2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升　培优点13　泰勒展开式与超越不等式（含解析）

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1.泰勒公式
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对∀x∈(a，b)，
有f(x)=f(x0)+f'(x0)1！(x-x0)+f″(x0)2！(x-x0)2+…+f(n)(x0)n！(x-x0)n+Rn(x)，
其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.
2.麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f'(0)1！x+f″(0)2！x2+…+f(n)(0)n！xn+Rn(x)，
虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.
3.常见函数的麦克劳林展开式((xn)是高阶无穷小量)
(1)ex=1+x+x22！+…+xnn！+(xn)；
(2)sin x=x-x33！+x55！-…+(-1)n-1x2n-1(2n-1)！+(x2n-1)；
(3)cs x=1-x22！+x44！-x66！+…+(-1)nx2n(2n)！+(x2n)；
(4)ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)n-1xnn+(xn)，x∈(-1，1]；
(5)11-x=1+x+x2+…+xn+(xn)；
(6)(1+x)α=1+αx+α(α-1)2！x2+…+α(α-1)•••(α-n+1)n！xn+(xn)，x∈(-1，1).
4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)
(1)对数型超越放缩：x-1x≤ln x≤x-1(x>0)；
(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤11-x(x0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
故f 14>f(0)=0，
所以cs14-3132>0，
所以b>a，所以c>b>a.
方法三 (不等式放缩法)
cb=4tan14，
因为当x∈0，π2时，sin x1，所以c>b；
因为当x∈0，π2时，sin x1-2×182=3132，故b>a，所以c>b>a.
考点二 证明不等式
例2 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)2！x2+f(3)(0)3！x3+…+f(n)(0)n！xn+….其中，f″(x)表示f(x)的2阶导数，即f'(x)的导数，f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称为麦克劳林公式.
(1)写出f(x)=11-x的泰勒展开式(只需写出前4项)；
(2)根据泰勒公式估算sin12的值(精确到0.01)；
(3)证明：当x≥0时，ex-x22-sin x-cs x≥0.
(1)解 f(x)=11-x，f'(x)=1(1-x)2，f″(x)=2(1-x)3，f(3)(x)=6(1-x)4，
f(0)=f'(0)=1，f″(0)=2，f(3)(0)=6，
所以f(x)=11-x=1+x+x2+x3+….
(2)解 因为(sin x)'=cs x，(cs x)'=-sin x，
(-sin x)'=-cs x，(-cs x)'=sin x，
所以sin x=x-x33！+x55！-x77！+…，
故sin12=12-148+…≈12-148≈0.48.
(3)证明 方法一 由泰勒展开式ex=1+x+x22！+x33！+…+xnn！+…，
易知当x≥0时，ex≥1+x+x22，
所以ex-x22-sin x-cs x≥1+x+x22-x22-sin x-cs x=1+x-sin x-cs x≥x-sin x，
令g(x)=x-sin x，
则g'(x)=1-cs x≥0，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
故g(x)≥g(0)=0，即x-sin x≥0，
即证得ex-x22-sin x-cs x≥0.
方法二 令G(x)=ex-x22-sin x-cs x，
G'(x)=ex-x-cs x+sin x=ex-x-2csx+π4，
易知当x∈0，3π4时，y=ex-x，y=-2csx+π4均单调递增，
所以G'(x)=ex-x-2csx+π4在0，3π4上单调递增，
所以G'(x)≥G'(0)=0，
所以当x∈0，3π4时，G(x)单调递增，
所以G(x)≥G(0)=0，
当x∈3π4，+∞时，
G(x)=ex-x22-sin x-cs x>ex-x22-2，
令F(x)=ex-x22-2，则F'(x)=ex-x>0，
则F(x)=ex-x22-2在R上单调递增，
又2F(2)=e2-4>0，
即当x∈3π4，+∞时，G(x)>0，
综上，当x≥0时，G(x)≥0，即原不等式得证.
[规律方法] 在证明不等式或根据不等式求参数的范围时，要仔细观察，如果发现其中含有超越不等式，需证明后再用来解决问题.如果证明的不等式与ex，sin x，cs x，ln(1+x)等有关，可以利用泰勒展开式进行放缩.
跟踪演练2 已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：ln23+ln34+ln45+…+lnnn+11).
(1)解 因为f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1，
所以f(x)的定义域为(1，+∞)，f'(x)=1x-1-k.
若k≤0，则f'(x)>0，f(x)为增函数；
若k>0，则f'(x)=1x-1-k=-kx-1k+1x-1，
当1