2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升　培优点11　同构与异构（含解析）

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考点一 地位同等同构型
例1 若e2a-eb>4a2-b2+1，则( )
A.4a2>b2B.4a212bD.14a4a2-b2+1，
所以e2a-4a2>eb-b2+1，又eb-b2+1>eb-b2，
所以e2a-4a2>eb-b2，
令函数f(x)=ex-x2，求导得f'(x)=ex-2x，
令g(x)=ex-2x，求导得g'(x)=ex-2，
当x0，所以函数g(x)在(-∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，+∞)上单调递增，
则g(x)min=g(ln 2)=eln 2-2ln 2=2(1-ln 2)>0，即f'(x)>0，因此函数f(x)在R上单调递增，
不等式e2a-4a2>eb-b2等价于f(2a)>f(b)，于是2a>b，
对于A，B，取2a=1，b=-1，有4a2=b2，A，B错误；
对于C，D，122a0)有两个解，因为m>0，x>0，所以ln x>0，即x>1，
令g(t)=tet，t>0，原式等价于g(mx)=g(ln x)有两个解，
因为g'(t)=(t+1)et，则当t>0时，g'(t)>0，所以g(t)在(0，+∞)上单调递增，
所以mx=ln x(x>1)有两个大于1的解.
由mx=ln x，可得m=lnxx，令h(x)=lnxx(x>1)，
则h'(x)=1-lnxx2，
当1eln b±ln b，构造函数f(x)=ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x.
跟踪演练2 (2025·郑州模拟)已知函数f(x)=ex-1·lnxx.
(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当x∈(0，2)时，求证：f(x)≤x-1.
(1)解 由题意可知f'(x)=ex-1(xlnx+1-lnx)x2，
则f'(1)=1，又f(1)=0.
故所求切线方程为y=1×(x-1)，即y=x-1.
(2)证明 当x∈(0，2)时，要证f(x)=ex-1·lnxx≤x-1，
即证lnxx≤x-1ex-1，
即证lnxelnx≤x-1ex-1在x∈(0，2)上恒成立.
令p(x)=xex，则p'(x)=1-xex，
故当x0，当x>1时，t'(x)0).
令f(x)=ex-x-1，∴f'(x)=ex-1.
∴当x∈(-∞，0)时，f'(x)φ(0)=0，
即x-sin x>0，
∴ex+ln x-(x+ln x)-1+(x-sin x)>0，
即原不等式成立.
[规律方法] 异构是指在不等式或方程中构造多个不同的函数，常与不等式ex≥x+1，ln x≤x-1，x-sin x>0(x>0)等相结合，考查不等式恒成立、证明不等式、求函数零点等.
跟踪演练3 (2025·南昌模拟)已知正实数x，y满足x2+2y-2=ln x+ln y，则yx等于( )
A.2B.2C.14D.22
答案 C
解析 方法一 ∵x2+2y-2=ln x+ln y，
x>0，y>0，
∴x2-ln x-2=ln y-2y，
令f(x)=x2-ln x-2，x>0，
∴f'(x)=12-1x=x-22x，
当x∈(0，2)时，f'(x)f(b)，所以a>b.
2.(2025·白银模拟)若正实数x，y满足yln(xy)=ex，则y的最小值为( )
A.1B.eC.eD.2
答案 C
解析 由yln(xy)=ex，得xyln(xy)=xex，
故ln(xy)·eln(xy)=xex.
由题意得，x>0，xy>0，ex>0，所以ln(xy)>0.
设f(t)=tet，t>0，则f'(t)=(t+1)et>0，
∴f(t)在(0，+∞)上单调递增，
∵f(ln(xy))=f(x)，∴ln(xy)=x，
∴xy=ex，即y=exx，x>0，∴y'=(x-1)exx2，
当x∈(0，1)时，y'0，f(t)单调递增，
所以当t∈(0，+∞)时，f(t)≥f(e2)=-1e2，
所以实数a的取值范围为-1e2，+∞.
