2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升　培优点2　极化恒等式、等和线定理、奔驰定理与三角形四心（含解析）

这是一份2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升　培优点2　极化恒等式、等和线定理、奔驰定理与三角形四心（含解析），共16页。
考点一 极化恒等式
极化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2].
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
①PM·PN=14(|PQ|2-|NM|2)(平行四边形模式)；
②PM·PN=|PO|2-14|NM|2(三角形模式).
例1 (1)在△ABC中，AB=2，cs(A-B)cs(B-C)cs(C-A)=1，P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1，则PB·PC的取值范围是( )
A.-32，92B.-12，112
C.3-23，3+23D.3-3，3+3
答案 C
解析 因为A，B，C∈(0，π)，
所以A-B∈(-π，π)，B-C∈(-π，π)，C-A∈(-π，π)，
可得cs(A-B)∈(-1，1]，cs(B-C)∈(-1，1]，
cs(C-A)∈(-1，1]，
若cs(A-B)cs(B-C)cs(C-A)=1，
则cs(A-B)=1，cs(B-C)=1，cs(C-A)=1，
可得A-B=0，B-C=0，C-A=0，
所以A=B=C，所以△ABC是边长为2的等边三角形.
如图，取BC的中点G，由PA=1可知点P的轨迹是半径为1的圆，
根据极化恒等式可知PB·PC=|PG|2-|BG|2，
易知PGmin=AG-PA=3-1，PGmax=AG+PA=3+1，
故(3-1)2-12≤PB·PC≤(3+1)2-12，
即3-23≤PB·PC≤3+23，
所以PB·PC 的取值范围是[3-23，3+23].
(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是( )
A.[0，1]B.[0，2]
C.[1，3]D.[0，4]
答案 B
解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径.设内切球的球心为O，
则PM·PN=PO2-ON2=PO2-1.
由于P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，3]，
所以PM·PN的取值范围是[0，2].
[规律方法] 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.
注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.
跟踪演练1 (1)已知正△ABC的边长为2，动点P满足PC=1，则PA·PB的最小值为( )
A.4-22B.3-22
C.3-23D.4-23
答案 C
解析 因为动点P满足PC=1，
所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图所示，
设D为AB的中点，
则PA·PB=(PD+DA)·(PD+DB)=PD2-DB2=PD2-1，
所以当|PD|取最小值时，PA·PB取得最小值，|PD|min=|CD|-1=3-1，
所以(PA·PB)min=(3-1)2-1=3-23.
(2)如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=42，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME·MF的最小值为 .
答案 -4
解析 依题意BC=4，D为线段EF的中点，
则ME+MF=2MD，
ME·MF=14[(ME+MF)2-(ME-MF)2]
=MD2-14FE2，
由于|MD|min=2，FE2=32，
所以ME·MF的最小值为-4.
考点二 等和线
平面向量等和线定理
平面内一组基底{OA，OB}及任一向量OP，且OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k=|OP||OF|=OB1||OB|=OA1||OA|，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比.
例2 (1)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC=xOA+yOB.其中x，y∈R，则3x+5y的最大值为( )
A.34B.5C.37D.6
答案 A
解析 如图所示，分别取OM=13OA，ON=15OB，OC=xOA+yOB=3xOM+5yON，根据等和线知识可得3x+5y=|OC||OD|，当OD⊥MN时，|OD|取得最小值，|OD|min=|OM|·|ON||MN|=13×15132+152=134，故(3x+5y)max=1|OD|min=34.
(2)(2025·泉州模拟)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP=αAB+βAF(α，β∈R)，则α+β的取值范围是 .
答案 [3，4]
解析 如图，直线BF为k=1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α+β∈ANAM，ADAM.设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故α+β∈[3，4].
[规律方法] 用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
跟踪演练2 (1)(2025·南昌模拟)已知O是△ABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在△OBC内(不含边界)，若AM=λAB+μAC(λ，μ∈R)，则λ+2μ的取值范围是( )
A.1，52B.(1，2)
C.23，1D.12，1
答案 B
解析 因为O是△ABC内一点，且OA+OB+OC=0，所以O为△ABC的重心.
取AC的中点D，则点O在BD上，且AC=2AD，AM=λAB+μAC=λAB+2μAD，
作一系列与BD平行的直线与CD相交(图略)，
所以当点M在边OB上时，λ+2μ取得最小值1；
当点M与C重合时，λ+2μ取得最大值2，
因为M在△OBC内且不含边界，
所以λ+2μ的取值范围为(1，2).
(2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=2π3，若点C为弧AB上任意一点，且OC=xOA+yOB(x，y∈R)，则x+y的最大值是 .
答案 2
解析 如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{OB，OA}为基底，k1=1的等和线，所有与直线AB平行且与弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥AB.
