人教版（2024）六年级下册数学广角(鸽巢问题)单元测试同步达标检测题

这是一份人教版（2024）六年级下册数学广角(鸽巢问题)单元测试同步达标检测题，共19页。试卷主要包含了硬币去抛，个，才能保证三种皮球都有，个球，人所订报刊种类完全相同，名同学，名学生在做同一科作业，颗才能保证达到目的，辆小客车是在同一个月购买的等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•花山区）一次同时抛出若干枚硬币，要确保至少有三枚硬币是相同的面朝上的，最少要拿（ ）硬币去抛。
A．6枚B．5枚C．4枚
2．（2022•蓬江区）袋子里有红、黄、白三色皮球各2个，每次从中至少取出（ ）个，才能保证三种皮球都有。
A．3B．5C．6
3．（2022•路桥区）盒子里装有黄球、红球各6个，要保证摸出2个红球，至少要摸出（ ）个球。
A．3B．6C．7D．8
4．（2022•长兴县）下列说法中，错误的是（ ）
A．某小学六（1）班有学生42人，同一月份出生的学生至少有4人
B．一个正方体的棱长从1cm增加到3cm，这个正方体的体积就扩大到它的8倍
C．如果A÷25＝B×25%＝C-14=D+0.25（D都不为0），则A＞B＞C＞D
D．如图，可知甲面积比乙面积多200%
5．（2022•门头沟区）六（1）班有12个学生都订阅了《儿童文学》《小学科技》《小小艺术家》三种报刊中的一种或几种，那么这12人中至少有（ ）人所订报刊种类完全相同。
A．2B．6C．7D．12
6．（2020秋•平度市期中）李老师对一些同学进行才艺小调查，调查的结果是：会吹竖笛的有22人，会拉小提琴的有8人，其中既会吹竖笛又会拉小提琴的有4人。被调查的同学至少会其中一种乐器，李老师调查了（ ）名同学。
A．26B．37C．42
7．（2021秋•瑞金市期末）将一些书放入3个抽屉里，每个抽屉里放的本数都不同，放得最多的抽屉至少放5本，这些书共有（ ）本．
A．8～12B．10～14C．12～16D．14～18
8．（2022•黄骅市）教室里有10名学生正在写作业，今天有语文、数学、英语和科学四科作业，至少有（ ）名学生在做同一科作业。
A．3B．4C．5D．6
9．（2022•阿荣旗）袋子里有红、黄、黑、白四种颜色的珠子各15颗，闭着眼睛从袋子里摸子，要想摸出颜色相同的5颗珠子，至少摸出（ ）颗才能保证达到目的。
A．15B．16C．17
10．（2022•盂县）某区今年共新增加了13辆电动清洁能源小客车，至少有（ ）辆小客车是在同一个月购买的。
A．2B．1C．3
二．填空题（共5小题）
11．（2025•平泉市）袋子里有红、黄、蓝的小球各5个（除颜色不同，其他都相同），从中至少摸出 个小球，可以保证取到2个颜色相同的小球。
12．（2025•西平县）把红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各3支放进一个袋子里，至少取出 支铅笔，才能保证取到两种颜色相同的铅笔。
13．（2025•苍溪县）在六（2）班的41名同学中，至少有 人在同一个月过生日。
14．（2025•五莲县）光明小学机器人社团共有26名同学，学校为激发同学们的探究热情，计划在每名同学过生日时，赠予一份能用于电脑编程的神秘大礼。那么，在一年中，总有一个月份里至少有 名同学收到学校赠予的神秘大礼。
15．（2025•蓝田县）将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子里至少放进了 个苹果。
三．判断题（共5小题）
16．（2024•孟村县模拟）叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是42环。叔叔至少有一镖不低于8环。
17．（2023•黄陵县）把7个小蛋糕放进3个盘子里，总有1个盘子里至少放进了3个小蛋糕。
18．（2023春•零陵区期中）三年级共有50名同学，如果按照月份来计算，至少有4个人是同一个月出生的。
19．（2023•铜仁市）36只鸽子飞进5个鸽笼，总有一个笼子至少飞进了8只鸽子．
20．（2022春•澄迈县月考）把7本书分别放进3个抽屉里，至少有一个抽屉放4本。
四．解答题（共2小题）
21．（2020秋•宜兴市期末）把9个桃放在3个盘子里，每盘个数各不相同。在盘子下面写出桃的个数。（每个盘子里至少有一个桃）
22．（2022春•澄迈县月考）20个小朋友乘坐6只小船游玩，总有一只小船里至少坐着4个小朋友。为什么？
（中等生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版六年级同步个性化分层作业第5章练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•花山区）一次同时抛出若干枚硬币，要确保至少有三枚硬币是相同的面朝上的，最少要拿（ ）硬币去抛。
A．6枚B．5枚C．4枚
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】考虑最差情况：假设正、反两种情况都出现了2次，共需投掷2×2＝4（枚）硬币，那么再任意投掷1枚硬币，落地后只能是正、反两种情况中的任意一种情况，所以至少：4+1＝5（枚）。
【解答】解：2×2+1
＝4+1
＝5（枚）
答：最少要拿5枚硬币去抛。
故选：B。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况。
2．（2022•蓬江区）袋子里有红、黄、白三色皮球各2个，每次从中至少取出（ ）个，才能保证三种皮球都有。
