2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升　培优点3　与球有关的切、接、截问题（含解析）

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考点一 空间几何体的外接球
考向1 柱体的外接球
例1 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为3，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则该外接球的表面积等于( )
A.8πB.9πC.10πD.11π
答案 A
解析 由AB=2，AC=1，∠BAC=60°及余弦定理可得BC=AB2+AC2-2AB·AC·cs60°
=4+1-2×2×1×12=3，
所以AC2+BC2=AB2，
∠ACB=90°，
所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点.
设△ABC的外接圆半径为r，
则r=AB2=1.
因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，S△ABC=12BC·AC=12×3×1=32，
所以V三棱柱ABC-A1B1C1=S△ABC·AA1=3，
所以AA1=2.
设外接球的半径为R，
则R2=r2+AA122=12+12=2，
所以外接球的表面积S=4πR2=4π×2=8π.
考向2 锥体的外接球
例2 (2025·佛山质检)已知球O的表面积为12π，球面上有A，B，C，D四点，DA，DB，DC与平面ABC所成的角均为π4，若△ABC是正三角形，则AB等于( )
A.2B.3C.2D.3
答案 D
解析 由题意知三棱锥D-ABC为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为R，
因为球O的表面积为4πR2=12π，
所以R=3，
取AB的中点H，连接DH，CH，作DE⊥CH于点E，根据正三棱锥的性质可知球心O在DE上，且E为△ABC的外心，如图所示，
根据线面角的定义知∠DCE=π4，
则DE=CE，又AE=BE=CE，所以点E即为球心O，则AB=2Rsinπ3=2×3×32=3.
考向3 台体的外接球
例3 (2025·齐齐哈尔模拟)已知正三棱台的上底面边长为3，高为1，体积为734，则该正三棱台外接球的表面积为( )
A.8πB.12πC.16πD.20π
答案 D
解析 设正三棱台的下底面边长为a(a>0)，
则其下底面面积为34a2，上底面面积为34×(3)2=334，
所以该三棱台的体积为
V=13×34a2+334+34a2×334×1
=312(a2+3a+3)=734，
整理可得a2+3a-18=0，
因为a>0，解得a=23，
如图，设正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1=1，
由正三棱台的几何性质可知，其外接球球心E在直线OO1上，
正△ABC的外接圆半径为OA=232sin60°=2，
正△A1B1C1的外接圆半径为O1A1=32sin60°=1，
设OE=d，若球心在线段OO1上，则0