2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升　培优点8　非对称问题处理策略（含解析）

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考点一 两根之比型
例1 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF=2FB，求椭圆C的离心率.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知y1>0，y20，
方法一 解得y1=3b2(c+2a)3a2+b2，
y2=3b2(c-2a)3a2+b2，因为-y1=2y2，
即-3b2(c+2a)3a2+b2=2·3b2(c-2a)3a2+b2，
则-c-2a=2c-4a，即2a=3c，
所以离心率e=ca=23.
方法二 非对称处理手法1(倒数相加法)：
由根与系数的关系得y1+y2=23b2c3a2+b2，y1y2=-3b43a2+b2，因为y1=-2y2，即y1y2=-2，
所以(y1+y2)2y1y2=y1y2+y2y1+2=-2-12+2=-12，
即-12b4c2(3a2+b2)·3b4=-12，
整理得8c2=3a2+b2，即9c2=4a2，
所以离心率e=ca=23.
方法三 非对称处理手法2：
由y1=-2y2，得y1+y2=-y2,y1y2=-2y22,
则(y1+y2)2y1y2=(-y2)2-2y22=-12.
将y1+y2=23b2c3a2+b2,y1y2=-3b43a2+b2代入上式得，
23b2c3a2+b22-3b43a2+b2=-12，即12b4c23a2+b2·1-3b4=-12，
整理得8c2=3a2+b2，故离心率e=23.
方法四 非对称处理手法3(消元法)：
将y1=-2y2代入y1+y2=23b2c3a2+b2,y1y2=-3b43a2+b2,
得-y2=23b2c3a2+b2,-2y22=-3b43a2+b2,
消去y2得，223b2c3a2+b22=3b43a2+b2，
整理得5a2=9b2，则e=1-b2a2=23.
[规律方法] 比值型问题适用于x1=λx2型，可以采用倒数相加法，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1=λx2+k的形式，此时采用待定系数法，例如x1=-3x2+4，可以转化x1-1=-3(x2-1)，得到x1-1x2-1=-3，继续采用倒数相加法解决.
跟踪演练1 如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，经过点F的直线l交抛物线于A，B两点，AF=3FB，求直线l的斜率.
解 易知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为x=my+1，
联立x=my+1,y2=4x,消去x得，y2-4my-4=0，
由根与系数的关系，得y1+y2=4m，y1y2=-4.
因为AF=3FB，所以(x1-1，y1)=3(1-x2，-y2)，
所以y1=-3y2，即 y1y2=-3.
y1y2+y2y1=y12+y22y1y2=(y1+y2)2-2y1y2y1y2
=16m2+8-4=-4m2-2.
又y1y2=-3，则y1y2+y2y1=-3-13=-103，
所以-4m2-2=-103，解得m=±33.
所以直线l的斜率为1m=±3.
考点二 分式上下不对称型
例2 如图，设F为椭圆C：x22+y2=1的右焦点，过点(2，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
(2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1k2为定值.
(1)解 直线AB的方程为x2+y=1，
即y=-x2+1，联立y=-x2+1,x22+y2=1,
得34x2-x=0，解得x=0或x=43，
所以A43，13，而F(1，0)，所以kAF=1，
故直线AF的方程为y=x-1.
(2)证明 设直线AB的方程为x=my+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x=my+2,x22+y2=1,
得(m2+2)y2+4my+2=0，
则Δ=(4m)2-4×2(m2+2)=8m2-16>0，m2>2，
可得y1+y2=-4mm2+2，y1y2=2m2+2.(*)
又F(1，0)，则k1k2=y1x1-1y2x2-1=y1(x2-1)y2(x1-1)=my1y2+y1my1y2+y2，
方法一 非对称处理手法1(y1y2转化为y1+y2)：
由(*)两式相除，可得 y1+y2=-2my1y2，
所以my1y2=-y1+y22，
所以k1k2=my1y2+y1my1y2+y2=-y1+y22+y1-y1+y22+y2=y1-y2y2-y1=-1.
方法二 非对称处理手法2(y1，y2保留y1)：
k1k2=my1y2+y1my1y2+y2=my1y2+y1my1y2+(y1+y2)-y1
=2mm2+2+y12mm2+2-4mm2+2-y1=2mm2+2+y1-2mm2+2-y1=-1.
方法三 非对称处理手法3(y1，y2保留y2)：
k1k2=my1y2+y1my1y2+y2=my1y2+(y1+y2)-y2my1y2+y2
=2mm2+2-4mm2+2-y22mm2+2+y2=-2mm2+2-y22mm2+2+y2=-1.
方法四 由求根公式得y=-2m±2m2-4m2+2，
不妨设y1=-2m+2m2-4m2+2，
y2=-2m-2m2-4m2+2，
则k1k2=my1y2+y1my1y2+y2=2mm2+2+y12mm2+2+y2
=2mm2+2+-2m+2m2-4m2+22mm2+2+-2m-2m2-4m2+2
=2m2-4-2m2-4=-1.