A．3B．5C．6
【考点】抽屉原理．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】B
【分析】为了确保取出的皮球中包含三种颜色，我们首先考虑最不利的情况，即尽可能多的取出相同颜色的皮球而没有取到第三种颜色的皮球。因此，可以先取出4个皮球，这4个皮球最坏的情况是其中2个是红色，2个是黄色，或2个是红色，2个是白色，或2个是黄色，2个是白色。无论哪种情况，4个皮球都不包含第三种颜色，因此我们还需要再取1个皮球。这样，无论第5个皮球是什么颜色，我们都能保证三种颜色的皮球都有。据此解答。
【解答】解：2+2+1＝5（个）
答：每次从中至少取出5个，才能保证三种皮球都有。
故选：B。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
3．（2022•路桥区）盒子里装有黄球、红球各6个，要保证摸出2个红球，至少要摸出（ ）个球。
A．3B．6C．7D．8
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】把红、黄两种颜色看作2个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况即可解答。
【解答】解：考虑最差情况：摸出7个球，分别是6个黄色，1个红色，
那么再任意摸出1个球，一定可以保证有2个红色球，
7+1＝8（个）
答：至少要摸出8个球。
故选：D。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。
4．（2022•长兴县）下列说法中，错误的是（ ）
A．某小学六（1）班有学生42人，同一月份出生的学生至少有4人
B．一个正方体的棱长从1cm增加到3cm，这个正方体的体积就扩大到它的8倍
C．如果A÷25＝B×25%＝C-14=D+0.25（D都不为0），则A＞B＞C＞D
D．如图，可知甲面积比乙面积多200%
【考点】抽屉原理；长方体和正方体的体积．
【专题】模型思想．
【答案】B
【分析】A．抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[nm]+1个物体。（2）当n能被m整除时，k=nm个物体。
B．正方体棱长扩大到原来的几倍，体积就扩大到原来的倍数×倍数×倍数，据此分析。
C．A÷25＝A×125、B×25%＝B×14，积一定，一个数乘的数越大，其本身越小，所以A＞B；C-14和D+0.25比，C＞D，只要确定B和C的大小关系即可。
D．甲的面积看作3份，乙的面积看作1份，两数差÷较小数＝多百分之几。
【解答】解：A．42÷12＝3（人）……6（人）
3+1＝4（人）
某小学六（1）班有学生42人，同一月份出生的学生至少有4人，说法正确；
B．3÷1＝3
3×3×3＝27
一个正方体的棱长从1cm增加到3cm，这个正方体的体积就扩大到它的27倍，选项说法错误；
C．如果A÷25＝B×25%＝C-14=D+0.25（A、B、C、D都不为0），则A＞B＞C＞D，说法正确；
D． （3﹣1）÷1
＝2÷1
＝200%
如图，可知甲面积比乙面积多200%，说法正确。
故选：B。
【点评】本题考查的知识点较多，要综合运用所学知识。
5．（2022•门头沟区）六（1）班有12个学生都订阅了《儿童文学》《小学科技》《小小艺术家》三种报刊中的一种或几种，那么这12人中至少有（ ）人所订报刊种类完全相同。
A．2B．6C．7D．12
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】A
【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是12，抽屉数是7，据此计算即可。
【解答】解：12÷7＝1（种）……5（种）
1+1＝2（种）
答：这12个人少有2个人所订的报刊种类完全相同。
故选：A。
【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答。
6．（2020秋•平度市期中）李老师对一些同学进行才艺小调查，调查的结果是：会吹竖笛的有22人，会拉小提琴的有8人，其中既会吹竖笛又会拉小提琴的有4人。被调查的同学至少会其中一种乐器，李老师调查了（ ）名同学。
A．26B．37C．42
【考点】抽屉原理．
【专题】包含与排队问题．
【答案】A
【分析】会吹竖笛的人数加会拉小提琴的人数，再减去两种都会的人数，即等于李老师调查的学生数，据此即可解答。
【解答】解：22+8﹣4
＝30﹣4
＝26（名）
答：李老师调查了26名同学。
故选：A。
【点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。
7．（2021秋•瑞金市期末）将一些书放入3个抽屉里，每个抽屉里放的本数都不同，放得最多的抽屉至少放5本，这些书共有（ ）本．
A．8～12B．10～14C．12～16D．14～18
【考点】抽屉原理．
【专题】传统应用题专题．
【答案】A
【分析】最少的情况，只有一个抽屉放5本，那么其它的2个抽屉就放1本或2本，即一共放了1+2+5＝8本；最多的情况，1个抽屉放5本，那么其它的2个抽屉就放3本或4本，一共有3+4+5＝12本，由此求解。
【解答】解：最少：
1+2+5＝8（本）
3+4+5＝12（本）
答：这些书共有8～12本。
故选：A。
【点评】解决本题关键是找出最多和最少的情况，分别求出本数，从而解决问题。