4.(2025·青岛模拟)若函数f(x)=x(1-ex)+ln x+a有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，0)B.(-∞，1]
C.[0，+∞)D.(1，+∞)
答案 D
解析 因为f(x)=x(1-ex)+ln x+a有两个零点，
所以x(1-ex)+ln x+a=0有两个不同的解，
故x+ln x+a-ex+ln x=0有两个不同的解，
设t=x+ln x，x>0，则t'=1+1x>0，
故t=x+ln x在(0，+∞)上单调递增，
而当x→0时，t→-∞，当x→+∞时，t→+∞，
故t=x+ln x的值域为R，
故t+a-et=0在R上有两个不同的解，
设s(t)=t+a-et，则s'(t)=1-et，
当t1，
又当t→+∞时，s(t)→-∞，当t→-∞时，s(t)→-∞，
故当a>1时，s(t)有两个不同的零点，所以a的取值范围是(1，+∞).
5.(5分)已知x，y为正实数，ln x+ln y=1y-x，则x+y的取值范围是 .
答案 [2，+∞)
解析 由ln x+ln y=1y-x，x>0，y>0，
得ln x+x=-ln y+1y=ln1y+1y，
构造函数f(x)=ln x+x，x>0，
则f'(x)=1x+1>0，
所以f(x)=ln x+x在(0，+∞)上单调递增，
又ln x+x=ln1y+1y，所以f(x)=f1y，则x=1y，即xy=1，
由基本不等式可知x+y≥2xy=2，
当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y的取值范围为[2，+∞).
6.(5分)已知函数f(x)=ln x+(a-1)x+1，不等式f(x)≤xex恒成立，则a的取值范围是 .
答案 (-∞，2]
解析 依题意ln x+(a-1)x+1≤xex恒成立，
即ex+ln x-(x+ln x)-1-(a-2)x≥0恒成立，
令g(x)=ex+ln x-(x+ln x)-1-(a-2)x(x>0)，
∵ex-x-1≥0，当且仅当x=0时等号成立，
∴ex+ln x-(x+ln x)-1≥0，当且仅当x+ln x=0时等号成立，
当a>2时，若ln x0+x0=0(x0>0)，
则g(x0)=e0-0-1-(a-2)x0=-(a-2)x00，∴(a-2)x≤0恒成立，显然g(x)≥0恒成立，满足题意，
故a的取值范围为(-∞，2].
7.(13分)(2025·晋中模拟)已知函数f(x)=1+lnxx.
(1)讨论f(x)的单调性；(6分)
(2)若eax-1+ax-x≥xf(x)对任意x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.(7分)
解 (1)函数f(x)=1+lnxx的定义域为(0，+∞)，
又f'(x)=-lnxx2，令f'(x)=0，得x=1，
当x∈(0，1)时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，+∞)时，f'(x)0，
则a≥lnx+1x，x>0，所以a≥f(x)max.
由(1)可知f(x)max=f(1)=1，
所以a≥1，故a的取值范围为[1，+∞).
8.(15分)已知函数f(x)=x(aex-1)，a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线l与直线x-ay+2=0垂直，求l的方程；(6分)
(2)若g(x)=f(x)+(2-ln x-x)e3+x，求证：当a>1时，g(x)>0.(9分)
(1)解 由题意知，f'(x)=aex(x+1)-1，
则f'(-1)=-1，即kl=-1.
因为切线l与直线x-ay+2=0垂直，
所以直线x-ay+2=0的斜率为1，得a=1，
则f(-1)=-1×(e-1-1)=1-1e，
故l的方程为y-1-1e=-1×(x+1)，
即x+y+1e=0.
(2)证明 由题意知g(x)=axex+(2-ln x-x)e3，
当a>1时，g(x)>xex+(2-ln x-x)e3，
故只需证xex+(2-ln x-x)e3≥0，
即证eln x+x≥(ln x+x-2)e3，
即证eln x+x-3≥ln x+x-3+1.
令F(t)=et-(t+1)，则F'(t)=et-1，
当t>0时，F'(t)>0，F(t)单调递增；
当t