分别表示图①的面积S1和图②的面积S2，并比较S1，S2的大小；
(2)现有一个正方形的周长与图①中的长方形的周长相等，试探究该正方形的面积与图①中的长方形的面积的差是否是一个常数。如果是，求出这个常数；如果不是，请说明理由。
解：(1)因为S1＝(m＋13)(m＋3)＝m2＋16m＋39，
S2＝(m＋7)(m＋5)＝m2＋12m＋35，
所以S1－S2＝4m＋4>0，所以S1>S2。
(2)是，由题意知正方形的边长为eq \f(2[（m＋13）＋（m＋3）],4)＝m＋8，
所以正方形的面积为m2＋16m＋64，
因为m2＋16m＋64－(m2＋16m＋39)＝25，
所以该正方形的面积与图①中的长方形的面积的差是一个常数，为25。
24.(12分)定义eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，如eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1 2,3 4))＝1×4－2×3＝－2.已知A＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2x＋1 1,nx－1 2x))(n为常数0)，B＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋1 x－1,x－1 x＋1))。
(1)若B＝4，则x的值为 1；
(2)若A的代数式中不含x的一次项，当x＝1时，求A＋B的值；
(3)若A中的n满足8×2n＋1＝24，且A＝B＋2时，求16x2－8x＋9的值。
解：(2)2x(2x＋1)－1×(nx－1)＝4x2＋(2－n)x＋1，
因为代数式中不含x的一次项，所以2－n＝0，解得n＝2，
所以A＝4x2＋1，所以A＋B＝4x2＋1＋4x，
把x＝1代入，得A＋B＝4×12＋1＋4×1＝9。
(3)8×2n＋1＝23×2n＋1＝2n＋4＝24，
所以n＋4＝4，所以n＝0，所以A＝4x2＋2x＋1，
因为B＋2＝4x＋2，所以4x2＋2x＋1＝4x＋2，即4x2－2x＝1，
所以16x2－8x＋9＝4＋9＝13。
25.(12分)已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点M，N。P是AB，CD之间的一点，且位于直线MN左侧，连接PM，PN。
【基础探究】
(1)Ⅰ.如图①，若∠AMP＝18°，∠CNP＝45°，则∠P的度数为 63°；
Ⅱ.在图①中探究∠AMP，∠CNP和∠MPN的数量关系，并说明理由；
【迁移应用】
直接运用(1)中的结论，解决下列问题：
(2)如图②，若MP平分∠AMN，NQ平分∠CNP，NQ交MP的延长线于点Q，∠Q＝50°，则∠PNM的度数为80°；
(3)如图③，若∠AME＝eq \f(1,3)∠AMP，∠CNF＝eq \f(1,3)∠CNP，ME交NP的延长线于点E，NF交MP的延长线于点F，请问eq \f(∠E＋∠F,∠MPN)是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由。

解：(1)Ⅱ.∠MPN＝∠AMP＋∠CNP，
理由：过点P作PH∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥PH∥CD，
所以∠HPM＝∠AMP，∠HPN＝∠CNP，
所以∠MPN＝∠HPM＋∠HPN
＝∠AMP＋∠CNP。
(3)eq \f(∠E＋∠F,∠MPN)是定值，eq \f(∠E＋∠F,∠MPN)＝eq \f(4,3)。
由(1)可得∠E＝∠AME＋∠CNE，∠F＝∠CNF＋∠AMF，∠MPN＝∠AMF＋∠CNE，设∠AME＝x，∠CNF＝y，
所以∠AMP＝3x，∠CNP＝3y，所以∠E＝x＋3y，∠F＝3x＋y，∠MPN＝3x＋3y，所以eq \f(∠E＋∠F,∠MPN)＝eq \f(x＋3y＋3x＋y,3x＋3y)＝eq \f(4,3)，
所以eq \f(∠E＋∠F,∠MPN)是定值，eq \f(∠E＋∠F,∠MPN)＝eq \f(4,3)。