8．（2022•黄骅市）教室里有10名学生正在写作业，今天有语文、数学、英语和科学四科作业，至少有（ ）名学生在做同一科作业。
A．3B．4C．5D．6
【考点】抽屉原理；容斥原理．
【答案】A
【分析】根据抽屉原则，10名同学就相当于10个物体，作四科作业就相当于4个抽屉，必须有一科有10÷4＝[2.5]+1（名）。
【解答】解：10÷4＝[2.5]+1
＝2+1
＝3（人）
答：至少有3名学生在做同一科作业。
故选：A。
【点评】找到代表物体和抽屉的量是解决本题的关键。
9．（2022•阿荣旗）袋子里有红、黄、黑、白四种颜色的珠子各15颗，闭着眼睛从袋子里摸子，要想摸出颜色相同的5颗珠子，至少摸出（ ）颗才能保证达到目的。
A．15B．16C．17
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】袋子里有红、黄、黑、白珠子四色一揽子，要想摸出颜色相同的5颗珠子，最差情况是摸出的4色珠子都是5﹣1＝4（颗），这是再摸一颗，不论是什么颜色，一定有5颗相同颜色的珠子。据此解答。
【解答】解：（5﹣1）×4+1
＝4×4+1
＝16+1
＝17（颗）
所以要想摸出颜色相同的5颗珠子，至少摸出17颗才能保证达到目的。
故选：C。
【点评】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键。
10．（2022•盂县）某区今年共新增加了13辆电动清洁能源小客车，至少有（ ）辆小客车是在同一个月购买的。
A．2B．1C．3
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】一年有12个月，用客车总数除以抽屉数12，求出商，再用商加1解答即可。
【解答】解：13÷12＝1……1
1+1＝2（辆）
答：至少有2辆小客车是在同一个月购买的。
故答案为：A。
【点评】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题中的数量关系。
二．填空题（共5小题）
11．（2025•平泉市）袋子里有红、黄、蓝的小球各5个（除颜色不同，其他都相同），从中至少摸出 4 个小球，可以保证取到2个颜色相同的小球。
【考点】抽屉原理．
【专题】应用意识．
【答案】4。
【分析】用球的颜色的种类加上1，即可求出从中至少摸出几个小球，可以保证取到2个颜色相同的小球。
【解答】解：3+1＝4（个）
答：从中至少摸出4个小球，可以保证取到2个颜色相同的小球。
故答案为：4。
【点评】本题考查抽屉原理的计算以及实际应用。
12．（2025•西平县）把红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各3支放进一个袋子里，至少取出 5 支铅笔，才能保证取到两种颜色相同的铅笔。
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】5。
【分析】把4种不同的颜色看作4个抽屉，把不同颜色的铅笔看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1支铅笔，共需要4支，再取出1支不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，据此解答即可。
【解答】解：4+1＝5（支）
答：至少取出5支铅笔，才能保证取到两种颜色相同的铅笔。
故答案为：5。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
13．（2025•苍溪县）在六（2）班的41名同学中，至少有 4 人在同一个月过生日。
【考点】抽屉原理．
【专题】应用意识．
【答案】4。
【分析】一年有12个月，现在要把41名同学放进这12个月里，就像把41个物品放进12个抽屉里一样，我们需要考虑最不利的情况，也就是尽量平均地分配同学到每个月，然后看至少有一个月会有多少同学过生日。
【解答】解：41÷12＝3（名）⋯⋯5（名）
3+1＝4（名）
答：至少有4人在同一个月过生日。
故答案为：4。
【点评】本题考查抽屉原理的实际应用。
14．（2025•五莲县）光明小学机器人社团共有26名同学，学校为激发同学们的探究热情，计划在每名同学过生日时，赠予一份能用于电脑编程的神秘大礼。那么，在一年中，总有一个月份里至少有 3 名同学收到学校赠予的神秘大礼。
【考点】抽屉原理．
【专题】应用意识．
【答案】3。
【分析】一年有12个月，把26名同学放进12个月里，考虑最不利的情况，即尽量平均地分配同学到每个月，然后看至少有一个月会有多少同学收到礼物。
【解答】解：26÷12＝2（名）⋯⋯2（名）
2+1＝3（名）
答：总有一个月份里至少有3名同学收到学校赠予的神秘大礼。
故答案为：3。
【点评】本题考查的知识点是抽屉原理。
15．（2025•蓝田县）将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子里至少放进了 7 个苹果。
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】把3个盘子看作3个抽屉，把20个苹果看作20个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放6个，共需18个苹果，余2个苹果无论放在那个抽屉里，总有一个抽屉里有6+1＝7（个），据此解答。
【解答】解：20÷3＝6（个）……2（个）
6+1＝7（个）
