初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）探索与表达规律同步练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）探索与表达规律同步练习题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．把一条绳子折成相等的3折，然后从中剪两刀，绳子的段数变成（ ）
A．7段B．8段C．9段D．17段
2．按一定规律排列的代数式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，……，第n个代数式是（ ）
A．an+nbB．an−1+nb
C．an+1+nbD．an+n+1b
3．下列一串图案：△△□☆★△△□☆★△△□☆★…是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前第2024个图案中，共有（ ）个图案“△”．
A．808B．809C．810D．811
4．我市某中学为便于管理，决定给每个学生编号，设定末尾用1表示男生，2表示女生，如果编号2503231表示“2025年入学的3班23号学生，是位男生”，那么2025年入学的10班20号女生同学的编号为（ ）
A．2501202B．1021201C．2510202D．2510201
5．按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、16、25、36…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（ ）
A．48B．49C．63D．64
6．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物，如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒根数是（ ）
A．45B．48C．49D．54
7．观察下面三行数：
第①行：1，3，5，7，9，11，……
第②行：2，4，6，8，10，12，……
第③行：1，4，9，16，25，36，……
设a，b，c分别为第①，②，③行的第20个数，则a−b+2c的值为（ ）
A．799B．800C．801D．803
8．观察图中正方形四个顶点所标的规律，可知2024应标在（ ）
A．第507个正方形的左下角B．第507个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角D．第506个正方形的左下角
9．根据规律，x的值为（ ）
A．170B．169C．153D．−135
10．小西用大小相同的正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有7个正方形，第④个图案中有13个正方形…… 按此规律，则第10个图案中正方形的个数是（ ）

A．88B．89C．90D．91
二、填空题
11．如图是用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，分别用了8根、14根、20根火柴……，则搭n条“金鱼”需要的火柴数为 根（用含n的代数式表示）．
12．“三天打鱼，两天晒网”，是古代渔民的耕作规律，那么第67天渔民在 ．
13．数列1，4，9，16，….的第10个数是 ．
14．将一根绳子折成三段，然后按如图所示的方式剪开，剪1刀绳子变为4段，剪2刀绳子变为7段，剪3刀绳子变为10段，剪10刀，绳子变为 段．
15．有一列数a1,a2,a3,…,an， 其中a1=5×2+1，a2=5×3+2，a3=5×4+3，a4=5×5+4，则a10= ，当an=2021时，n= ．
三、解答题
16．观察下列各式：
12+1=1×2， ①
22+2=2×3， ②
32+3=3×4， ③
︙
请按此规律写出第n个等式．
17．如图，图（1）中有1个三角形，分别连接这个三角形各边中点就得到图（2），再连接图（2）中的中间三角形各边中点就得到图（3）……按这样的方法进行下去，设第n个图形中三角形的个数为Sn．
(1)请填写下表：
(2)当三角形的个数为37时，求n的值．
18．观察下列三行数：
−2，4，−8，16，−32，64，…①
2，8，−4，20，−28，68，…②
4，−8，16，−32，64，−128，…③
根据它们的规律，解答下列问题：
(1)第①行中的第8个数为 ；
(2)观察第②、③行与第①行中的数的关系，则第②行中的第8个数为 ；第③行中的第8个数为 ；
(3)取每一行的第n个数，请求出这三个数的和．
19．观察下列具有一定规律的三行数：
(1)第一行第n个数为_______（用含n的式子表示）；
(2)取出每行的第m个数，这三个数的和为482，求m的值；
(3)第四行的每个数是将第二行相对应的每个数乘以−4得到的，若这四行取出每行的第n个数，求这四个数的和．
20．归纳是数学中一种重要的问题解决策略，它通过观察一系列具体事例的共同特点，从而发现一般性的规律．数学兴趣小组在探究：“n边形（n>3）共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
(1)表格中的“▲”处应填写的结果是 和 ；
(2)从十二边形的一个顶点出发可画出 条对角线，十二边形总共有 条对角线；
(3)结论应用：体育课上，老师组织了一个有趣的游戏，让我们用数学的眼光来观察它．游戏规则：有8个同学围成一圈，每两个同学之间进行且只进行一次单手击掌．求8个同学共击掌多少次？
图号
（1）
（2）
（3）
（4）
…
n
…
Sn
1
…
…
第一行
1
4
9
16
25
…
第二行
-1
2
7
14
23
…
第三行
2
8
18
32
50
…
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数
1
2
3
…
▲
多边形对角线的总条数
2
5
9
…
▲
参考答案
1．A