[规律方法] 非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，将其转化为对称结构计算.
跟踪演练2 双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上一点D(6，3)到左、右焦点的距离之差为6.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知A(-3，0)，B(3，0)，过点(5，0)的直线l与C交于M，N(异于A，B)两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x=-2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解 (1)依题意可得2a=6,62a2-(3)2b2=1,
解得a=3,b=1,故双曲线C的方程为x29-y2=1.
(2)由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为
x=my+5，
联立x=my+5,x29-y2=1,
消去x，得(m2-9)y2+10my+16=0，
则m2-9≠0，Δ=(10m)2-4×16(m2-9)
=36(m2+16)>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=-10mm2-9，y1y2=16m2-9，
又A(-3，0)，B(3，0)，
直线AM：y=y1x1+3(x+3)，
直线BN：y=y2x2-3(x-3)，
联立y=y1x1+3(x+3),y=y2x2-3(x-3),
两式相除，得x+3x-3=y2(x1+3)y1(x2-3)=y2(my1+8)y1(my2+2)
=my1y2+8y2my1y2+2y1=my1y2+8(y1+y2)-8y1my1y2+2y1
=16mm2-9-80mm2-9-8y116mm2-9+2y1=-64mm2-9-8y116mm2-9+2y1=-4，
即x+3x-3=-4，解得x=95，
所以点P在定直线x=95上，
因为直线x=95与直线x=-2之间的距离为95+2=195，所以点P到直线x=-2的距离为定值，且定值为195.
专题强化练
[分值：30分]
1.(13分)如图，已知抛物线C：y2=4x，经过定点P(2，1)的直线l交抛物线C于A，B两点，且PB=7AP，求直线l的斜率.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为x-2=m(y-1)，
联立直线与抛物线方程，消去x得，
y2-4my+4m-8=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=4m-8.
由PB=7AP，得(x2-2，y2-1)=7(2-x1，1-y1)，
所以y2-1=7-7y1，即 y2=-7y1+8.
设y2+u=-7(y1+u)，则y2=-7y1-8u，所以u=-1，
所以y2-1y1-1=-7，
所以y2-1y1-1+y1-1y2-1=(y1-1)2+(y2-1)2(y1-1)(y2-1)=(y1+y2-2)2y1y2-(y1+y2)+1-2，
代入根与系数的关系，得-16m2-16m+187=-7-17，
化简得m2-m-2=0，解得m=-1或m=2.
所以直线l的斜率为-1或12.
2.(17分)如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.过点F2任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，△MNF1的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；(5分)
(2)若直线A1M，A2N交于点D，试判断点 D 是否在某条定直线x=t上，若是，求出t的值；若不是，请说明理由.(12分)
解 (1)由△MNF1的周长为8，得
4a=8，即a=2，
由离心率e=ca=12，可得c=1，则b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)方法一 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线MN的方程为x=λy+1.
联立x=λy+1,x24+y23=1,得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-6λ3λ2+4，
y1y2=-93λ2+4.
由题意可知，直线A1M：y=y1x1+2(x+2)，
直线A2N：y=y2x2-2(x-2)，
联立两直线方程，解得x=4λy1y2+6y2-2y1y1+3y2，
所以x-4=4λy1y2+6y2-2y1y1+3y2-4
=4λy1y2-6(y1+y2)y1+3y2=-36λ3λ2+4+36λ3λ2+4y1+3y2=0，
即x=4.
综上所述，直线A1M，A2N的交点D 恒在定直线x=4上.
方法二 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x=λy+1，
联立x=λy+1,x24+y23=1,得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-6λ3λ2+4，
y1y2=-93λ2+4，
联立直线A1M，A2N的方程，得
y1x1+2(x+2)=y2x2-2(x-2)，
则x+2x-2=y2x2-2·x1+2y1.
又x224+y223=1，即(2+x2)(2-x2)4=y223，
则y2x2-2=-34·x2+2y2，
故x+2x-2=-34·x2+2y2·x1+2y1
=-34·(λy1+3)(λy2+3)y1y2
=-34·λ2y1y2+3λ(y1+y2)+9y1y2
=-34·-9λ23λ2+4+3λ-6λ3λ2+4+9-93λ2+4
=-34·-9λ2-18λ2+9(3λ2+4)-9=3，
解得x=4，
故直线A1M，A2N的交点D恒在定直线 x=4上.
方法三 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x=λy+1，
可知直线A1M：y=y1x1+2(x+2)，
直线A2N：y=y2x2-2(x-2).
联立两直线方程，得x=4λy1y2+6y2-2y1y1+3y2.
联立x=λy+1,x24+y23=1,得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-6λ3λ2+4，
y1y2=-93λ2+4，
两式相除，得 y1+y2y1y2=2λ3，
则λy1y2= 3(y1+y2)2，
所以x=4λy1y2+6y2-2y1y1+3y2
=6(y1+y2)+6y2-2y1y1+3y2
=4(y1+3y2)y1+3y2=4，
综上，直线A1M，A2N的交点 D 恒在定直线x=4上.