答：将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子至少放进了7个苹果。
故答案为：7。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
三．判断题（共5小题）
16．（2024•孟村县模拟）叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是42环。叔叔至少有一镖不低于8环。 ×
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】×
【分析】把5镖看作5个抽屉，把42环看作42个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每一镖的环数尽量少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分即可。
【解答】解：42÷5＝8（环）……2（环）
8+1＝9（环）
所以叔叔至少有一镖不低于9环。原题干表述错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
17．（2023•黄陵县）把7个小蛋糕放进3个盘子里，总有1个盘子里至少放进了3个小蛋糕。 √
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】√。
【分析】把3个盘子看作3个抽屉，把7个小蛋糕看作7个元素，那么每个抽屉需要放7÷3＝2（个）……1（个），所以每个抽屉需要放2个，剩下的1个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：2+1＝3（个），据此解答。
【解答】解：把7个小蛋糕放进3个盘子里，总有1个盘子里至少放进了3个小蛋糕。表述正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了抽屉原理问题的应用。
18．（2023春•零陵区期中）三年级共有50名同学，如果按照月份来计算，至少有4个人是同一个月出生的。 ×
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】×
【分析】根据抽屉原理，把12个月看作12个抽屉，要使每个月里的人数尽量少，要尽量平均分，据此解答即可。
【解答】解：50÷12＝4（名）（名）
4+1＝5（名）
所以三年级共有50名同学，如果按照月份来计算，至少有4个人是同一个月出生的。表述错误。
故答案为：×。
【点评】抽屉原理问题的解答思路是：准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答。
19．（2023•铜仁市）36只鸽子飞进5个鸽笼，总有一个笼子至少飞进了8只鸽子． √
【考点】抽屉原理．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】把5个鸽笼看作5个抽屉，把36只鸽子看作36个元素，那么每个抽屉需要放36÷5＝7（个）…1（个），所以每个抽屉需要放7个，剩下的1个再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：7+1＝8（个），所以，至少有一个鸽笼要飞进8只鸽子，据此解答．
【解答】解：36÷5＝7（只）…1（只），
7+1＝8（只）；
总有一个笼子至少飞进了8只鸽子，原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）．
20．（2022春•澄迈县月考）把7本书分别放进3个抽屉里，至少有一个抽屉放4本。 ×
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】×
【分析】把7本书放进3个抽屉，先平均分，7÷3＝2（本）…1（本），还余下1本，余下这本即无论怎么放，总有一个抽屉至少放2+1＝3（本），由此判断。
【解答】解：7÷3＝2（本）……1（本）
2+1＝3（本）
所以把7本书分别放进3个抽屉里，至少有一个抽屉放3本。原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了抽屉原理即把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。其中 k＝m÷n（当n能整除m时）或k＝m÷n+1（当n不能整除m时）。
四．解答题（共2小题）
21．（2020秋•宜兴市期末）把9个桃放在3个盘子里，每盘个数各不相同。在盘子下面写出桃的个数。（每个盘子里至少有一个桃）
【考点】抽屉原理；等于9的加法．
【专题】应用意识．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】三个盘中的桃子各不相同，且和是9即可。
【解答】解：2+3+4＝9（个）
如图：
（答案不唯一）
【点评】本题主要考查等于9的加法的应用。
22．（2022春•澄迈县月考）20个小朋友乘坐6只小船游玩，总有一只小船里至少坐着4个小朋友。为什么？
【考点】抽屉原理．
【专题】推理能力．
【答案】20÷6＝3（个）……2（个）
3+1＝4（个）
所以，20个小朋友乘坐6只小船游玩，总有一只小船里至少坐着4个小朋友。
【分析】把6只船看作6个抽屉，考虑最差情况：20个小朋友，最差情况是：每只船上分的人相等，20÷6＝3（个）……2（个）；那么剩下2个人，随便分给两个船，都会使得一个船分得3+1＝4（个），据此解答。