【分析】本题考查了图形类规律探索问题，正确理解“折成相等的3折”是解题关键．
【详解】解：∵折成相等的3折是指每折为原长的13，成“Z”字型，与折三次或者对折三次是不同的，
折成3折后，剪一刀得4段，剪两刀得7段．
故选：A
2．A
【分析】本题考查代数式的规律探索．根据所给多项式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给多项式可知，
a的次数依次为1，2，3，…，
所以第n个多项式中a的次数为n；
b的系数依次为1，2，3，…，
所以第n个多项式为an+nb．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查图形的规律问题，观察图案排列规律，确定周期为5个图案，每个周期含2个“△”．计算前2024个图案中的完整周期数和剩余部分，分别统计“△”的数量后求和．
【详解】解：观察可知图案按“△△□☆★”重复排列，
每个周期包含5个图案，其中“△”出现2次，
总图案数2024÷ 周期长度5，得商404（完整周期数），余数4（剩余图案数），
完整周期中“△”的数量：404×2=808个，
则剩余4个图案为“△△□☆”，其中前2个是“△”，
故剩余部分含2个“△”，
808（完整周期）+2（剩余部分） =810个．
∴前2024个图案中共有810个“△”．
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可知从左边起，前2位表示入学年份，第3和第4位表示班级号，第5和第6位表示学生在班级中的号码，最后一位代表性别，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，2025年入学的10班20号女生同学的编号为2510202，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，数字类规律探索等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
观察数列，发现每个数都是其序号的平方，由此求解即可．
【详解】解：∵按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、16、25、36…，
依次可写为12、22、32、42、52、62、…，
∴第7个数为72=49，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键．根据题意得到第n个图形需要9+8n−1=8n+1（根），由此即可求解．
【详解】解：第①个图形需要9根小木棒，
第②个图形需要17根，即17=9+8，
第③个图形需要25根，即25=9+2×8，
∴第n个图形需要9+8n−1=8n+1（根），
第⑥个图形需要8×6+1=49根，
故选：C ．
7．A
【分析】本题考查了数字规律题，利用所给数据找到规律是解题的关键．
第①行是奇数序列，第②行是偶数序列，第③行是平方序列，找出规律后运算求解即可．
【详解】∵第①行为奇数序列，即a=2n−1，
∴把n=20代入得：a=2×20−1=39，
∵第②行为偶数序列，即b=2n，
∴把n=20代入得：b=2×20=40，
∵第③行为平方序列，即c=n2，
∴把n=20代入得：c=202=400，
∴a−b+2c=39−40+2×400=−1+800=799，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形的变化找出正方形四个顶点所标的数字的规律是解题的关键．
观察图形可知每个正方形上标4个数，由2024÷4=506可得出2024标在第506个正方形上，且位置与4所标的位置相同，即可求解．
【详解】解：观察图形，可知：每个正方形上标4个数，
∵2024÷4=506，
∴2024标在第506个正方形上，且位置与4所标的位置相同，
∴2024应标在第506个正方形的左下角．
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了数字规律的知识；根据前几个方框中的数字规律可得对角线两个数字的关系为2b=18，1+a=b，x=18b+a，即可求解．
【详解】解：由题意可知：1+1=2，2×2=4,2×4+1=9，
1+2=3,2×3=6,3×6+2=20，
1+3=4,2×4=8,4×8+3=35，
1+4=5,2×5=10,5×10+4=54，
……
∴2b=18，1+a=b，x=18b+a，
∴b=9,a=8，x=18×9+8=170．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了图形类规律探索，由图形得出规律第n个图案中有1+nn−1个正方形，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：由图形可得：
第①个图案中有1=1+1×1−1个正方形，
第②个图案中有3=1+2×2−1个正方形，
第③个图案中有7=1+3×3−1个正方形，
第④个图案中有13=1+4×4−1个正方形，
……
故第n个图案中有1+nn−1个正方形，
∴第10个图案中正方形的个数是1+10×10−1=91，
故选：D．
11．6n+2
【分析】本题考查了图形规律的探究，找到规律是解题的关键．根据第1条金鱼用了8根火柴，每增加一条“金鱼”需要增加6根火柴，列代数式即可求解．
【详解】解：观察可知，后一条金鱼比前一条金鱼多6根火柴，
∴搭n条“金鱼”需要的火柴数为：8+6n−1=6n+2（根），
故答案为：6n+2．
12．打鱼
【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可知5天一个循环，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵67÷3+2=13⋯⋯2，
∴第67天渔民在打鱼，
故答案为：打鱼．
13．100
【分析】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律，根据题意可得规律为n2，然后问题可求解．