因为OA=1，∠AOB=2π3，
所以OE=12，则k=|DO||OE|=112=2，
即x+y的最大值为2.
考点三 奔驰定理
奔驰定理：
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.
例3 (1)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的( )
A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍
答案 A
解析 因为DA+DB+12DC
=0，
即2DA+2DB+DC=0，
所以S△BCD∶S△ACD∶S△ABD=2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍.
(2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设AO=λAB+μAC，则实数λ和μ的值分别为( )
A.29，49B.49，29
C.19，29D.29，19
答案 A
解析 根据奔驰定理，得3OA+2OB+4OC=0，
即3OA+2(OA+AB)+4(OA+AC)=0，
整理得AO=29AB+49AC，
故λ=29，μ=49.
[规律方法] 已知P为△ABC内一点，且xPA+yPB+zPC=0(x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0)，则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|；
(2)S△PBCS△ABC=xx+y+z，
S△PACS△ABC=yx+y+z，S△PABS△ABC=zx+y+z.
跟踪演练3 (1)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM-AB-AC=0，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A.1∶2B.1∶3
C.1∶4D.2∶5
答案 B
解析 方法一 将3AM-AB-AC=0变形可得MA+MB+MC=0，
根据奔驰定理可知
S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1，
则S△ABM∶S△ABC=1∶3.
方法二 如图，D为BC边的中点，则AD=12(AB+AC)，
因为3AM-AB-AC=0，
所以3AM=AB+AC=2AD，
所以AM=23AD，
所以S△ABM=23S△ABD=13S△ABC，即S△ABM∶S△ABC=1∶3.
(2)已知点P，Q在△ABC内，PA+2PB+3PC=2QA+3QB+5QC=0，则|PQ||AB|= .
答案 130
解析 根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB=2∶3∶5，
∴S△PAB=S△QAB=12S△ABC，∴PQ∥AB，
又∵S△PBC=16S△ABC，S△QBC=15S△ABC，
∴|PQ||AB|=S△QBC-S△PBCS△ABC=15-16=130.
考点四 奔驰定理与三角形四心
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
①若O为△ABC的重心，则OA+OB+OC=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；
②若O为△ABC的外心，则sin 2A·OA+sin 2B·OB+sin 2C·OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|；
③若O为△ABC的内心，则a·OA+b·OB+c·OC=0，或sin A·OA+sin B·OB+sin C·OC=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；
④若O为△ABC的垂心，则tan A·OA+tan B·OB+tan C·OC=0，且OA·OB=OB·OC=OC·OA.
考向1 奔驰定理与重心
例4 已知O是△ABC的重心，AB·AC=2，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为( )
A.33B.3C.32D.23
答案 A
解析 ∵O是△ABC的重心，∴OA+OB+OC=0，
由奔驰定理知S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=1∶1∶1，
∴S△OBC=13S△ABC.
∵AB·AC=2，∴|AB||AC|cs∠BAC=2，
∵∠BAC=60°，∴|AB||AC|=4，
又S△ABC=12|AB||AC|sin∠BAC=3，
∴△OBC的面积为33.
考向2 奔驰定理与外心
例5 已知点P是△ABC的外心，且PA+PB+λPC=0，C=5π12，则λ= .
答案 6-22
解析 依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶λ，
∴sin 2A=sin 2B，
∴2A=2B或2A+2B=π(舍)，
∴A=B，又C=5π12，∴A=B=7π24，
又sin2Bsin2C=1λ，
∴λ=sin2Csin2B=sin5π6sin7π12=126+24=6-22.
考向3 奔驰定理与内心
例6 已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，2OA+2OB+3OC=0，则△ABC的外接圆面积为 .
答案 256π9
解析 ∵2OA+2OB+3OC=0，且O为内心，
∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3，
令a=2k，则b=2k，c=3k，k>0，
∴cs C=-18，sin C=378，
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
又S△ABC=12(a+b+c)·r=12absin C，
即12×7k×2=12×2k×2k×378，
解得k=473，c=47，
又2R=csinC=47378，解得R=163，
∴△ABC的外接圆面积S=πR2=256π9.