【解答】解：20÷6＝3（个）……2（个）
3+1＝4（个）
所以，20个小朋友乘坐6只小船游玩，总有一只小船里至少坐着4个小朋友。
【点评】本题考查了抽屉原理即把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。其中 k＝m÷n（当n能整除m时）或k＝m÷n+1 （当n不能整除m时）。
考点卡片
1．等于9的加法
【知识点归纳】
1、加法：加法的含义：把两部分合在一起，求一共有多少，用加法计算。
3+6＝9
加数 加号 加数 和
读作：3加6等于9。
2、得数是9的计算方法：根据数的组成来计算。
3、一图四式：根据一副图的思考角度不同，可写出两道加法算式和两道减法算式。
【常考题型】
比2多7 的数是（ ），比5多（ ）的数是9。
答案：9；4
小明有白球4个，红球5个，他总共有多少个球？
答案：4+5＝9
2．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
3．容斥原理
【知识点归纳】
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C
【命题方向】
经典例题：
例1：聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有（ ）人参加聚会．
A、18 B、12 C、10
分析：由题意可知，聚会人数＝喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数﹣既喝果汁又喝茶水的人数即可．
解：5+6+4﹣3＝12（人）
答：共有12人参加聚会．
故选：B
点评：此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题
例2：用圆圈表示星球上的空气，各星球上的空气所含的不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示（如图）．已知天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有．那么图中字母（ ）表示氦气．
A、X B、Y C、Z D、W
分析：根据“不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示”，得出Z是三个星球都含有的气体，W是只有天王星含有的气体，Y是只有冥王星含有的气体，而X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，由此即可得出答案．
解：根据题意和所给出的图知道，
Z是三个星球都含有的气体，
W是只有天王星含有的气体，
Y是只有冥王星含有的气体，
X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，
而天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有，
所以，图中字母X表示氮气．
故选：A．
点评：解答此题的关键是，在理解题意的基础上，要会看韦恩图（即利用容斥原理的表示图）．
4．抽屉原理
【知识点归纳】
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体．
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体．
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
①k＝[nm]+1个物体：当n不能被m整除时．
②k=nm个物体：当n能被m整除时．
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数．
例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2；
关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算．
【命题方向】
经典题型：
例1：在任意的37个人中，至少有（ ）人属于同一种属相．
A、3 B、4 C、6
分析：把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答
解：37÷12＝3…1
3+1＝4（人）
答：至少有4人的属相相同．
故选：B
点评：此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑
例2：在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（ ）粒玻璃珠．
A、3 B、5 C、7 D、无法确定
分析：把红、黄、蓝三种颜色看做3个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出2粒，则一共摸出2×3＝6粒玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现3粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答
解：根据题干分析可得：
2×3+1＝7（粒），
答：至少摸出7粒玻璃珠，可以保证取到3粒颜色相同的玻璃珠．
故选：C
点评：此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
A
A
A
A
C
A