【详解】解：观察前四个数发现规律为n2，所以第10个数是102=100，
故答案为：100．
14．31
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，每多剪1刀，绳子多3段，据此进行求解即可．
【详解】解：观察可知：每多剪1刀，绳子多3段，
∴剪n刀，绳子变为4+3n−1=3n+1段，
∴剪10刀，绳子变为3×10+1=31段；
故答案为：31．
15． 65 336
【分析】本题考查了规律问题．
通过观察数列前几项的结构，可知an=5n+1+n=6n+5，进而计算即可．
【详解】解：a1=5×2+1，
a2=5×3+2，
a3=5×4+3，
a4=5×5+4，
……
an=5n+1+n=6n+5，
a10=6×10+5=65，
当an=2021时，6n+5=2021，解得：n=336．
故答案为：65，336．
16．n2+n=nn+1
【分析】此题考查了数字类规律，根据已知各式找到规律并列出等式即可．
【详解】解：12+1=1×2， ①
22+2=2×3， ②
32+3=3×4， ③
︙
∴第n个等式为n2+n=nn+1．
17．(1)5，9，13，4n−3
(2)10
【分析】本题主要考查了图形变化及数字的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加4是解题的关键．
（1）根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）解：由所给图形可知，
图（1）中三角形的个数为：1=1×4−3；
图（2）中三角形的个数为：5=2×4−3；
图（3）中三角形的个数为：9=3×4−3；
…
∴图(n)中三角形的个数为4n−3个，
当n=4时，
4n−3=13（个)．
故答案为：5，9，13，4n−3．
（2）解：令4n−3=37，
解得n=10，
答：当三角形的个数为37时，n的值为10．
18．(1)256
(2)260，−512
(3)4
【分析】本题主要考查数字类规律及整式的加减运算，解题的关键是得到数字的一般规律；
（1）根据题意可直接得到第8个数；
（2）由题意可知第②行中的每一个数字是第①行每一个数字加上4，第③行数字是第①行每一个数字的−2倍，由此问题可求解；
（3）根据（2）中结论可进行求解．
【详解】（1）解：由−2=−21,4=−22,−8=−23,16=−24,−32=−25,64=−26，….；可知：第n个数为−2n，
∴第8个数为−28=256；
故答案为256；
（2）解：由题意可知第②行中的每一个数字是第①行每一个数字加上4，第③行数字是第①行每一个数字的−2倍，
∴第②行中的第8个数为256+4=260；第③行中的第8个数为256×−2=−512；
故答案为260，−512；
（3）解：由（2）可知：第②行第n个数为−2n+4，第③行第n个数为−2⋅−2n，
∴−2n+−2n+4+−2⋅−2n=1+1−2⋅−2n+4=4．
19．(1)n2
(2)11
(3)6
【分析】本题考查数字的变化规律问题，解题时要利用表格中数字的变化特点发现规律．
（1）根据表格中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数；
（2）根据表格中的数据，可以写出第二行和第三行的第n个数字，然后根据取出每行的第m个数，这三个数的和为482，可以求出m的值；
（3）根据题意可以写出第四行的第n个数，然后根据这四行取出每行的第n个数，然后求和即可．
【详解】（1）解：∵1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，…，
∴第一行第n个数为n2，
故答案为：n2；
（2）由表格可知，
第二行的第n个数为n2−2，第三行的第n个数为2n2，
∴第一行的第m个数为m2，第二行的第m个数为m2−2，第三行的第m个数为2m2，
∵取出每行的第m个数，这三个数的和为482，
∴m2+m2−2+2m2=482，
解得m1=11，m2=−11（舍去），
即m的值是11；
（3）∵第四行的每个数是将第二行相对应的每个数乘以−4得到的，
∴第四行的第n个数为−4n2−2，
∴n2+n2−2+2n2−4n2−2
=n2+n2−2+2n2−4n2+8
=6．
20．(1)n−3；nn−32
(2)9；54
(3)8个同学共击掌28次
【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是理解题意；
（1）根据表格和图形可得出图形的一般规律，然后问题可求解；
（2）由（1）可直接进行求解即可；
（3）根据（1）中结论可进行求解．
【详解】（1）解：由表及图可知：当多边形的边数为4时，从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为4−3=1，多边形对角线的总条数为4×12=2；
当多边形的边数为5时，从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为5−3=2，多边形对角线的总条数为5−3×52=5；
当多边形的边数为6时，从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为6−3=3，多边形对角线的总条数为6−3×62=9；
…..；
∴当多边形的边数为n时，从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为n−3，多边形对角线的总条数为nn−32；
故答案为n−3；nn−32；
（2）解：由（1）可知：
从十二边形的一个顶点出发可画出12−3=9条对角线，十二边形总共有12×12−32=54条对角线；
故答案为9；54；
（3）解：由（1）中结论可得：8×8−12=28（次）；
答：8个同学共击掌28次．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
C
B
C
A
D
A
D