考向4 奔驰定理与垂心
例7 如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于( )
A.1∶2∶3B.1∶2∶4
C.2∶3∶4D.2∶3∶6
答案 A
解析 O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，
因此S1S2=BPAP=OPtan∠BOPOPtan∠AOP=tan∠BACtan∠ABC，
同理S1S3=tan∠BACtan∠ACB，
于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=S1∶S2∶S3，
由“奔驰定理”有S1·OA+S2·OB+S3·OC=0，
又OA+2OB+3OC=0，
所以S1∶S2∶S3=1∶2∶3，
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
[易错提醒] 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
跟踪演练4 (多选)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·MA+SB·MB+SC·MC=0.以下命题正确的有( )
A.若M为△ABC的重心，AB=6，AC=8，BC=213，则△BMC的面积为43
B.若M为△ABC的内心，2MA+3MB+7MC=0，则C=π3
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则 SA∶SB∶SC=2∶3∶1
D.若M为△ABC 的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cs∠AMB=66
答案 ABC
解析 对于A，由余弦定理得
cs A=AB2+AC2-BC22AB·AC=36+64-522×6×8=12，
又A∈(0，π)，所以A=π3，
所以S△ABC=12×6×8×sinπ3=123，
又M为△ABC的重心，所以MA+MB+MC=0，
即S△AMB∶S△AMC∶S△BMC=1∶1∶1，
所以S△BMC=13S△ABC=43，故A正确；
对于B，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，
由M为△ABC的内心，且2MA+3MB+7MC=0，
可得a∶b∶c=2∶3∶7，
令a=2k，则b=3k，c=7k，k>0，
cs C=4k2+9k2-7k22·2k·3k=12，
又C∈(0，π)，所以 C=π3，故B正确；
对于C，如图，
因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R，
因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，
所以∠BMC=90°，∠AMC=120°，
故∠AMB=360°-120°-90°=150°，
所以SA∶SB∶SC=12R2sin 90°∶12R2sin 120°∶12R2sin 150°=sin 90°∶sin 120°∶sin 150°
=1∶32∶12=2∶3∶1，故C正确；
对于D，由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，
则S△ABCSA=4，S△ABCSB=3，
延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E，如图，
设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，
所以cs∠BMD=x2y=cs∠AMF=y3x，得3x2=2y2，
所以cs∠BMD=66，
则cs∠AMB=-66，故D错误.
专题强化练
[分值：52分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设O点在△ABC内部，且有3OA+2OB+OC=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为( )
A.2B.3C.2D.3
答案 A
解析 根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为21=2.
2.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB=a，AC=b，向量AO=λa+μb，则λ+μ的值为( )
A.1B.34C.23D.12
答案 C
解析 如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，
设λ+μ=k，则k=|AO||AM|.
由题易知O为△ABC的重心，|AO||AM|=23，
所以λ+μ=23.
3.如图，正六边形的边长为22，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA·MB的取值范围为( )
A.[4，5]B.[5，7]C.[4，6]D.[5，8]
答案 B
解析 由极化恒等式可得，
MA·MB=|MO|2-|OA|2=|MO|2-1，
当OM与正六边形的边垂直时，|MO|min=6，
当点M运动到正六边形的顶点时，|MO|max=22，
所以|MO|∈[6，22]，则|MO|2∈[6，8]，
即MA·MB=(|MO|2-1)的取值范围为[5，7].
4.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·OA+S△OAC·OB+S△OAB·OC=0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·OA+b·OB+c·OC=0，则O为△ABC的( )
A.外心B.内心
C.重心D.垂心
答案 B
解析 记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC=12a·h2，S△OAC=12b·h3，
S△OAB=12c·h1，
因为S△OBC·OA+S△OAC·OB+S△OAB·OC=0，
则12a·h2·OA+12b·h3·OB+12c·h1·OC=0，
即a·h2·OA+b·h3·OB+c·h1·OC=0，
又因为a·OA+b·OB+c·OC=0，所以h1=h2=h3，所以点P是△ABC的内心.
5.已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，则S△ABC∶S△PBC等于( )
A.196B.32C.53D.194
答案 D
解析 由QR=13QB，
得PR-PQ=13(PB-PQ)，
整理得PR=13PB+23PQ=13PB+29PA，
由RP=13RC，得RP=13(PC-PR)，
整理得PR=-12PC，
∴-12PC=13PB+29PA，
整理得4PA+6PB+9PC=0，
∴S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4.
