初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 不等式及其性质第1课时教案及反思

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 不等式及其性质第1课时教案及反思，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.会用不等号表示简单的不等关系，了解不等式的意义，能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义.
2.感受生活中存在着大量的不等关系，初步体会不等式是刻画量与量之间关系的一种重要模型.
3.经历由具体实例建立不等模型的过程，进一步发展符号意识.
4.通过探索生活中的不等关系，感受数学的无处不在，拓宽对事物的认知.

二、教学重难点
重点：用不等式表示简单的不等关系．
难点：具体分析问题中的数量关系.

三、教学过程
情境导入
如图，用两根长度均为lcm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm²，那么绳长l应满足怎样的关系式？
提示：能用含 l 的式子表示这个正方形的面积吗？
教师活动：教师提出问题，激发学生的思考，并用提示引导学生分析数量关系，引出本节课要讲的内容.
设计意图：通过情境问题引发学生的思考，调动学生的积极性，激发学生的探索欲.
探究新知
活动一：用不等号表示不等关系
教师活动：教师出示问题，在学生充分思考后，用课件展示分析过程和成果.问题涉及“不大于”“不小于”，先让学生举例说明对这两个词的认识，教师再明确这两个词的含义及符号表示.
问题1： 如图，用长度为 l cm的绳子围成一个正方形，要使正方形的面积不大于 25 cm2，那么绳长应满足怎样的关系式？
预设答案：
追问：“不大于”是什么意思？怎么用符号表示出来？
预设答案：(l4)2不大于25，即(l4)2小于或等于25，即 l216≤25.
设计意图：通过探究问题直接建立不等关系，让学生充分感受生活中的不等关系，锻炼学生分析问题中数量关系的能力，更好地感受模型思想.
总结：“不大于”指的是“小于或等于”，通常用符号“≤”表示.
例如： x 不大于10可以表示为 x ≤10（读作“ x 小于或等于10”）.
类似地，“不小于”指的是“大于或等于”，通常用符号“≥”表示(读作“大于或等于”).
问题2： 如果用长度为 l cm 的绳子围成一个圆，要使圆的面积不小于 100 cm2，那么绳长应满足怎样的关系式？
预设答案：
即 l24π ≥100.
问题3：当 l = 8 时，围成正方形或圆，哪个面积大？l = 12时呢？改变 l 的取值再试一试，由此你能得到什么猜想？
预设答案：
当 l = 8 时，正方形的面积为8216=4 (cm2)，圆的面积为824π=16π (cm2)，
4 < 16π，此时圆的面积大.
当 l = 12 时，正方形的面积为12216=9 (cm2)，圆的面积为1224π=36π (cm2)，
9 < 36π，此时还是圆的面积大.
改变 l 的值，如：l = 16，此时正方形的面积为16216=16 (cm2)，圆的面积为1624π=64π (cm2)，
16< 64π，仍能得到相同的结论.
猜想: 用长度均为 l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和一个圆，无论 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 l24π > l216.
设计意图：体会同类量之间最常见的比大小问题，并发展学生的归纳猜想能力，在解决这一串问题的过程中，让学生体会不等式与方程、函数一样，也是刻画事物变化规律的重要模型，并初步感知最优化思想.
活动二：不等式的认识
教师活动：教师出示问题，让学生进行回忆并动手推导，在学生充分交流得出结论后，用课件展示计算过程并进行归纳.
尝试·思考：(1)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李外部尺寸的长、宽、高之和不得超过160 cm. 设行李外部尺寸的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李外部尺寸的长、宽、高满足的关系式.
预设答案：长+宽+高 不超过（不大于，即小于或等于）
a+b+c ≤ 160
设计意图：进一步让学生经历由实际问题建立不等式的过程，为后面得出不等式的概念积累素材.
(2)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某棵树栽种时的树围为6cm，在一定生长期内每年增加约1cm，设经过x年后这棵树的树围超过10cm，请你列出x满足的关系式.
预设答案：初始树围 增长速度1cm/年 超过(大于)10 cm
6 + x >10
设计意图：让学生抽象概括不等式的概念.可与等式进行类比，培养学生的类比思想和语言表达能力.
观察·交流：观察由上述问题得到的关系式：l24π > l216，a+b+c≤160，6+x＞10，它们有什么共同特点？
预设答案：都由不等号连接.
总结：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫作不等式.
注：需要说明的是，用“≠”连接的式子也是不等式.
尝试·交流：生活中存在许多不等关系，请你举几个用不等式表示的例子，并与同伴交流.
总结：常用的不等符号
设计意图：通过归纳帮助学生进行整理，并引出不等式的概念.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【经典例题】
例1.用适当的不等号表示下列关系 ：
a是正数；
x的2倍与3的和小于4；
x的一半与6的和大于x的4倍；
x的3倍不大于x与3的差.
分析：关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等，正确选择不等号．
教师活动：组织学生小组比拼，竞答竞速，交流思路.
解：(1) a＞0；
2x + 3 < 4；
12x + 6 > 4x；
(4)3x ≤ x − 3.
设计意图：例题训练，示范分析解答，进一步提高新知识的掌握.
课堂练习
【自选练习】
1.用适当的不等号表示下列关系：
(1)a 是非负数；
(2)直角三角形的一条直角边a比斜边c短；
(3) x 与17的和比它的5倍小；
(4)两数的平方和不小于这两数积的2倍.
解：(1) a≥0； (2) a < c；
(3) x + 17 < 5x； (4) a2+b2 ≥2ab.
明显的不等关系：如，大于、超过、比…大(＞)；小于、不足、比…小(＜)；不大于、不超过、至多(≤)；不小于、不低于、至少(≥)；不等于(≠)；
隐含的不等关系：
如，正数(＞0)；负数(＜0)；非负数(≥0)；非正数(≤0).
2.用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量 x（千克）应满足的不等式.
解：600x + 100(10 − x) ≥ 4200
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，小组比拼激发学生的学习兴趣，提升荣誉感，活跃课堂气氛．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.