6.若H为△ABC所在平面内一点，且|HA|2+|BC|2=|HB|2+|CA|2=|HC|2+|AB|2，则点H是△ABC的( )
A.重心B.外心
C.内心D.垂心
答案 D
解析 |HA|2+|BC|2=|HB|2+|CA|2⇒|HA|2+(BH+HC)2=|HB|2+(CH+HA)2，
得BH·HC=CH·HA⇒HC·BA=0，即HC⊥BA；
|HA|2+|BC|2=|HC|2+|AB|2⇒|HA|2+(BH+HC)2=|HC|2+(AH+HB)2，
得BH·HC=AH·HB⇒BH·AC=0，即BH⊥AC；
|HB|2+|CA|2=|HC|2+|AB|2⇒|HB|2+(CH+HA)2=|HC|2+(AH+HB)2，
CH·HA=AH·HB⇒HA·CB=0，即HA⊥CB，所以H为△ABC的垂心.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·OA+SB·OB+SC·OC=0.设O是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为A，B，C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，若3OA+4OB+5OC=0，则以下命题正确的有( )
A.SA∶SB∶SC=3∶4∶5
B.O有可能是△ABC的重心
C.若O为△ABC的外心，则sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5
D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形
答案 AD
解析 对于A，由奔驰定理可得，3OA+4OB+5OC=SA·OA+SB·OB+SC·OC=0，
因为OA，OB，OC不共线，
所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，故A正确；
对于B，若O是△ABC的重心，
则OA+OB+OC=0，
因为3OA+4OB+5OC=0，所以OB=2CO，即O，B，C三点共线，故B错误；
对于C，当O为△ABC的外心时，
|OA|=|OB|=|OC|，
所以SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶
sin∠AOB=3∶4∶5，
即sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=3∶4∶5，故C错误；
对于D，当O为△ABC的内心时，
SA∶SB∶SC=12ar∶12br∶12cr
=a∶b∶c=3∶4∶5(r为内切圆半径，a，b，c分别为角A，B，C的对边)，
所以a2+b2=c2，所以C=π2，故D正确.
8.已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A.若|BC|OA+|AC|OB+|AB|OC=0，则点O是△ABC的重心
B.若OA·AC|AC|-AB|AB|=OB·BC|BC|-BA|BA|=0，则点O是△ABC的内心
C.若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0，则点O是△ABC的外心
D.若O为△ABC的外心，且2BO=BA+BC，则B为△ABC的垂心
答案 BCD
解析 对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D，E，
使得AD=ABc，AE=ACb，
则|AD|=|AE|=1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示，
则四边形ADFE是菱形，且AF=AD+AE=ABc+ACb，所以AF平分∠BAC，
因为|BC|OA+|AC|OB+|AB|OC=0，
即aOA+bOB+cOC=0，
所以a·OA+b·(OA+AB)+c·(OA+AC)=0，
即(a+b+c)OA+bAB+cAC=0，
所以AO=ba+b+cAB+ca+b+cAC
=bca+b+cABc+ACb=bca+b+cAF，
所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上，
同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误；
对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得AE=AC|AC|，AD=AB|AB|，如图，
则|AD|=|AE|=1，且AC|AC|-AB|AB|=DE，
因为OA·AC|AC|-AB|AB|=0，
即OA⊥DE，又|AD|=|AE|=1知，AO平分∠BAC，同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确；
对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图，
因为(OA+OB)·AB
=(OB+OC)·BC=0，
所以2OM·AB=2ON·BC
=0，
即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O是△ABC的外心，故C正确；
对于D，因为2BO=BA+BC，
所以OA=-OC，即O为AC的中点，
又O为△ABC的外心，
所以∠B=90°，则B为△ABC的垂心，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若CM·CN的最小值为3，则cs∠ACB= .
答案 2-2109
解析 取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM=12MN=1，
依题意，CM·CN=|CP|2-|PM|2=|CP|2-1，
因为CM·CN的最小值为3，
则|CP|的最小值为2，因此CO=2，
在Rt△AOC中，cs∠OCA=COCA=13，
sin∠OCA=223，
在Rt△BOC中，cs∠OCB=COCB=23，
sin∠OCB=53，
所以cs∠ACB=cs(∠OCA+∠OCB)
=cs∠OCAcs∠OCB-sin∠OCAsin∠OCB
=2-2109.
10.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC=π6，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为12，x，y，则x+y的最大值是 .
答案 33
解析 方法一 根据奔驰定理得，12PA+xPB+yPC=0，即AP=2xPB+2yPC，x>0，y>0，
平方得AP2=4x2PB2+4y2PC2+8xy|PB|·
|PC|·cs∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，∠BAC=π6，
所以|PA|=|PB|=|PC|，且∠BPC=2∠BAC=π3，
所以x2+y2+xy=14，
(x+y)2=14+xy≤14+x+y22，
解得x+y≤33，当且仅当x=y=36时取等号，
所以(x+y)max=33.
方法二 因为点P是△ABC的外心，所以
S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=sin 2∠BAC∶sin 2∠ABC∶sin 2∠ACB=12∶x∶y，x>0，y>0，
又∠BAC=π6，所以sin 2∠BAC=32，
所以x=33sin 2∠ABC，y=33sin 2∠ACB，
所以x+y=33(sin 2∠ABC+sin 2∠ACB)
=33sin2∠ABC+sin5π3-2∠ABC=33sin2∠ABC-π3，
又因为∠ABC∈0，5π6，所以2∠ABC-π3∈-π3，4π3，所以sin2∠ABC-π3∈-32，1，
所以x+y∈0，33，所以(x+y)max=33.